線彈性斷裂力學(xué)

1第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三線彈性斷裂力學(xué)認(rèn)為，材料和構(gòu)件在斷裂以前基本上處于彈性范圍內(nèi)，可以把物體視為帶有裂紋的彈性體。研究裂紋擴(kuò)展有兩種觀點(diǎn)：一種是能量平衡的觀點(diǎn)，認(rèn)為裂紋擴(kuò)展的動(dòng)力是構(gòu)件在裂紋擴(kuò)展中所釋放出的彈性應(yīng)變能，它補(bǔ)償了產(chǎn)生新裂紋表面所消耗的能量，如Griffith理論；一種是應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的觀點(diǎn)，認(rèn)為裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)是裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到材料的臨界值，如Irwin理論。2第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三

§1.1線彈性斷裂力學(xué)的基本理論線彈性斷裂力學(xué)的基本理論包括：Griffith理論，即能量釋放率理論；Irwin理論，即應(yīng)力強(qiáng)度因子理論。一、Griffith理論1913年，Inglis研究了無(wú)限大板中含有一個(gè)穿透板厚的橢圓孔的問(wèn)題，得到了彈性力學(xué)精確分析解，稱之為Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃與陶瓷材料脆性斷裂問(wèn)題時(shí)，將Inglis解中的短半軸趨于0，得到Griffith裂紋。3第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三Griffith研究了如圖所示厚度為B的薄平板。上、下端受到均勻拉應(yīng)力作用，將板拉長(zhǎng)后，固定兩端。由Inglis解得到由于裂紋存在而釋放的彈性應(yīng)變能為4第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三另一方面，Griffith認(rèn)為，裂紋擴(kuò)展形成新的表面，需要吸收的能量為其中：為單位面積上的表面能?？梢缘玫饺缦卤磉_(dá)式臨界狀態(tài)裂紋穩(wěn)定裂紋不穩(wěn)定5第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，，則根據(jù)臨界條件，有或得臨界應(yīng)力為表示無(wú)限大平板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，長(zhǎng)為2a裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)，拉應(yīng)力的臨界值，稱為剩余強(qiáng)度。6第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三臨界裂紋長(zhǎng)度

對(duì)于平面應(yīng)變有Griffith判據(jù)如下：(1)當(dāng)外加應(yīng)力超過(guò)臨界應(yīng)力(2)當(dāng)裂紋尺寸超過(guò)臨界裂紋尺寸脆性物體斷裂7第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三二.Orowan與Irwin對(duì)griffith理論的解釋與發(fā)展Orowan在1948年指出，金屬材料在裂紋的擴(kuò)展過(guò)程中，其尖端附近局部區(qū)域發(fā)生塑性變形。因此，裂紋擴(kuò)展時(shí)，金屬材料釋放的應(yīng)變能，不僅用于形成裂紋表面所吸收的表面能，同時(shí)用于克服裂紋擴(kuò)展所需要吸收的塑性變形能（也稱為塑性功）。設(shè)金屬材料的裂紋擴(kuò)展單位面積所需要的塑性功為，則剩余強(qiáng)度和臨界裂紋長(zhǎng)度可表示為8第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三9第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三Irwin在1948年引入記號(hào)外力功釋放出的應(yīng)變能能量釋放率能量釋放率也稱為裂紋擴(kuò)展能力準(zhǔn)則臨界值,由試驗(yàn)確定Irwin的理論適用于金屬材料的準(zhǔn)脆性破壞—破壞前裂紋尖端附近有相當(dāng)范圍的塑性變形.該理論的提出是線彈性斷裂力學(xué)誕生的標(biāo)志.10第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三前面僅是以固定邊情況為例。對(duì)于一般約束情況，具有更廣泛的物理意義。

取一厚度為B的板，中心有穿透裂紋長(zhǎng)度為2a，載荷P，面積A=2aB。在裂紋長(zhǎng)度不變的情況下，P與作用點(diǎn)位移Δ成正比將板拉長(zhǎng)后固定兩端。下圖中直線的斜率為剛度系數(shù)，其倒數(shù)λ為柔度系數(shù)（柔度），等于單位載荷下的位移。當(dāng)裂紋面積增加時(shí)，彈性裂紋體剛度下降，柔度增加，即彈性曲線斜率減小。下面需要分析三種不同邊界條件的情況11第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三1）固定位移情況在圖中體系應(yīng)變能減少，釋放出的應(yīng)變能作為裂紋擴(kuò)展所需的功。應(yīng)變能減少量=12第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三2）固定載荷情況

在圖中，體系應(yīng)變能增加，載荷作的功一半用于增加系統(tǒng)應(yīng)變能，一半作為剩余功用于裂紋擴(kuò)展。將上述兩種情況的統(tǒng)一寫成應(yīng)變能增加量=矩形-13第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三裂紋擴(kuò)展時(shí)，載荷對(duì)位移曲線從a變化到f，其斜率為3)彈性約束情況

