線性系統(tǒng)理論第四

線性系統(tǒng)理論第四第一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章線性系統(tǒng)的時間域理論第4章系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的分析是控制理論的一個重要組成部分。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的另一個重要特征。實際系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。外部穩(wěn)定性：通過輸入—輸出關(guān)系來表征。內(nèi)部穩(wěn)定性：零輸入下狀態(tài)運動的響應(yīng)來表征。滿足一定的條件，內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間存在等價關(guān)系。第二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章連續(xù)時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)定常系統(tǒng)時變系統(tǒng)；討論內(nèi)部穩(wěn)定性。李亞普諾夫方法（А.М.Ляпунов)線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)；第三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章考慮一個線性因果系統(tǒng)，如果對應(yīng)于一個有界的輸入，必須假定系統(tǒng)的初始條件為零，才是唯一的和有意義的。的，簡稱為BIBO穩(wěn)定。即滿足條件：的輸入，所產(chǎn)生的輸出也是有界的，即成立則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，即有界輸入—有界輸出穩(wěn)定4.1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性第四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章這樣的函數(shù)稱為的范數(shù)。范數(shù)是定義在線性空間上的一個非負實值函數(shù)。如果是數(shù)域上的一個線性空間，是任意一個向條件：量，對應(yīng)一個非負實數(shù)，這個非負實數(shù)滿足下列三個（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，。（2）對任意常數(shù)，有。（3）對任意向量，成立“三角不等式”第五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章一個元判別準則結(jié)論1[時變系統(tǒng)]均滿足關(guān)系式：應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個有限常數(shù)，使對于一切，的每對于零初始條件的線性時變系統(tǒng)，表為其脈沖響第六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章首先，考慮，即單輸入—單輸出的情況。證明：分成兩步來證明先證充分性：已知成立，且任意輸入滿足就可得到那么利用由脈沖響應(yīng)函數(shù)表示的輸出的表達式從而由定義知系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定。第七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章證必要性：采用反證法，設(shè)存在某個，使則定義如下的一個有界輸入即表明輸出無界，與BIBO穩(wěn)定相矛盾?？疾煊伤饔孟滤a(chǎn)生的輸出，易知第八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章多輸入—多輸出情況系統(tǒng)輸出的分量滿足關(guān)系式有限個有界函數(shù)之和仍為有界，可證得此結(jié)論。第九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章結(jié)論2[定常系統(tǒng)]均滿足關(guān)系式：為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個有限常數(shù)，

的每一個元對于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，表初始時刻，或等價地，當(dāng)為真的有理分式函數(shù)矩陣時，的每一個元傳遞函數(shù)的所有極點均具有負實部。為其脈沖響應(yīng)矩陣，為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)第十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章對于線性定常系統(tǒng)如果外輸入，初始狀態(tài)為任意，且由引起的零輸入響應(yīng)，滿足關(guān)系式：則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為是漸近穩(wěn)定的。內(nèi)部穩(wěn)定第十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章另：漸近穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部，即其中為系統(tǒng)的維數(shù)。當(dāng)矩陣A給定后，則可導(dǎo)出其特征多項式利用勞斯—霍爾維茨判據(jù)，直接由系數(shù)來判斷系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。第十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章下的穩(wěn)定性。內(nèi)部穩(wěn)定：系統(tǒng)狀態(tài)自由運動的穩(wěn)定性，也即李亞普諾夫意義內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性間的關(guān)系必是漸近穩(wěn)定的。穩(wěn)定。結(jié)論2：設(shè)線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，則不能保證系統(tǒng)結(jié)論1：設(shè)線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必是BIBO性與外部穩(wěn)定性必是等價的。結(jié)論3：如果線性定常系統(tǒng)為能控和能觀測，則其內(nèi)部穩(wěn)定第十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章4.2李亞普諾夫意義下運動穩(wěn)定性的一些基本概念如果為線性，則表示為：自治系統(tǒng)量狀態(tài)方程來描述：沒有外輸入作用時的系統(tǒng)。受擾運動非線性和時變情況下，自治系統(tǒng)用顯含時間的非線性向第十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章解存在且唯一，由初始狀態(tài)所引起的運動為：等同于系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng)。運動的原因為以為初始時刻的初始狀態(tài)，且有動所引起，稱為受擾運動。。由于這一運動是由初始狀態(tài)的擾第十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章，即狀態(tài)空間的原點為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。則稱為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)如果存在某個狀態(tài)，使成立運動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，偏離平通過移動坐標系將其轉(zhuǎn)換為空間的原點。衡狀態(tài)的受擾運動能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內(nèi)。第十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章應(yīng)地存在一個實數(shù)，使得由滿足不等式夫意義下是穩(wěn)定的，如果對給定的任一實數(shù)，都對李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定表為系統(tǒng)的一個孤立平衡狀態(tài)，則稱為李亞普諾的任一初態(tài)出發(fā)的受擾運動都滿足不等式：第十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章記為。