線性空間與線性變換

線性空間與線性變換第一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三知識(shí)脈絡(luò)圖解集合與映射線性子空間基本性質(zhì)基與維數(shù)元素的坐標(biāo)線性空間的定義生成子空間基變換與坐標(biāo)變換子空間的交與和子空間的直和線性空間分解為子空間的直和同構(gòu)映射線性空間的同構(gòu)向量空間第二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三重點(diǎn)、難點(diǎn)解讀線性空間是我們第一次用公理化的方法來定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即將一個(gè)具有加法與數(shù)乘運(yùn)算且這些運(yùn)算封閉，并滿足八條算律的集合定義為線性空間。應(yīng)該說這是在數(shù)學(xué)思想方法上是一次新的飛躍。有了這一概念，我們就可以用統(tǒng)一的方法來處理許多數(shù)學(xué)對(duì)象。本章的重點(diǎn)之一是線性空間的基與維數(shù)。因?yàn)樵诖_定了有限維線性空間的基之后，一方面明晰了線性空間的結(jié)構(gòu)（由基生成整個(gè)線性空間），另一方面將線性空間中抽象的元素及規(guī)定的運(yùn)算與中具體的向量及向量的運(yùn)算相對(duì)應(yīng)，因此可歸結(jié)為對(duì)中向量的討論，即它們具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。第三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三本章的另一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)是子空間的和與直和。能夠?qū)⒁粋€(gè)線性空間分解為若干個(gè)子空間的直和，則這個(gè)線性空間的研究就歸結(jié)為若干個(gè)較簡單的子空間的研究。應(yīng)掌握直和的概念和等價(jià)條件。一、線性空間的判定1、線性空間的定義對(duì)于線性空間的定義，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①線性空間具有一般性，其中的元素不一定是通常意義下的向量，可以是數(shù)、矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等。②線性空間具有抽象性，這主要體現(xiàn)在兩個(gè)運(yùn)算上，其中加法與數(shù)乘未必就是我們所熟悉的數(shù)、矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)的加法與數(shù)乘運(yùn)算，之所以這樣稱呼，是因?yàn)樗x的這兩種運(yùn)算滿足通常的加法與數(shù)乘運(yùn)算所具有的運(yùn)算規(guī)律。在同一非空集合及同一數(shù)域上按不同規(guī)則來定義這兩種運(yùn)算，所構(gòu)成的線性空間是不同的。第四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三③線性空間定義中，當(dāng)取不同的數(shù)域時(shí)，線性空間的定義形式不改變，但線性空間中的一些性質(zhì)，如線性相關(guān)性、維數(shù)等，一般要改變。要驗(yàn)證一個(gè)非空集合是線性空間，除了需要驗(yàn)證其元素對(duì)所規(guī)定的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉外，還需逐一驗(yàn)證這兩種運(yùn)算應(yīng)滿足的八條算律；而要否定一個(gè)非空集合是線性空間，只要說明兩個(gè)封閉性及八條算律中有一條不成立即可。2、線性空間的簡單性質(zhì)（1）零元素是唯一的；（2）任意元素的負(fù)元素是唯一的；（3）（4）如果，則或第五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三（1）V是實(shí)數(shù)域上的線性空間；并指出什么函數(shù)是零元素；的負(fù)元素是什么函數(shù)；（2）證明：V不是有限維線性空間。證首先可證V關(guān)于加法與數(shù)乘封閉。顯然，和仍為定義在閉區(qū)間上的實(shí)函數(shù)，所以，再驗(yàn)證加法應(yīng)滿足的4條算律：有例1、設(shè)V是定義在閉區(qū)間上所有實(shí)函數(shù)的集合，在V上定義的加法為：對(duì)為函數(shù)定義實(shí)數(shù)乘函數(shù)為第六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三這4條中，只證，對(duì)，有最后驗(yàn)證數(shù)乘滿足的4條算律：也只證第一式。對(duì)，有規(guī)定零函數(shù)為則規(guī)定的負(fù)元素為則第七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三綜上即證V是R上的線性空間，零元素是零函數(shù)，即的負(fù)元素為（2）下證，即證存在任意多個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)。