控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述課件

第一章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

6/12/202311、狀態(tài)空間描述2、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換3、傳遞函數(shù)矩陣4、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述5、用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和模型轉(zhuǎn)換第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述6/12/20232第一節(jié)狀態(tài)空間描述1.1.1狀態(tài)空間描述的基本概念1.1.2狀態(tài)空間方程的建立1.1.3化高階微分方程為狀態(tài)空間方程

6/12/20233動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)能儲(chǔ)存輸入信息的系統(tǒng)，系統(tǒng)中要有儲(chǔ)能元件。[術(shù)語(yǔ)]：

狀態(tài)：指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=to時(shí)刻的初始狀態(tài)能記憶系統(tǒng)在t<to時(shí)的全部輸入信息。狀態(tài)變量：指足以完全描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量。

完全描述：如果給定了t=to時(shí)刻這組變量值，和t>=to時(shí)輸入的時(shí)間函數(shù)，那么，系統(tǒng)在t>=to的任何瞬間的行為就完全確定了。最小個(gè)數(shù)：意味著這組變量是互相獨(dú)立的。減少變量，描述不完整，增加則一定存在線性相關(guān)的變量，毫無(wú)必要。6/12/20234狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間。在某一特定時(shí)刻，狀態(tài)向量是狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn)。狀態(tài)軌跡：以為起點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移，在狀態(tài)空間繪出的一條軌跡。狀態(tài)向量：把這幾個(gè)狀態(tài)變量看成是向量的分量，則稱為狀態(tài)向量。記作：或：6/12/20235狀態(tài)方程：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。反映系統(tǒng)中狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系，也反映每個(gè)狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的變化關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個(gè)數(shù)，r是輸入變量個(gè)數(shù)；是線性或非線性函數(shù)。通式為：6/12/20236將通式化為矩陣形式有：狀態(tài)向量輸入向量系數(shù)矩陣輸入矩陣6/12/20237輸出方程：在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函數(shù)關(guān)系。反映系統(tǒng)中輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個(gè)數(shù)，r是輸入變量個(gè)數(shù)，m是輸出變量個(gè)數(shù)，是線性或非線性函數(shù)。通式為：6/12/20238將通式化為矩陣形式有：輸出向量輸出矩陣關(guān)聯(lián)矩陣6/12/20239(2)狀態(tài)空間表達(dá)式非唯一性,這是和傳遞函數(shù)明顯區(qū)別的地方。狀態(tài)變量非唯一，導(dǎo)致矩陣A,B,C,D非唯一。(1)為描述系統(tǒng)方便，經(jīng)常用代表一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。[說(shuō)明]：動(dòng)態(tài)方程或狀態(tài)空間表達(dá)式：將狀態(tài)方程和輸出方程聯(lián)立，就構(gòu)成動(dòng)態(tài)方程或狀態(tài)空間表達(dá)式。一般形式如下：其中：A、B、C、D矩陣含義同上。6/12/202310(3)定常系統(tǒng)：A,B,C,D各元素與時(shí)間無(wú)關(guān)；時(shí)變系統(tǒng)：A,B,C,D中的各元素一部分或全部是時(shí)間的函數(shù)；

定常系統(tǒng)；時(shí)變系統(tǒng)(5)系統(tǒng)輸出與狀態(tài)的區(qū)別：系統(tǒng)輸出：希望叢系統(tǒng)中測(cè)得的信息，物理上可以量測(cè)到；系統(tǒng)狀態(tài)：描述系統(tǒng)內(nèi)部行為的信息，物理上不一定可觀測(cè)。(4)非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：和是x與u的某類非線性函數(shù)。可以用線性系統(tǒng)來(lái)近似6/12/202311常用符號(hào)：[系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的模擬結(jié)構(gòu)圖]：模擬結(jié)構(gòu)圖：注:負(fù)反饋時(shí)為－注：有幾個(gè)狀態(tài)變量，就建幾個(gè)積分器積分器比例器加法器6/12/202312[狀態(tài)變量的選取]：建立狀態(tài)空間表達(dá)式的前提系統(tǒng)儲(chǔ)能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量（對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）一、從系統(tǒng)物理機(jī)理建立動(dòng)態(tài)方程：1.1.2狀態(tài)空間方程的建立6/12/202313【例1】如下圖所示電路，為輸入量，為輸出量。建立方程：和可以表征該電路系統(tǒng)的行為，就是該系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量6/12/202314可以改寫(xiě)為取狀態(tài)變量指定作為輸出有或6/12/202315電路微分方程也可以寫(xiě)為取狀態(tài)變量矩陣形式為狀態(tài)空間表達(dá)式非唯一狀態(tài)變量選取非唯一6/12/202316練習(xí)建立右圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式根據(jù)牛頓第二定律選擇狀態(tài)變量機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式6/12/202317[練習(xí)]R-C-L網(wǎng)絡(luò)如圖所示。e(t)-輸入變量，