以原點為球心構(gòu)造半徑為的一個超球體，其球域則存在一個對應(yīng)的正實數(shù)，其大小同時依賴于和初始時刻，則構(gòu)造原點為球心，半徑為的另一超球體，球域記為。則由域上的任一點出發(fā)的運動軌跡，對所有，都不脫離域。則原點平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。幾何含義為：第十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章第十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章如果只依賴于而和初始時刻無關(guān)，則稱是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)：穩(wěn)定等價于一致穩(wěn)定。時變系統(tǒng)：穩(wěn)定一致穩(wěn)定。（1）是李氏意義穩(wěn)定的；漸近穩(wěn)定一個孤立平衡狀態(tài)稱為是漸近穩(wěn)定的，如果：第二十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章存在實數(shù)，使得滿足：（2）對和任意給定的實數(shù)，對應(yīng)地的任一初態(tài)出發(fā)的受擾運動都同時滿足不等式：運動的有界性。第二十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章運動的漸近性第二十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章實數(shù)和都不依賴于，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。當(dāng)為漸近穩(wěn)定時，必成立隨著，則有漸近穩(wěn)定是工程意義下的穩(wěn)定。李氏意義下的穩(wěn)定是工程意義下的臨界不穩(wěn)定，漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域稱為平衡狀態(tài)的吸引區(qū)。第二十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章運動都是有界的，且成立：大范圍漸近穩(wěn)定如果以狀態(tài)空間的任一有限非零點為初始狀態(tài)的受擾大范圍漸近穩(wěn)定，除了原點平衡狀態(tài)外，不存在其它孤立平大范圍漸近穩(wěn)定為全局漸近穩(wěn)定。則稱系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。衡點。小范圍漸近穩(wěn)定為局部漸近穩(wěn)定。線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定==大范圍漸近穩(wěn)定。第二十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章相應(yīng)的實數(shù)，使得由滿足不等式：不穩(wěn)定如果對于不管取多么大的有限實數(shù)，都不可能找到的任一初態(tài)出發(fā)的運動滿足不等式平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。取得多么大，取得如何小，必存在一個非零點使得由出發(fā)的運動軌線越出。第二十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章第二十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章4.3李亞普諾夫第二方法的主要定理由常微分方程組所描述的動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的方法歸納分析穩(wěn)定性原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為本質(zhì)不同的兩種方法。第一法，間接法：運動方程一次近似的線性化方程其一次導(dǎo)數(shù)的定號性分析穩(wěn)定性。第二法，直接法：運動方程構(gòu)造函數(shù)分析它和第二十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章其中，對一切成立，即狀態(tài)空間的原點大范圍漸近穩(wěn)定的判別定理連續(xù)非線性時變自由系統(tǒng)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。結(jié)論1[大范圍一致漸近穩(wěn)定判別定理]李亞普諾夫主穩(wěn)定性定理如果存在一個對和具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)第二十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章（1）正定且有界，即兩個連續(xù)的非減標量函數(shù)且滿足如下的條件：和，其中和，使對一切和一切成立，（2）對時間的導(dǎo)數(shù)負定且有界，即存在一個連續(xù)的非減標量函數(shù)，其中使對一切和一切成立，第二十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章（3）當(dāng)時，有即，則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為大范圍一致漸近穩(wěn)定。充分條件，找到標量函數(shù)直觀含義：為正定有界，將其看成是一種“能量”，而為能量隨時間的變化率，能量是有限的，而變化率是負的，則運動必是有界的，并最終返回到原點平衡狀態(tài)。第三十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章結(jié)論2[定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理]對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)，并且對狀態(tài)空間中的一切非零點滿足如下的條件：（1）為正定。（2）為負定。（3）當(dāng)時，有則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。第三十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章例：給定連續(xù)時間的定常系統(tǒng)：易知，和為其唯一的平衡狀態(tài)?，F(xiàn)取為狀態(tài)的一個二次型即為正定。第三十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章當(dāng)時，此系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。為負定。注：三維空間上，向量，它的長度，，就是一種范數(shù)。第三十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章結(jié)論3[定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理]定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)，并且對狀態(tài)空間中的一切非零點滿足如下的條件：（1）為正定。（2）為負半定。（4）當(dāng)時，有則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。放寬條件后的結(jié)論（3）對任意第三十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的判別定理結(jié)論1[時變系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理]一個吸引區(qū)，使對一切和一切，滿足對于時變系統(tǒng)，如果存在一個對和具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)和圍繞原點的（1）正定且有界；如下的條件：（2）為負半定且有界。則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為內(nèi)一致穩(wěn)定。第三十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章結(jié)論2[定常系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理]對一切和一切，滿足如下的條件：對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)