令即V不是有限維線性空間。則可證線性無關(guān)，由于任意大，所以而故第八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例2、設(shè)是數(shù)域P上的線性空間，對(duì)規(guī)定（1）證明：關(guān)于以上運(yùn)算構(gòu)成P上的線性空間；（2）設(shè)，求證（1）由加法的定義知對(duì)加法封閉，并容易驗(yàn)證加法滿足交換律與結(jié)合律。且設(shè)分別是中的零元，則是的零元。對(duì)存在使得第九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三其次由數(shù)乘的定義知對(duì)數(shù)乘封閉，且都成立。所以是P上的線性空間。（2）設(shè)是的一組基，是的一組基。令先證個(gè)向量，線性無關(guān)。令第十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三即于是故線性無關(guān)。又對(duì)，有，其中有從而即可由線性表示，它們?yōu)榈囊唤M基，從而第十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三二、線性子空間的判定1、線性子空間的概念設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，W是V的一個(gè)非空子集合，如果W對(duì)于V的兩種運(yùn)算也構(gòu)成P上的線性空間，則稱W為V的一個(gè)線性子空間。由V的一組元素的所有可能的線性組合構(gòu)成的集合構(gòu)成V的一個(gè)子空間，稱之為由生成的子空間，記為驗(yàn)證線性空間V的非空子集W是否構(gòu)成子空間，只要驗(yàn)證W對(duì)于V的兩種線性運(yùn)算的封閉性。第十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三2、線性子空間的有關(guān)結(jié)果（1）如果數(shù)域P上的線性空間V的非空子集W對(duì)于V的兩種線性運(yùn)算封閉，即對(duì)于任意有又對(duì)于任意有，則W是V的子空間。（2）設(shè)（Ⅰ）：和（Ⅱ）：是線性空間V中的兩組元素，如果元素組（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表示，則而的充分必要條件是元素組（Ⅰ）與（Ⅱ）等價(jià)。（3）設(shè)和是線性空間V的兩個(gè)子空間，則它們的交也是V的子空間。注兩個(gè)子空間的并一般未必是子空間。第十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例1、設(shè)是數(shù)域P上全體維向量組成的線性空間，證明：的任意子空間W，必至少是一個(gè)元齊次線性方程組的解空間。證設(shè)，取W的一組基，則其中為維列向量。令則，作齊次線性方程組可得它的基礎(chǔ)解系（其中為維列向量），則有即令作齊次線性方程組第十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三由于，所以的解空間是維的。由知為元齊次線性方程組的解空間的一組基。故W是的解空間。例2、設(shè)是維線性空間V的真子空間。證明V中必有向量不在所有個(gè)空間中。證對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法。時(shí)，結(jié)論顯然正確。若，得證。否則，，必存在。我們證明存在正整數(shù)使對(duì)所有的成立。設(shè)結(jié)論對(duì)成立，證明結(jié)論對(duì)亦成立。由歸納假設(shè)，存在首先注意。否則，我們有，矛盾。我們證明上述斷言成立，只需證明存在正整數(shù)，使對(duì)成立即可。第十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三否則對(duì)任意的正整數(shù)，都存在使。取是個(gè)不同的正整數(shù)，則是中的某個(gè)數(shù)。于是必存在，使，故即其中于是這與矛盾。三、線性（子）空間的基與維數(shù)設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間。如果V中有個(gè)元素線性無關(guān)，且，可由唯一線性表示，即則稱為V的一組基，稱為線性空間V的維數(shù)，稱在基下的坐標(biāo)。記為第十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三設(shè)是線性空間V中的一組元素，則且元素組的任一極大線性無關(guān)組都是生成子空間的基。設(shè)W是數(shù)域P上維線性空間V的一個(gè)維子空間，是W的一組基，則這組元素必可擴(kuò)充成V的一組基。即在V中必可找到個(gè)元素使得是V的一組基。例1、已知向量空間（1）求V的基和維數(shù)；（2）求V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。第十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三解由V的構(gòu)成可知，V是4元齊次線性方程組的解空間，它的基就是該方程組的基礎(chǔ)解系。