-輸出變量。試求其狀態(tài)空間描述[解]：1.)確定狀態(tài)變量?jī)蓚€(gè)儲(chǔ)能元件C和L，故選和為狀態(tài)變量，組成狀態(tài)向量x=[]R1LucuR2R2ciciL6/12/2023182)根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫(xiě)2個(gè)回路的微分方程：將代入上式，消去中間變量，并整理得：所以狀態(tài)方程為：6/12/202319右電路圖可知:所以輸出方程為：所以系統(tǒng)各矩陣為：6/12/202320[例2]電樞控制式電機(jī)控制系統(tǒng)原理如圖1-3所示，試建立電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)空間方程。

圖1-3電樞控制式電機(jī)控制系統(tǒng)原理圖6/12/2023211、根據(jù)電機(jī)原理，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)，其大小為2、在磁場(chǎng)強(qiáng)度不變的情況下，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩與電樞電路的電流成正比，即3、根據(jù)基爾霍夫定律，電樞電路有下列關(guān)系：4、對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)軸，根據(jù)牛頓定律，有6/12/202322取電樞回路電流、轉(zhuǎn)角及其電機(jī)軸角速度為系統(tǒng)的三個(gè)狀態(tài)變量，取電機(jī)軸轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)輸出，電樞控制電壓為系統(tǒng)輸入，我們有或這是一個(gè)三階系統(tǒng)6/12/202323如果我們對(duì)電機(jī)軸轉(zhuǎn)角不感興趣，在本例中我們可以取電樞電路電流及電機(jī)軸角速度為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量，取電機(jī)軸角速度為系統(tǒng)輸出，電樞控制電壓為系統(tǒng)輸入，我們有或這是一個(gè)二階系統(tǒng)6/12/202324[例3]設(shè)有一倒立擺安裝在馬達(dá)驅(qū)動(dòng)車上，如圖1-4所示?？刂屏作用于小車上。假設(shè)倒立擺只在圖1-4所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，擺桿的重心就是擺球的重心，試求該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

6/12/202325解：設(shè)小車和擺桿的質(zhì)量分別為和，擺桿長(zhǎng)，所以擺桿重心的水平位置為，垂直位置為。按照物理定律，擺桿和小車的運(yùn)動(dòng)方程如下：擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)方程：擺桿重心的水平運(yùn)動(dòng)：6/12/202326擺桿重心的垂直運(yùn)動(dòng)小車的水平運(yùn)動(dòng)：6/12/202327因?yàn)槲覀儽仨毐３值沽[垂直，所以可假設(shè)和的量值很小，因而使得，并且由于擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小，可看作對(duì)以上方程線性化，可以推導(dǎo)出系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型：6/12/202328若定義狀態(tài)變量系統(tǒng)的輸出量系統(tǒng)模型6/12/2023291.1.3化高階微分方程為狀態(tài)空間方程線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為在經(jīng)典控制理論中,控制系統(tǒng)的時(shí)域模型為：解決問(wèn)題:選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量,并由定出相應(yīng)的系數(shù)矩陣A、B、C、D.兩類問(wèn)題：1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)2、微分方程中包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)6/12/202330微分方程形式:1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)2.）將上兩邊對(duì)t求導(dǎo)，化為狀態(tài)變量的一階微分方程組.1.）選擇狀態(tài)變量.