，和圍繞原點的一個吸引區(qū)，使

（1）為正定；（2）為負半定。則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為內(nèi)穩(wěn)定。第三十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章不穩(wěn)定的判別定理和一切，滿足如下的條件：結(jié)論：對于時變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)或，和判別定理只給出了充分條件，多次試取都得不到答案，可能為不穩(wěn)定。和圍繞原點的一個吸引區(qū)，使對一切第三十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章（1）正定且有界或為正定；（2）也為正定且有界或也為正定。則系統(tǒng)平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定。和為同號時，系統(tǒng)的受擾運動軌線理論上將發(fā)散到無窮大。第三十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章4.4線性系統(tǒng)的狀態(tài)運動穩(wěn)定性的判據(jù)線性系統(tǒng)，受擾運動即狀態(tài)的零輸入響應(yīng)。定常、時變，給出常用判據(jù)。線性定常系統(tǒng)的自由運動的穩(wěn)定性判據(jù)定性，由常量矩陣A所決定。沒有外輸入作用存在時的線性定常自治系統(tǒng)：知為它的一個平衡狀態(tài)。原點的平衡狀態(tài)的穩(wěn)第三十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章對于線性定常系統(tǒng)有：結(jié)論1：[特征值判據(jù)]必要條件為：A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根。（1）系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)是在李亞普諾夫意義穩(wěn)定的充分根據(jù)矩陣A的特征值的分布來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，A的所有特征值均具有負實部。漸近穩(wěn)定性大范圍一致漸近穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定一致穩(wěn)定。第四十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章其平衡狀態(tài)為例：給定線性定常自治系統(tǒng)即，狀態(tài)空間中平面上的每一個點均為平衡狀態(tài)。其中和為任意數(shù)。第四十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章由A的特征值為第四十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章若是矩陣A的特征多項式，則即也是A的化零多項式。在矩陣A的所有化零多項式中，首項系數(shù)為1，且次數(shù)最低的稱為A的最小多項式?？芍渥钚《囗検綖椋蕴卣髦?僅是最小多項式的一個單根。此系統(tǒng)的每個平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。第四十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章線性定常系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充分必結(jié)論2：[李亞普諾夫判據(jù)]要條件，是對任意給定的一個正定對稱矩陣，如下形式的對稱矩陣。李亞普諾夫矩陣方程：有唯一正定對稱矩陣解。矩陣：如第四十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章二次型是實變量的一個二次齊次多項式：定義：對于不全為零的任何實數(shù)，則稱此二次型是正定的，對應(yīng)的矩陣是正定的。二次型：第四十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章二次型的系數(shù)確定一個矩陣：定義：設(shè)A是實數(shù)域上的矩陣，在上給定內(nèi)積：這里第四十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章則稱為中任意向量的Rayleigh商。設(shè)A是實對稱矩陣，對任意，如果，則稱A為正定矩陣，如果，則稱A為非負定矩陣。第四十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章矩陣A的所有特征值均小于負實值，結(jié)論3：[李亞普諾夫判據(jù)的推廣形式]即的充分必要條件是對任意給定的一個正定對稱矩陣，有如下的推廣形式的李亞普諾夫方程：有唯一正定對稱矩陣解。第四十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章線性時變系統(tǒng)結(jié)論1：[狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣判據(jù)]（1）系統(tǒng)的每個平衡狀態(tài)在時刻是李亞普諾夫意義下穩(wěn)平衡狀態(tài)滿足。沒有外輸入作用存在時的線性時變自治系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)的自由運動的穩(wěn)定性判據(jù)定的充分必要條件是存在一個依賴于的常數(shù)，第四十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章若存在不依賴于的常數(shù)上式成立，每個平衡狀態(tài)是李使成立其中為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。氏意義下的一致穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)在時刻是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是成立第五十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三在區(qū)間上為一致漸近穩(wěn)定的充分必要條件，是存在不依賴于的正數(shù)和對任意和所有成立：第四章第五十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章線性時變系統(tǒng)，為其唯一的平衡狀態(tài)，的元均結(jié)論2：[李亞普諾夫判據(jù)]為分段連續(xù)的一致有界的實函數(shù)。則原點平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的充分必要條件，是對任意給定的一個實對稱、一致有界和一致正定的時變矩陣，存在正實數(shù)，使成立第五十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章如下形式的李氏方程有唯一的實對稱、一致有界和一致正定的矩陣解，即存在正實數(shù)，使成立：第五十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章4.5線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定自由運動的衰減性能的估計趨向原點平衡狀態(tài)的收斂快慢作出估計。線性定常系統(tǒng)，利用李氏判據(jù)可判斷其原點平衡狀態(tài)是否這種估計不必求出自由運動的解。為漸近穩(wěn)定，還可對穩(wěn)定的自由運動，即一種間接估計穩(wěn)定自由運動的衰減性能。第五十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章原點為唯一的平衡狀態(tài)，且為漸近穩(wěn)定。衰減系數(shù)零輸入響應(yīng)，即由任一初始狀態(tài)出發(fā)的自由運動軌線線性定常自治系統(tǒng)，隨時間的增加而趨于原點。第五十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期三第四章減到零。物理上，運動的收斂趨向于，相應(yīng)的能量也隨之衰初始能量小，衰減速率大，收斂就快。反之收斂得就愈慢。李氏函數(shù)是一種能量，是“能量”隨時間變化的速率。第五十六頁，共六十六頁，編輯于2023