因?yàn)楣仕幕A(chǔ)解系為所以，V是2維向量空間，是V的一組基。由Schmidt正交化方法，可求得V的標(biāo)準(zhǔn)正交基第十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例2、設(shè)線性空間V中的元素組線性無關(guān)。求元素組生成的線性空間W的一組基以及W的維數(shù)。解令因?yàn)橛謩t線性相關(guān)。由于A的左上角有一個(gè)3階子式不為零，故線性無關(guān)。所以，為W的一組基，且第十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三解設(shè)和的解空間分別為因?yàn)榈慕庖欢ㄊ堑慕?，此即又有，根?jù)題設(shè)知，例3、設(shè)方陣與的秩相等，證明：元線性方程組和同解。所以故此即結(jié)論成立。例4、若以表示實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，試證：是實(shí)數(shù)域上的線性空間，并求出它的一組基。證記為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，且是R上的線性空間。第二十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三有從而故即證W是的子空間。從而W為實(shí)數(shù)域上的線性空間。任取，則由知即代入得令①由于且所以由①式表明可由線性表示。因?yàn)?，所以W非空。第二十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三整理得由線性無關(guān)得，故線性無關(guān)。綜上可知為W的一組基，且四、求子空間的交與和的基與維數(shù)1、子空間的和設(shè)與是線性空間V的兩個(gè)子空間，集合稱為與的和，記為下證線性無關(guān)。令第二十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三（2）維數(shù)定理設(shè)和是線性空間V的兩個(gè)子空間，則3、求子空間的交與和的基與維數(shù)的方法設(shè)和是線性空間V的兩個(gè)子空間，為求出與的基與維數(shù)，一般先將與用生成子空間來表示，即此時(shí)易知2、子空間的和的有關(guān)結(jié)論（1）設(shè)與是線性空間V的兩個(gè)子空間，則也是V的子空間。第二十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三為求的基與維數(shù)，可設(shè)，即且，于是從而可見問題轉(zhuǎn)化為確定滿足上述條件的和另外，也可利用維數(shù)公式可見求的基與維數(shù)可轉(zhuǎn)化為求元素組的極大線性無關(guān)組與秩。第二十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例1、若維線性空間的兩個(gè)子空間的和的維數(shù)減1等于它們交的維數(shù)。證明：它們的和與其中之一個(gè)子空間相等，它們的交與其中另一個(gè)子空間相等。證設(shè)這兩個(gè)子空間分別為和，由假設(shè)可得①設(shè)，由式①有于是只有兩種可能：（1）當(dāng)時(shí)，有但從而此時(shí)故即證結(jié)論。第二十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三（2）當(dāng)時(shí)，由式①知但從而故于是結(jié)論也得證。綜上可知結(jié)論成立。例2、設(shè)V是復(fù)數(shù)域上維線性空間，和各為V的維和維子空間，試求之維數(shù)的一切可能值。解設(shè)的一組基，再取的一組基則而故第二十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三四、求過渡矩陣及坐標(biāo)1、過渡矩陣的概念設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，和是V的兩組基，它們之間的關(guān)系式稱為基變換公式?；儞Q公式可形式地寫為其中稱為由基到的過渡矩陣。第二十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三2、過渡矩陣的有關(guān)結(jié)論（1）過渡矩陣都是可逆的；3、坐標(biāo)變換公式（2）如果由基到的過渡矩陣為，則由基到的過渡矩陣為設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，是由V的基到基的過渡矩陣，則V中元素在基下的坐標(biāo)和在基下的坐標(biāo)滿足關(guān)系式或第二十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例1、設(shè)的兩組基為（Ⅰ）（Ⅱ）（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣；（2）求在基（Ⅰ）與基（Ⅱ）下有相同坐標(biāo)的矩陣。