對(duì)于一般彈性條件，可看成彈性約束，簡(jiǎn)化為裂紋體與彈簧串聯(lián)的力學(xué)模型。彈簧柔度系數(shù)14第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三上式稱為應(yīng)變能釋放率的柔度表達(dá)式。那么知道了載荷與柔度隨面積的變化率，可以計(jì)算出系統(tǒng)推動(dòng)裂紋擴(kuò)展的有效能量為外力功與應(yīng)變能增加（或減少）之差（或和）對(duì)前兩種情況，則由15第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三三.應(yīng)力強(qiáng)度因子理論裂紋尖端存在奇異性,即:基于這種性質(zhì)，1957年Irwin提出新的物理量—應(yīng)力強(qiáng)度因子,即：1960年Irwin用石墨做實(shí)驗(yàn),測(cè)定開始裂紋擴(kuò)展時(shí)的斷裂判據(jù)(準(zhǔn)則)16第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三§1.2裂紋的類型.裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移值一.裂紋的類型1.按裂紋的幾何類型分類穿透裂紋:裂紋沿構(gòu)件整個(gè)厚度貫穿.表面裂紋:深度和長(zhǎng)度皆處于構(gòu)件表面的裂紋,可簡(jiǎn)化為半橢圓裂紋.深埋裂紋:完全處于構(gòu)件內(nèi)部的裂紋,片狀圓形或片狀橢圓裂紋.17第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.按裂紋的受力和斷裂特征分類張開型(Ⅰ型):拉應(yīng)力垂直于裂紋擴(kuò)展面,裂紋上、下表面沿作用力的方向張開,裂紋沿著裂紋面向前擴(kuò)展,是最常見的一種裂紋.滑開型(Ⅱ型):裂紋擴(kuò)展受切應(yīng)力控制,切應(yīng)力平行作用于裂紋面而且垂直于裂紋線,裂紋沿裂紋面平行滑開擴(kuò)展.18第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三撕開型裂紋(Ⅲ型):在平行于裂紋面而與裂紋前沿線方向平行的剪應(yīng)力作用下,裂紋沿裂紋面撕開擴(kuò)展.二.裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng).位移場(chǎng)1.Ⅰ型裂紋問(wèn)題的描述:無(wú)限大板,有一長(zhǎng)為的穿透裂紋,在無(wú)限遠(yuǎn)處受雙向拉應(yīng)力的作用.確定裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng).19第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三20第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三Irwin應(yīng)用Westergaurd的方法進(jìn)行分析.(1)Westergaurd應(yīng)力函數(shù)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的求解，歸結(jié)為要求求一個(gè)應(yīng)力函數(shù).該函數(shù)滿足邊界條件及雙調(diào)和方程.1939年Westergaurd應(yīng)力函數(shù)21第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中：為解析函數(shù);為一次積分和二次積分.首先證明:滿足雙調(diào)和方程因?yàn)?解析函數(shù)的性質(zhì):(1)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分仍為解析函數(shù)(2)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均滿足調(diào)和方程22第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三

柯西黎曼條件23第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三有即函數(shù)是平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù).則應(yīng)力分量:24第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三即(平面應(yīng)力)(平面應(yīng)變)物理方程:

(平面應(yīng)力)25第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三(平面應(yīng)變)幾何方程:

26第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三得平面應(yīng)力平面應(yīng)變27第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三(2)求解雙向拉伸Ⅰ型裂紋邊界條件:

選取Ⅰ型裂紋的函數(shù)28第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三驗(yàn)證:a:,時(shí)又b:29第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三采用新的坐標(biāo)令--應(yīng)力強(qiáng)度因子

30第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三31第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三平面應(yīng)變平面應(yīng)力平面應(yīng)變平面應(yīng)力32第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.Ⅱ型裂紋設(shè)無(wú)限大板含長(zhǎng)2a的中心裂紋，無(wú)窮遠(yuǎn)受剪應(yīng)力作用33第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三第一步：解II型Westergaard應(yīng)力函數(shù)

求解方法與I型基本相同，1主要差別是無(wú)窮遠(yuǎn)處邊界上受力條件不同。選取應(yīng)力函數(shù)

進(jìn)而可得到位移分量平面應(yīng)變34第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二步：選II型裂紋的

邊界條件：，在處在處選取能夠滿足全部邊界條件。35第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三在裂紋表面處虛數(shù)36第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三將坐標(biāo)原點(diǎn)移到右裂尖，采用新坐標(biāo)當(dāng)趨于常數(shù),設(shè):，右裂尖附近,

在很小范圍內(nèi)時(shí)

37第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三步：用求II型裂尖附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)

應(yīng)力強(qiáng)度因子是在裂尖時(shí)存在極限，若考慮裂尖附近的一個(gè)微小區(qū)域，則有：若以極坐標(biāo)表示復(fù)變量則可得到38第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三平面應(yīng)變平面應(yīng)力把上面兩式代入前面應(yīng)力表達(dá)式中，應(yīng)力和位移場(chǎng)得表達(dá)式39第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三平面應(yīng)變平面應(yīng)力3.撕開型(Ⅲ型)問(wèn)題描述:無(wú)限大板,中心裂紋(穿透),無(wú)限遠(yuǎn)處受與方向平行的作用.反平面(縱向剪切)問(wèn)題,其位移根據(jù)幾何方程和物理方程:40第四十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三單元體的平衡方程:位移函數(shù)滿足Laplace方程,所以為調(diào)和函數(shù).解析函數(shù)性質(zhì):任意解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是解析的.邊界條件:41第四十一頁(yè)，共四十四