簡單線性規(guī)劃（應(yīng)用）

xyo簡單的線性規(guī)劃問題2一、實(shí)際問題

某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？按甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，由已知條件可得二元一次不等式組將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域，圖中的陰影部分中的整點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。yx4843o

若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用那種生產(chǎn)安排利潤最大？

設(shè)工廠獲得的利潤為z，則z＝2x＋3y把z＝2x＋3y變形為

它表示斜率為的直線系，z與這條直線的截距有關(guān)。如圖可見，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，截距最大，即z最大。M

二、基本概念yx4843o

把求最大值或求最小值的的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)樗顷P(guān)于變量x、y的一次解析式，又稱線性目標(biāo)函數(shù)。

滿足線性約束的解（x，y）叫做可行解。

在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。

一組關(guān)于變量x、y的一次不等式，稱為線性約束條件。

由所有可行解組成的集合叫做可行域。

使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解?？尚杏蚩尚薪庾顑?yōu)解5例1、營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費(fèi)最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白質(zhì)/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格三、例題解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么6目標(biāo)函數(shù)為：z＝28x＋21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域把目標(biāo)函數(shù)z＝28x＋21y變形為7xyo5/75/76/73/73/76/7它表示斜率為隨z變化的一組平行直線系

是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最小時，z的值最小。M如圖可見，當(dāng)直線z＝28x＋21y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，截距最小，即z最小。M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組8得M點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以zmin＝28x＋21y＝16由此可知，每天食用食物A143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元。9解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：2）設(shè)好變元并列出不等式組和目標(biāo)函數(shù)

3）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；4）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解1）理清題意，列出表格：5)還原成實(shí)際問題(準(zhǔn)確作圖，準(zhǔn)確計(jì)算)例題分析10例2

要將兩種大小不同規(guī)格的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示

：解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第一種鋼板y張，則規(guī)格類型鋼板類型第一種鋼板第二種鋼板A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格2121312x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0y≥0作出可行域（如圖）目標(biāo)函數(shù)為

z=x+y今需要A,B,C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少。X張y張例題分析11x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈Ny≥0y∈N直線x+y=12經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優(yōu)解.

作出一組平行直線z=x+y，目標(biāo)函數(shù)z=

x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時z=x+y=11.4,x+y=12解得交點(diǎn)B,C的坐標(biāo)B(3,9)和C(4,8)調(diào)整優(yōu)值法246181282724681015但它不是最優(yōu)整數(shù)解.作直線x+y=12答（略）例題分析12x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)B(3,9)和C(4,8)時，t=x+y=12是最優(yōu)解.答:(略)作出一組平行直線t

=

x+y，目標(biāo)函數(shù)t

=

x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打網(wǎng)格線法在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時t=x+y=11.4,但它不是最優(yōu)整數(shù)解，將直線x+y=11.4繼續(xù)向上平移，121218271597813即先求非整數(shù)條件下的最優(yōu)解，調(diào)整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（?。┑恼c(diǎn)值，最后篩選出整點(diǎn)最優(yōu)解．即先打網(wǎng)格，描出可行域內(nèi)的整點(diǎn)，平移直線，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點(diǎn)坐標(biāo)即為最優(yōu)整解．線性規(guī)劃求最優(yōu)整數(shù)解的一般方法:1.平移找解法：

2.調(diào)整優(yōu)解法：結(jié)論2:四、練習(xí)題：1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y滿足約束條件：142、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y滿足約束條件：1.解：作出平面區(qū)域15xyABCoz＝2x＋y作出直線y=－2x＋z的圖像，可知z要求最大值，即直線經(jīng)過C點(diǎn)時。求得C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－1），則Zmax=2x＋y＝32.解：作出平面區(qū)域16xyoABCz＝3x＋5y作出直線3x＋5y

＝z的圖像，可知直線經(jīng)過A點(diǎn)時，Z取最大值；直線經(jīng)過B點(diǎn)時，Z取最小值。求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），則Zmax=17，Zmin=－11。17解線性規(guī)劃問題的步驟：

（1）畫：

畫出線性約束條件所表示的可行域；

（2）移：

在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或