若給定初始條件則系統(tǒng)行為被完全確定故選擇為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。輸出及其各階導(dǎo)數(shù)

令:6/12/2023313.）化為向量矩陣形式：狀態(tài)方程為:

輸出方程為:6/12/2023325.）說(shuō)明：狀態(tài)變量是輸出y及y的各階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)矩陣A特點(diǎn)：主對(duì)角線上方1個(gè)元素為1，最下面一行為微分方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為0，稱為友矩陣4.）畫(huà)模擬結(jié)構(gòu)圖：

6/12/202333[例1]

設(shè)系統(tǒng)輸入-輸出微分方程為下式，求其狀態(tài)空間表達(dá)式。[解]：若選，可導(dǎo)出系數(shù)矩陣A，B，C

模擬結(jié)構(gòu)圖6/12/2023342、微分方程中包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程形式：狀態(tài)變量選擇原則：使導(dǎo)出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。分析：如果仍按照微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的方法，將輸出及輸出的各階導(dǎo)數(shù)選為狀態(tài)變量，則得到的狀態(tài)方程的模擬結(jié)構(gòu)圖如下，6/12/2023351.）選擇狀態(tài)變量:為了使系統(tǒng)狀態(tài)方程中不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，狀態(tài)變量可以這樣選擇：式中系數(shù)是待定系數(shù).整理(2)式得:由結(jié)構(gòu)圖可以看出:6/12/2023366/12/202337聯(lián)立(3)式和(4)式，即可求得狀態(tài)空間表達(dá)式為：輸出方程:狀態(tài)方程:A仍然是友矩陣從中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式中不含有u的各階導(dǎo)數(shù)了2.）求思路:由式(2)可以看出，將y表示成u的各階導(dǎo)數(shù)和x的形式，并代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則求解：6/12/202338由式(2)可以得到下式：在結(jié)構(gòu)圖中增加一個(gè)中間變量：令由式(5)和式(6)可求得：(7)6/12/202339將式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)左右等式中u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則可得到：為便于記憶，將上式寫(xiě)成：6/12/202340[例2]

系統(tǒng)輸出-輸入微分方程為下式，求其狀態(tài)空間表達(dá)式。[解]：系數(shù):按(8)式求得：6/12/202341寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式:說(shuō)明：這種形式很繁瑣，需要記憶的東西太多。

解決方法：一般將微分方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，由傳遞函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。狀態(tài)方程：輸出方程：6/12/2023421.2狀態(tài)空間方程的線性變換

1.2.1狀態(tài)向量線性變換

1.2.2化系數(shù)矩陣為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形

1.2.3化系數(shù)矩陣為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

6/12/202343[線性非奇異變換]：如果P非奇異陣，則將變換稱為線性非奇異變換。[用途]

通過(guò)線性非奇異變換，可以將狀態(tài)方程變成對(duì)角線或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。[系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性]：含義：同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量可以通過(guò)線性變換互相得到。1.2.1狀態(tài)向量線性變換6/12/202344兩組狀態(tài)變量的關(guān)系：其中：[例]：關(guān)于非奇異變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性考慮系統(tǒng)為：非奇異變換后，等價(jià)系統(tǒng)方程6/12/2023451）若選擇非奇異變換陣P為：結(jié)論：不同的非奇異變換陣，對(duì)應(yīng)不同的狀態(tài)方程，非唯一性2）若選擇非奇異變換陣P為：對(duì)角線矩陣6/12/202346對(duì)于系統(tǒng)矩陣A，若存在一非零向量，使得：[系統(tǒng)的特征值和特征向量]則：矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量矩陣A的特征值（A特征方程的根）矩陣A的特征方程矩陣A的特征矩陣矩陣A的特征多項(xiàng)式使，則稱為A的對(duì)應(yīng)于的特征向量.設(shè)為A的一個(gè)特征值，若存在某個(gè)n維非零向量，由定義可知：6/12/202347一個(gè)n維系統(tǒng)的方陣A，有且僅有

n個(gè)獨(dú)立的特征值。[特征值及傳遞函數(shù)陣的性質(zhì)]：對(duì)系統(tǒng)作線性非奇異變換，其特征值和傳遞函數(shù)陣不變。（特征值和傳遞函數(shù)陣的不變性）

A為實(shí)數(shù)方陣，則其n個(gè)特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)對(duì)。

系統(tǒng)2:特征多項(xiàng)式，傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)1:特征多項(xiàng)式，傳遞函數(shù)陣6/12/2023484）設(shè)為系統(tǒng)矩陣A的特征值,是A屬于特征值的特征向量。當(dāng)兩兩相異時(shí)，線性無(wú)關(guān)，因此由這些特征向量組成的矩陣Q必是非奇異的。6/12/2023495）若系統(tǒng)矩陣A具有形式：則其特征多項(xiàng)式為：特征方程為：6/12/202350[特征向量的計(jì)算]：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對(duì)于每個(gè)特征值，計(jì)算其特征向量。