解（1）取的基，則有其中第二十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三于是即由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為（2）設(shè)在基（Ⅰ）到基（Ⅱ）下的坐標(biāo)為則由坐標(biāo)變換公式得，即可求得該齊次線性方程組的通解為（任意）于是（任意）第三十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例2、設(shè)和為線性空間的兩組基，且又對(duì)有記有解應(yīng)選這是因?yàn)榱顒t有從而，有即故第三十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三所以五、子空間直和的判定與證明1、直和的概念設(shè)與是線性空間V的兩個(gè)子空間，如果與的和滿足條件①②則稱這個(gè)和為直和，記為在判定兩個(gè)子空間與的和是直和時(shí)，應(yīng)熟練應(yīng)用直和的等價(jià)條件，特別是或第三十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例1、設(shè)階方陣兩兩可交換，且滿足記的解空間為，的解空間為，的解空間為。證明：證對(duì)任意，有，且其中注意到兩兩可交換，從而可見故再證為直和。任取，即且，也即則可見故第三十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例2、設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)維線性空間，是V的一組基，用表示由生成的子空間；令（1）證明：是V的子空間；（2）證明：證因?yàn)?，所以，是V的非空子集。有，且從而第三十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三即證是V的子空間。（2）令，則。因?yàn)樗匀?，先證它們線性無關(guān)。設(shè)整理得由是基得。故線性無關(guān)。對(duì)，其中，有于是即可由線性表示，故第三十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三再證對(duì)，有其中于是由是基得即有從而即，故即證于是又因?yàn)榍业谌?，共八十四頁，編輯?023年，星期三例3、設(shè)P是數(shù)域，和分別是齊次線性方程組和的解空間。證明：的充分必要條件是只有零解。解充分性若只有零解，則于是有即所以故又因?yàn)榍业谌唔?，共八十四頁，編輯?023年，星期三故必要性已知若有非零解則即這與矛盾。從而只有零解。第三十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三六、線性空間同構(gòu)的判斷與證明1、同構(gòu)的概念設(shè)與是數(shù)域P上的兩個(gè)線性空間，如果可以建立到的一個(gè)雙射，且對(duì)任意有2、同構(gòu)映射的有關(guān)結(jié)論則稱為同構(gòu)映射，而稱線性空間與同構(gòu)。設(shè)是數(shù)域P上線性空間與的同構(gòu)映射，則（1）（是的零元素），（2）線性相關(guān)的充分必要條件是線性相關(guān)；第三十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三（3）（4）如果是的子空間，則是的子空間，且與的維數(shù)相等；（5）同構(gòu)映射的逆映射及兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射。3、同構(gòu)線性空間的有關(guān)結(jié)論（1）同構(gòu)的線性空間具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性；（2）數(shù)域P上任一維線性空間都與同構(gòu)。取定的一組基后，對(duì)任意有則就是到的一個(gè)同構(gòu)映射；（3）數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們具有相同的維數(shù)。第四十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三4、同構(gòu)的判斷方法要判定兩個(gè)線性空間同構(gòu)時(shí)，需要找到它們的同構(gòu)映射；而當(dāng)兩個(gè)線性空間都是有限維時(shí)，也可以通過它們的維數(shù)是否相等來判定同構(gòu)。例1、證明：線性空間可以與它的一個(gè)真子空間同構(gòu)。證記數(shù)域P上所有常數(shù)項(xiàng)為零的多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間為V。顯然，且V中的多項(xiàng)式都可以表示為，其中，構(gòu)造到V的映射由于對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，即是單射，顯然是滿射，從而是雙射。第四十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三又因?yàn)楣适堑絍的同構(gòu)映射，于是與它的真子空間同構(gòu)。