垂直于弦的直徑（兩）

24.1.2垂直于弦的直徑（兩課時）

由此你能得到圓的什么特性？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形。任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

思考

不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎?

?③AM=BM,AB是⊙O的一條弦.

你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.●O下圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？小明發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDM└由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.如圖，小明的理由是:連接OA，OB，●OABCDM└則OA=OB。∵CD⊥AB，∴AM=BM.∴點A和點B關于CD對稱.∵⊙O關于直徑CD對稱,∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂徑定理三種語言定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且

平分弦所對的兩條弧?！馩ABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.1、文字語言2、符號語言3、圖形語言垂徑定理還可表述為:一條直線如果滿足：(1)過圓心；(2)垂直于弦．那么可推出：(3)平分弦；(4)平分弦所對的優(yōu)弧；(5)平分弦所對的劣弧。判斷下列圖是否是表示垂徑定理的圖形。是不是是想一想垂徑定理的幾個基本圖形②CD⊥AB,AB是⊙O的一條弦，且AM=BM。你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些結論?與同伴說說你的想法和理由.過點M作直徑CD?！馩下圖還是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？小明發(fā)現(xiàn)圖中有:CD由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗如圖，小明的理由是：連接OA，OB，●OABCDM└則OA=OB?！逜M=BM∴CD⊥AB∵⊙O關于直徑CD對稱,∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.∴點A和點B關于CD對稱.垂徑定理的逆定理定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧?！馩ABCDM└AM=BM如圖∵CD是直徑,∴CD⊥AB,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.1、文字語言2、符號語言3、圖形語言BAOCD例1已知：以O為圓心的兩個同心圓，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，求證：AC=BD

．E變式：已知：如圖，線段AB與⊙O交于C、D

兩點，且OA=OB

．求證：AC=BD。．BOACD證明圓中與弦有關的線段相等時,常借助垂徑定理,利用其平分弦的性質來解決問題.

E例2如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離為3，求⊙O的半徑．·OABE小結圓半徑r，弦長a與圓心到弦的距離d之間有關系式：r2=d2+()2rda5例3如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．若AB=8，AO=5則，OE=

，DE=

。

思路指導：求圓中有關線段的長度時,常借助垂徑定理轉化為直角三角形,從而利用勾股定理來解決問題.

32變式1：如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。若AB=16，OE=6，則AO=

，DE=

。

104變式2：如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．若OE=5，AO=13，則AB=

，DE=

。248變式3：如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。若DE=8，AO=20，則OE=

，AB=

。

1232變式4：如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。若OE=9，DE=6，則AO=

，AB=

。1524變式5：如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．若AB=40，DE=10，則OA=

，OE=

。2515小結：在圓的半徑，弦長，弦心距及弓形高四個量中，只要已知兩個量，我們就可以借助勾股定理和垂徑定理求出另外的兩個量。例4如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證：四邊形ADOE是正方形．D·OABCE垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。題設結論（1）過圓心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧討論（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧（1）（3）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）（5）（2）（3）（4）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，

并且平分弦所對的兩條弧（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦

所對的兩條?。?）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分

弦，并且平分弦所對的另一條弧推論（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦

所對的兩條弧。（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分

弦，并且平分弦所對和的另一條弧。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，

并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦

所對的兩條弧（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平

分弦，并且平分弦所對的另一條弧垂徑定理記憶根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果具備：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論注意判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧…………..()（2）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經過圓心……..()（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分…………...()（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧………()（5）圓內兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√∵AB∥CD，∴MN⊥CD。由垂徑定理得AM＝BM，CM＝DMAM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒例5已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD⌒⌒.CDABO證明：作直徑MN⊥AB。MN結論兩條平行弦所夾的弧相等。符號語言：∵AB∥CD∴AC＝BD⌒⌒問題：如果兩條弦所夾的弧相等，那么這兩條弦一定平行嗎？ABCDO練習1：弓形的弦長為6，弓形的高為2，則這弓形所在的圓的半徑為

.練習2：已知P為⊙O內一點，且OP＝3，如果⊙O的半徑是5，那么過P點的最短的弦等于

.變式：已知一個直徑為10的⊙O內有一點P，OP=3，求所有過點P的弦長度x的取值范圍。8≤x≤108練習3：已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，則AB和CD的距離為

．

2或14.O.OADCBABCDMNMN練習4：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于E，∠DEB=30°，DE=11，CE=3，求弦AB的長。F練習5：如圖，已知AB、AC為弦，OM⊥AB于點M，ON⊥AC于點N

，BC=4，則MN＝

。2練習6：在⊙O中，直徑CE⊥AB于D，OD=4，弦AC=