[例]：求下列矩陣A的特征向量。[解]：1)計(jì)算特征值

A的特征方程為：A的特征值：6/12/202351時(shí)特征向量：時(shí)特征向量：2）計(jì)算特征向量時(shí)特征向量：6/12/202352一、將狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型1、狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對(duì)于每個(gè)特征值，計(jì)算其特征向量。并由此組成非奇異變換陣P。3）由變換矩陣P和矩陣A，B，C求出，其中對(duì)角陣可以由特征值直接寫(xiě)出，只需求出即可。

6/12/202353定理1：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，如果A特征值互異，則必存在非奇異變換矩陣P，通過(guò)變換，將原狀態(tài)方程化為對(duì)角線規(guī)范形式。其中：

6/12/202354證明：

1）找非奇異變換陣由特征值性質(zhì)4)知，由A特征向量構(gòu)成的矩陣

是非奇異的，故可以選擇P為變換陣,其中2）求6/12/202355特征值定義上式兩端左乘得：證畢！6/12/202356[例]

將線性定常系統(tǒng)化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型.其中：當(dāng)時(shí)，

2)確定非奇異矩陣P[解]:1)求其特征值:6/12/202357取:當(dāng)時(shí)，取:同理當(dāng)時(shí)，得:取任意數(shù)6/12/2023583）求對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型為：6/12/202359證明：略(提示，根據(jù)特征值和特征向量的定義證明)。定理2：對(duì)線性定常系統(tǒng)，如果其特征值互異，且系數(shù)矩陣A是友矩陣，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異矩陣P是一個(gè)范德蒙矩陣，具有如下形式：6/12/202360[例]：線性定常系統(tǒng)，其中將狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型.[解]：1）確定系統(tǒng)特征值.由：得：6/12/2023612)確定非奇異變換陣P系統(tǒng)狀態(tài)方程對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型為：3)求6/12/202362定理3

對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)矩陣A具有重特征值，但獨(dú)立的特征向量的個(gè)數(shù)仍然為n個(gè)。這時(shí)可以通過(guò)變換，將A陣化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形。例

己知矩陣，試化A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形解：1、求系統(tǒng)特征值有重根6/12/2023632、確定非奇異變換陣P當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)6/12/202364由于系統(tǒng)有3個(gè)獨(dú)立特征向量，故原系統(tǒng)狀態(tài)空間方程可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形。對(duì)應(yīng)線性變換陣P可求出為3、化對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形6/12/202365二、化系數(shù)矩陣A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理1-4當(dāng)矩陣A具有m個(gè)重特征值，且對(duì)應(yīng)于每個(gè)互異的特征值，只存在一個(gè)獨(dú)立的特征向量，則必存在一個(gè)非奇異矩陣P，將A陣化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形其中為約當(dāng)塊，其形式為6/12/202366其中稱為對(duì)應(yīng)于的廣義特征向量此時(shí)非奇異矩陣P的求法假設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)重特征值，設(shè)為，對(duì)應(yīng)特征向量為

。由特征向量的定義，得到。

此時(shí)變換矩陣為6/12/202367說(shuō)明如果n階矩陣A有m個(gè)重特征值,n-m個(gè)互異特征值.為確定線性變換矩陣P，可以按上述方法求出對(duì)應(yīng)于的m個(gè)特征向量。按前面求對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形的方法求出其余對(duì)應(yīng)于的n-m個(gè)特征向量故對(duì)應(yīng)線性變換矩陣為6/12/202368小結(jié)：狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對(duì)于每個(gè)特征值，計(jì)算其特征向量，對(duì)于重特征值，還要計(jì)算其廣義特征向量。并由此組成非奇異變換陣P。

3）由變換矩陣P和矩陣A，B，C求出，其中約當(dāng)矩陣可以由特征值直接寫(xiě)出，只需求出即可。

6/12/202369例

己知矩陣，試化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形解：1、求系統(tǒng)特征值2、確定非奇異變換陣

當(dāng)

6/12/202370再將代入，有當(dāng)時(shí)，6/12/202371所以有，3、化約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形6/12/202372定理1-5：如果系數(shù)矩陣A是友矩陣如果其特征值是n重根，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為Jordan約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異矩陣P，其形式為：6/12/202373例