第四十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三線性變換反映了線性空間中元素之間的一種基本聯(lián)系，主要了解和掌握線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣表示，通過學(xué)習(xí)要認(rèn)識(shí)到線性變換和矩陣是同一事物的兩種表現(xiàn)形式，進(jìn)一步體會(huì)矩陣的重要性。（二）線性空間第四十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三知識(shí)脈絡(luò)圖解線性變換的定義線性變換的矩陣不同基下線性變換的矩陣的關(guān)系相似矩陣矩陣的特征值與特征向量矩陣的相似化簡線性變換的本征值與本征向量找合適的基化簡線性變換的矩陣線性變換的基本性質(zhì)線性變換的運(yùn)算值域與核哈密爾頓—?jiǎng)P萊定理不變子空間化簡為對(duì)角矩陣化簡為準(zhǔn)對(duì)角矩陣第四十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三重點(diǎn)、難點(diǎn)解讀本章首先對(duì)線性變換進(jìn)行了初步的討論，其次考慮的是基的變換對(duì)于線性變換的矩陣的影響，從而引出了矩陣相似的概念。由此自然會(huì)想到如何選擇一個(gè)基使線性變換在該基下的矩陣具有盡可能簡單的形式。這一問題的解決依賴于線性變換及矩陣的特征值和特征向量的概念與計(jì)算。如果一個(gè)線性變換具有足夠多的線性無關(guān)的特征向量，就可以有一個(gè)由特征向量組成的基，而線性變換在這一基下的矩陣就是對(duì)角矩陣?？上У氖遣⒎撬械木€性變換具有這一性質(zhì)。對(duì)于一般的線性變換只能化為準(zhǔn)對(duì)角矩陣的形式、且與空間的分解密切相關(guān)。不變子空間的引入正是為討論空間的分解服務(wù)的。第四十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三線性變換與矩陣的特征值和特征向量的概念及計(jì)算是本章的重點(diǎn)，其計(jì)算涉及行列式計(jì)算、多項(xiàng)式求根、解齊次線性方程組等，綜合性很強(qiáng)；對(duì)其性質(zhì)的了解和掌握對(duì)于證明各種類型的結(jié)論是很有幫助的。可對(duì)角化的矩陣和線性變換是一類特殊的也是重要的矩陣與變換，要掌握它們的判別條件，并能夠找到相似變換矩陣即合適的基將其對(duì)角化，但這一過程本質(zhì)上還是求特征值及特征向量。第四十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三一、線性變換的判定與證明1、線性變換的概念設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，是V上的線性變換，如果對(duì)于都有則稱為V的一個(gè)線性變換。如下兩種變換分別稱為V中的恒等變換及零變換，它們都是V的線性變換。2、線性變換的基本性質(zhì)（1）（2）線性變換保持線性組合與線性關(guān)系不變，即若則第四十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三又若之間有一線性關(guān)系則它們的像之間也有同樣的關(guān)系（3）線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。注①利用可知不是線性變換。②線性變換可能把線性無關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組，如零變換就是這樣。但如果線性變換是一個(gè)單射，則它把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)的向量組。第四十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例1、設(shè)線性空間V是子空間的直和，即對(duì)，有，其中定義V到的投影變換為證明：（1）是線性變換；（2）證（1）有其中于是故是V上的線性變換。（2），有故第四十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三二、求線性變換的矩陣設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，是V的一組基。（1）如果V的線性變換和在基上的作用相同，即則（2）對(duì)V中的任一組向量，存在唯一的線性變換使（3）設(shè)是V的線性變換，基的像可以被基線性表示第五十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三用矩陣乘法形式表示為其中則稱矩陣A為在基下的矩陣。2、線性變換在不同基下的矩陣設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，和是V的兩組基，且設(shè)V的線性變換在基下的矩陣為A，在基下的矩陣為B，即第五十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三則即同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的，且相似變換矩陣恰為兩組基之間的過渡矩陣。