球的體積和表面積比賽稿

球的體積和表面積比賽稿第一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三§9.11球的體積和表面積例題講解課堂作業(yè)教學(xué)目標(biāo)重點難點球表面積球的體積課堂練習(xí)封底退出課堂小結(jié)第二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三掌握球的體積、表面積公式．掌握球的表面積公式、體積公式的推導(dǎo)過程及主要思想進一步理解分割→近似求和→精確求和的思想方法．會用球的表面積公式、體積公式解快相關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．能解決球的截面有關(guān)計算問題及球的“內(nèi)接”與“外切”的幾何體問題．教學(xué)目標(biāo)第三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三球的體積公式的推導(dǎo)球的體積公式及應(yīng)用球的表面積公式及應(yīng)用球的表面積公式的推導(dǎo)教學(xué)重點教學(xué)難點重點難點第四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三R高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比球的體積第五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三

學(xué)習(xí)球的知識要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來．所以我們先來回憶圓面積計算公式的導(dǎo)出方法．球的體積

我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是第六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無窮大時，就得到了圓的面積公式．即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積．球的體積分割求近似和化為準(zhǔn)確和第七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.AOB2C2球的體積AO第八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三OROA球的體積第九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三球的體積第十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三球的體積第十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三2)若每小塊表面看作一個平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點便得到n個棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積,當(dāng)n趨近于無窮大時就精確到等于球的體積.1)球的表面是曲面,不是平面,但如果將表面平均分割成n個小塊,每小塊表面可近似看作一個平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的表面積.當(dāng)n趨近于無窮大時,這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積.

球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,是否也可借助于這種極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢?

下面，我們再次運用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式．球的表面積第十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三球的表面積第十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三第一步：分割球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：OO球的表面積第十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三第二步：求近似和由第一步得：OO球的表面積第十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三第三步：化為準(zhǔn)確和

如果網(wǎng)格分的越細,則:“小錐體”就越接近小棱錐O球的表面積第十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)例題講解第十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計算器算得:例題講解第十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?球內(nèi)切于正方體側(cè)棱長為5cm例題講解第十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三例2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1O例題講解第二十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三OABC例３已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．解：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面⊙O′的半徑為r，例題講解第二十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三OABC例３.已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．例題講解第二十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三2.一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是4cm,這個球的體積為＿＿＿cm3.83.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比_________.1.球的直徑伸長為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼模弑?練習(xí)一課堂練習(xí)第二十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三4.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.練習(xí)二1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.課堂練習(xí)第二十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三7.將半徑為1和2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么

這個大鉛球的表面積是______.5.長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為，

則它的外接球的表面積為_____.6.若兩球表面積之差為48π,它們大圓周長之和為12π,

則兩球的直徑之差為______.練習(xí)二課堂練習(xí)第二十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法—極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分”內(nèi)容的一個應(yīng)用；熟練掌握球的體積、表面積公式：課堂小結(jié)第二十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三第二十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三第二十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三球和它的性質(zhì)第二十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三第三十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三與定點的距離等于或小于定長的點的集合．一.球的概念1．球體

與定點的距離等于定長的點的集合球體(簡稱球)是實心的,球面是空心的簡稱球２、球面第三十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三其中球心球的半徑球的直徑記作：球O３、球是以AB為直徑的半圓繞AB旋轉(zhuǎn)一周而得到的第三十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三觀察球的形成過程模擬演示球的概念第三十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三二、球的截面及其性質(zhì)第三十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三用一個平面去截一個球,截面是圓面2.球心到截面的距離d與球的半徑R,小圓半徑r,有下面的關(guān)系:1.球心和截面圓心的連線垂直于該截面.截面的性質(zhì)：截面的定義：O?1、截面性質(zhì)OO’⊥截面圓O’第三十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三2、大圓小圓觀察球被平面所截發(fā)生的現(xiàn)象第三十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三1、大圓.o經(jīng)過球心的截面圓2、小圓不經(jīng)過球心截面圓（1）大圓小圓概念第三十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三（2）大圓小圓性質(zhì)第三十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三三、地球儀中的經(jīng)緯度（1）經(jīng)線和經(jīng)度第三十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三由地理知識知：AOB為P點所在經(jīng)線的經(jīng)度.（2）某點的經(jīng)度是經(jīng)過這點的經(jīng)線和地軸確定的半平面與0度經(jīng)線(本初子線)和地軸確定的半平面所成二面角的度數(shù).

（1）地球的經(jīng)線就是球面上從北極到南極的半個圓.1.地球的經(jīng)度本初子午線地軸赤道北極PABO地球經(jīng)度第四十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三點擊圖片演示課件（2）緯線和緯度第四十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三2.地球的緯度（1）赤道是一個大圓，其它的緯線都是小圓.（2）某點的緯度就是經(jīng)過這點的球半徑與赤道面所成角的度數(shù).由地理知識知：或AOP的度數(shù)為P點緯度.地軸赤道北極PAO經(jīng)度緯度第四十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三某點的緯度（平面圖）—

經(jīng)過這點的球半徑與赤道平面所成的角的度數(shù)。ABO1Oα如圖，∠AOB的大小即為B點所在的緯度。第四十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣孤的長度.即：球面距離是球面上過兩點的大圓在這兩點之間的劣弧的長度.PQO1.定義三、球面距離第四十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三2.兩點的球面距離公式飛機、輪船都是盡可能以大圓弧為航線航行.PQ的長度⌒PQO球面上兩點距離不能通過解三角形直接求得，一般地是先求出大圓半徑R和這兩點在大圓上的劣弧所對的圓心角θ，再求出弧長L=Rθ.球面距離第四十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三課堂練習(xí)1、判斷正誤：（對的打√，錯的打×）（1）球只有一個面。（2）在空間，到定點的距離等于定長的所有點的集合叫球。（）（3）球的小圓的圓心與球心的連線垂直于這個小圓所在平面。（）（4）經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個大圓。（）（5）球半徑是5，截面圓半徑為3，則球心到截面圓所在平面的距離為4。（）√（√）××√第四十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三例1.我國首都靠近北緯40°緯線。求北緯40°緯線的長度約等于多少km（地球半徑約為6370km）.OAB軸截面BOK40°A2、例題講解第四十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三解：如圖，A是北緯40°緯線上的一點，AK是它的半徑，所以O(shè)K⊥AK.設(shè)c是北緯40°的緯線長，因為∠AOB=∠OAK=40°，所以c=2π·AK

答：北緯40°緯線長約等于3.066×104km.C≈3.066×104（km）.≈2×3.142×6370×0.7660，=2π·OAcosOAKABOK40°由計算器算得2、例題講解第四十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三一：球表面積和球體積公式練1：地球和火星都可近似地看成球體，地球半徑為6370km,火星的直徑約為地球直徑的一半.1）求地球的表面積和體積

2）火星的體積約為地球體積的幾分之幾？第四十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三例1：一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？分析：分別計算它們的體積進行比較4cm12cm第五十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三例2：一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3cm，瓶里所裝的水深為8cm，將一個鋼球完全浸入水中，瓶中的水的高度上升到8.5cm,求鋼球的半徑.3cm8cm3cm8.5cm第五十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期三問：圓有內(nèi)接長方形，那么球有內(nèi)接長方體嗎？球心在哪里？半徑怎么求？若內(nèi)接