己知矩陣，試化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形解：1、求系統(tǒng)特征值2、確定非奇異變換陣

系統(tǒng)有三重特征值，且系數(shù)矩陣為友矩陣

6/12/202374求出變換陣3、化約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形6/12/2023751.3傳遞函數(shù)矩陣1.3.1由狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)陣1.3.2子系統(tǒng)串并聯(lián)與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣6/12/202376一、傳遞函數(shù)陣的引入：2）MIMO系統(tǒng)，多輸入對(duì)多輸出，故引入傳遞函數(shù)陣G(s)，G(s)是一個(gè)矩陣，可以表征多個(gè)輸入對(duì)系統(tǒng)輸出的影響；狀態(tài)空間表達(dá)式：二、傳遞函數(shù)陣定義：根據(jù)傳遞函數(shù)定義，式(1)拉氏變換，并令，得式(2)：1）SISO系統(tǒng)，一輸入對(duì)一輸出，用傳遞函數(shù)G(s)描述，

G(s)是一個(gè)元素；整理（2）式得：6/12/202377注意矩陣求逆定義傳遞函數(shù)陣：[說(shuō)明]：1）dim(G(s))=m×r，其中dim(·)表示·的維數(shù)。m是輸出維數(shù)，r是輸入維數(shù)。2）G(s)的每個(gè)元素的含義：表示第i個(gè)輸出中，由第j個(gè)輸入變量所引起的輸出和第j個(gè)輸入變量間的傳遞關(guān)系。3）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達(dá)式對(duì)應(yīng)的G(s)是相同的。6/12/202378[例

]已知系統(tǒng)求系統(tǒng)的G(s)[解]：6/12/202379[例

]求由表述系統(tǒng)的G(s)[解]：根據(jù)矩陣求逆公式：由傳遞函數(shù)陣公式得：6/12/202380求得：求得傳遞函數(shù)陣為：6/12/202381傳遞函數(shù)陣：子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：子系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：1.3.2子系統(tǒng)串并聯(lián)與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣

傳遞函數(shù)陣：6/12/202382則有：兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)聯(lián)結(jié)時(shí)：子系統(tǒng)并聯(lián)的前提：組合系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求法：6/12/2023831、狀態(tài)空間表達(dá)式2、傳遞函數(shù)陣為：分塊對(duì)角陣性質(zhì)[結(jié)論]：當(dāng)兩系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于各子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之和。6/12/202384兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)時(shí)：則有：子系統(tǒng)串聯(lián)的前提：1、狀態(tài)空間表達(dá)式6/12/2023852、傳遞函數(shù)陣為：回顧：分塊矩陣求逆[結(jié)論]：當(dāng)兩系統(tǒng)串聯(lián)時(shí)，組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于后一子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣乘以前一子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。由于矩陣左右乘不等，注意順序。6/12/202386兩個(gè)子系統(tǒng)反饋聯(lián)結(jié)時(shí)：關(guān)系：子系統(tǒng)反饋聯(lián)接的前提：不失一般性，令則有：6/12/2023871、狀態(tài)空間表達(dá)式2、傳遞函數(shù)陣為：[注意]：上式存在的條件是至關(guān)重要的。

6/12/202388例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，求該組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。6/12/202389解：該系統(tǒng)可看作兩個(gè)子系統(tǒng)反饋連接。由圖可知，

所以有或6/12/202390假定離散時(shí)間是等間隔的，采樣周期為T。用代表，用代表，分別表示系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列。1.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述1.4.1離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程一般的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)多屬離散控制系統(tǒng)。6/12/202391離散系統(tǒng)一般用差分方程表示其輸入輸出信號(hào)的關(guān)系，分兩種情況一、差分方程中不含輸入量差分項(xiàng)依次選取為狀態(tài)變量可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為6/12/202392輸出方程為二、差分方程中含有輸入信號(hào)的差分項(xiàng)6/12/202393同樣采用和前面1.1.3節(jié)線性系統(tǒng)相同的分析方法，可得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為6/12/202394例1-14

將高階微分方程變換為狀態(tài)空間方程。解：6/12/202395例1-15

將高階微分方程變換為狀態(tài)空間方程。解：6/12/202396系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為6/12/2023971.4.2脈沖傳遞函數(shù)矩陣z變換x(0)=06/12/202398例1-16