在有限維線性空間中，求出線性變換在某組基下的矩陣后，不僅建立了線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)，而且這個(gè)對(duì)應(yīng)還能保持線性變換的和、數(shù)乘、乘積分別對(duì)應(yīng)矩陣的和、數(shù)乘、乘積；可逆變換對(duì)應(yīng)可逆矩陣、逆變換對(duì)應(yīng)逆矩陣等，這就為我們用矩陣方法來研究線性變換提供了依據(jù)。第五十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例1、設(shè)是由次數(shù)小于5的一切實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式組成的線性空間，對(duì)于中任意，以除所得商及余式分別為和，即設(shè)是到的變換，使①試證是一個(gè)線性變換，并求它在基下的矩陣。證對(duì)，用除所得的商式與余式分別為則第五十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三從而所以是上的線性變換。又由式①知故其中第五十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例2、已知3維線性空間V的基（Ⅰ）和基（Ⅱ）又V的線性變換滿足（1）求在基（Ⅱ）下的矩陣；解（1）將已知條件寫成形式記法，有（2）求在基（Ⅰ）下的坐標(biāo)。其中第五十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三于是其中從而即在基（Ⅱ）下的矩陣為第五十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三（2）因?yàn)樗?，在基（Ⅰ）下的坐?biāo)為第五十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三三、線性變換的運(yùn)算及相應(yīng)的矩陣設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，是V的兩個(gè)線性變換。1、線性變換的運(yùn)算（1）與的和定義為（2）P中的數(shù)與的數(shù)量乘法定義為則線性空間V上線性變換的全體，對(duì)于如上定義的加法與數(shù)乘構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間。記為（3）與的乘法定義為注線性變換的乘積仍是V的線性變換。但乘法交換律一般不成立。第五十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三（4）逆變換對(duì)于線性變換，如果存在，使得（為L上的單位變換）則稱是可逆的，并稱為的逆變換，記為注線性變換若可逆，則其逆變換也為線性變換；線性變換可逆的充分必要條件是為雙射。（5）線性變換的方冪與多項(xiàng)式個(gè)線性變換的乘積稱為的次冪。記為設(shè)，定義并稱之為線性變換的多項(xiàng)式。注一般來說；的多項(xiàng)式的加法和乘法與中的加法和乘法是一致的。第五十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三2、線性變換運(yùn)算的矩陣設(shè)V的線性變換與在基下的矩陣分別是A與B，則（1）在基下的矩陣為（2）在基下的矩陣為（3）在基下的矩陣為（4）可逆的充分必要條件是A可逆，且在基下的矩陣為（5）設(shè)在基下的坐標(biāo)為則在基下的坐標(biāo)滿足第六十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三求線性變換的和、乘積及逆變換等可以直接根據(jù)定義，也可以分別求出所給的線性變換在某組基下的矩陣，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)矩陣的運(yùn)算。例1、設(shè)是線性空間V的一組基，且（1）證明：是可逆線性變換；（2）求在基下的矩陣。證（1）由假設(shè)知因?yàn)?，所以A可逆，故是可逆線性變換。第六十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三（2）可求得，設(shè)在基下的矩陣為B，則例2、設(shè)V是維線性空間。證明：V中任意線性變換必可表為一個(gè)可逆線性變換與一個(gè)冪等變換的乘積。解設(shè)是V的任意一個(gè)線性變換，且在V的基下的矩陣為A，即第六十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三設(shè)，則存在階可逆矩陣P，Q使于是其中為可逆矩陣，滿足即C為冪等矩陣。再作V的兩個(gè)線性變換如下第六十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三則故，其中可逆（因?yàn)锽可逆），（這是因?yàn)椋?。注A=BC是一種矩陣分解，它是可逆—冪等分解。四、求線性變換的像空間與核空間1、線性變換的像與核設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，是V的線性變換，由的全體像組成的集合稱為的像。