已知線性定常離散系統(tǒng)方程為求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣。解：6/12/2023991.5用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和模型轉(zhuǎn)換

MATLAB是美國(guó)MathWorksInc.開(kāi)發(fā)的一個(gè)用于科學(xué)和工程計(jì)算的大型綜合軟件，具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和工程運(yùn)算功能，完美的圖形可視化數(shù)據(jù)處理能力，標(biāo)準(zhǔn)的開(kāi)放式可擴(kuò)充結(jié)構(gòu)，極多的工具箱。目前在工程和非工程領(lǐng)域的科研、教學(xué)和開(kāi)發(fā)中已得到廣泛地應(yīng)用。對(duì)控制領(lǐng)域，MATLAB是應(yīng)用最廣的首選計(jì)算機(jī)工具。1.5.1MATLAB簡(jiǎn)介一、使用MATLAB的窗口環(huán)境6/12/2023100

MATLAB的窗口環(huán)境6/12/2023101MATLAB的程序類型包括腳本文件和函數(shù)（function）文件，它們都是以“.m”為擴(kuò)展名的文本文件。腳本文件是一些MATLAB的命令和函數(shù)的組合，類似DOS下的批處理文件。函數(shù)文件是有輸入輸出參數(shù)的M文件。函數(shù)接受輸入?yún)?shù)，然后執(zhí)行并輸出結(jié)果。用help命令可以顯示它的注釋說(shuō)明。文件名必須與函數(shù)名一致。MATLAB命令、函數(shù)和文件MATLAB的命令和函數(shù)很多，容易遺忘。這時(shí)可以用help或lookfor加函數(shù)名的方式獲取幫助；也可以打開(kāi)幫助窗口求助；另外還可以打開(kāi)示例窗口學(xué)習(xí)。6/12/2023102二、MATLAB基本數(shù)學(xué)運(yùn)算（1）MATLAB的變量、表達(dá)式和運(yùn)算符MATLAB的變量不需要在使用前聲明，并且會(huì)自動(dòng)給變量分配適當(dāng)?shù)膬?nèi)存。MATLAB的變量必須用字母開(kāi)頭，由字母、數(shù)字和下劃線組成，字母區(qū)分大小寫(xiě)。MATLAB的表達(dá)式由運(yùn)算符、變量、函數(shù)和數(shù)字組成。格式形式有兩種：一種是在提示符以后直接輸入表達(dá)式，運(yùn)算后的結(jié)果系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)地賦給變量ans，并顯示在屏幕上。ans是默認(rèn)的變量名，會(huì)在以后類似的操作中被覆蓋掉。另一種格式是：變量＝表達(dá)式，等號(hào)右側(cè)計(jì)算后結(jié)果賦給等號(hào)左側(cè)的變量后放入內(nèi)存中并顯示在屏幕上。在運(yùn)算式中，MATLAB通常不需要考慮空格；多條命令可以放在一行中，它們之間需要用分號(hào)隔開(kāi)。在表達(dá)式的末尾加上分號(hào)則禁止結(jié)果顯示6/12/2023103MATLAB的運(yùn)算符有三種類型：算術(shù)運(yùn)算符、關(guān)系運(yùn)算符、邏輯運(yùn)算符。它們的處理順序依次為算術(shù)運(yùn)算符、關(guān)系運(yùn)算符、邏輯運(yùn)算符。主要的算術(shù)運(yùn)算符有：＋（加法）、—（減法）^（冪）、*（乘）、/（左除）、\（右除）等；關(guān)系運(yùn)算符有：<（小于）、>（大于）、<=（小于等于）、>=（大于等于）、==（等于）、~=（不等于）等；邏輯運(yùn)算符有：&（與）、|（或）、~（非）。（2）矩陣的輸入Matlab是以矩陣為基本運(yùn)算單元。矩陣輸入時(shí)，整個(gè)矩陣以方括號(hào)[]作為首尾，行和行之間必須以分號(hào)或Enter鍵分隔，每行中元素用逗號(hào)或空格分隔。6/12/20231041.5.2控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述一、連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述有理函數(shù)形式的傳遞函數(shù)模型表示這時(shí)系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)向量唯一地確定出來(lái)零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)模型表示可以變量z、p、k分別表示系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益向量6/12/2023105二、狀