記為所有在的作用下變成零向量的向量組成的集合，稱為的核，記為第六十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三2、線性變換的像與核的有關(guān)結(jié)論設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，是V的線性變換。（1）與都是V的子空間；（2）取V的一組基，則（4）（3）若在基下的矩陣為A，則且是齊次線性方程組的解空間。3、線性變換的像與核的求法設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，是V的線性變換。求與常采用如下兩種方法：第六十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三方法1取V的一組基，由于所以只要求得基像組，再求其秩與一個(gè)極大線性無關(guān)組，即得的維數(shù)和基；設(shè)根據(jù)來確定的維數(shù)與基。方法2求在基下的矩陣A，則A的秩就等于的維數(shù)，且由于在基下的坐標(biāo)恰為A的第個(gè)列向量，利用同構(gòu)知，A的列向量組的極大線性無關(guān)組對(duì)應(yīng)的極大線性無關(guān)組，從而確定的基。又設(shè)，則有知，在基下的坐標(biāo)恰為齊次線性方程組的解向量，從而的維數(shù)等于，且的基礎(chǔ)解系就是在基下的坐標(biāo)。第六十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例1、設(shè)是4維線性空間V的一組基，已知線性變換在這組基下的矩陣為（1）求在基下的矩陣B；（2）求的像與核；（3）若線性變換，有，問是否為可逆線性變換？為什么？解（1）由已知條件得第六十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三其中所以（2）因?yàn)榈旅媲驛的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，令其中為A的列向量。由于第六十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三所以為的一個(gè)極大線性無關(guān)組，且，故，且其中為像空間的一組基。第六十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三求解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系令則為的一組基，且（3）設(shè)則由知，只有零解，從而C可逆。故為可逆線性變換。例2、設(shè)W是維線性空間V的子空間，是V上的線性變換，。證明：證設(shè)，并取它的一組基。再擴(kuò)充為W的一組基，即第七十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三因?yàn)椋远氏伦C線性無關(guān)。令則有可見但所以有第七十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三由線性無關(guān)知因?yàn)樗杂谑抢?、設(shè)是線性空間V中線性變換，若證明：與有相同的像空間的充分必要條件是證必要性已知，則對(duì)有所以存在使，于是由的任意性得。類似可證第七十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三充分性已知，則對(duì)，有，此即。類似可證故五、求線性變換的本征值與本征向量1、線性變換的本征值與本征向量設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，如果存在P中的一個(gè)數(shù)和V中非零向量，使得則稱為的一個(gè)本征值，而稱為屬于本征值的一個(gè)本征向量。2、求有限維線性空間上線性變換的本征值與本征向量第一步取V的一組基，求在該組基下的矩陣A；第七十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三第二步求矩陣A在數(shù)域P中的特征值與相應(yīng)的特征向量第三步A的特征值就是的本征值，而對(duì)應(yīng)本征值的本征向量為3、本征子空間由屬于本征值的全部本征向量，再添上零向量組成的集合構(gòu)成V的子空間，稱為的一個(gè)本征子空間。的本征子空間的維數(shù)等于屬于本征值的線性無關(guān)本征向量的最大個(gè)數(shù)。第七十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例1、設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，是V的線性變換，且滿足，證明：（1）的本征值為1和0；（2）的本征子空間且證（1）設(shè)是的本征值，是對(duì)應(yīng)的本征向量，即因?yàn)?，所以由知，即或?）對(duì)有，于是，即反之，對(duì)，存在使于是所以即故第七十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三又有若，則且于是這表明又對(duì)，有其中且即故第七十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期三例2、設(shè)是數(shù)域P上二次多項(xiàng)式，在P內(nèi)有互異的根，是P上線性空間V上一個(gè)線性變換，（為單位變換），且滿足。證明與是的