指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課件-高三數(shù)學(xué)一復(fù)習(xí)

3.3專題三、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一指數(shù)與對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算1.指數(shù)冪的運(yùn)算根式的性質(zhì)

=

若

有意義,則(

)n=a分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

=

,a>0,m,n∈N*,n>1

=

,a>0,m,n∈N*,n>1指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)(其中a,b>0,r,s∈R)aras=ar+s(ar)s=ars(ab)r=arbr2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則性質(zhì)loga1=0;logaa=1

=N;logaaN=N(a>0且a≠1,N>0)換底公式logbN=

(a,b均大于0且不等于1,N>0)相關(guān)結(jié)論:logab=

;logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)運(yùn)算法則條件a>0且a≠1,M>0,N>0結(jié)論loga(MN)=logaM+logaNloga

=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

定義域R值域(0,+∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí),y=1當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x<0時(shí),y>1;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1在(-∞,+∞)上是增函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

定義域(0,+∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí),y=0當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)3.反函數(shù)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反

函數(shù),它們的定義域與值域正好互換,圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

4.1)指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)的大小關(guān)系如圖所示,其中0<c<d<1<a<b.2)在直線x=1的右側(cè):當(dāng)a>1時(shí),底數(shù)越大,圖象越靠近x軸;當(dāng)0<a<1時(shí),底數(shù)

越小,圖象越靠近x軸.如圖所示,其中a>b>1>c>d>0.綜合篇考法一比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式大小的方法1.單調(diào)性法:對(duì)于同底數(shù)指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小比較,利用函數(shù)的單調(diào)性

進(jìn)行比較.2.中間量法:對(duì)于底數(shù)不同的指數(shù)式、對(duì)數(shù)式或指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的綜合

比較大小,利用“中間量法”比較,中間量常選0和1.3.構(gòu)造法:對(duì)于復(fù)雜的代數(shù)式的大小比較問題,常根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.例1

(2021天津,5,5分)設(shè)a=log20.3,b=lo

0.4,c=0.40.3,則a,b,c的大小關(guān)系為

(

)A.a<b<c

B.c<a<b

C.b<c<a

D.a<c<b解析∵log20.3<log21=0,∴a<0,∵lo

0.4=-log20.4=log2

>log22=1,∴b>1,∵0<0.40.3<0.40=1,∴0<c<1,∴a<c<b.故選D.答案

D考法二指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的相關(guān)問題1.對(duì)于與指數(shù)函數(shù)的圖象有關(guān)的問題,一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象

入手,通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)主要是單調(diào)性,常用單調(diào)性來比較大小、解簡(jiǎn)單的指

數(shù)不等式、求函數(shù)的值域(最值)等.3.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題,首先,要熟知指數(shù)函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì),其次,要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,涉及值域、

單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí),一般要借助“同增異減”分析判斷,最終將問

題歸納為與內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決.注意:當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí),應(yīng)分類討論.例2

(多選)(2021河北高碑店月考,11)已知函數(shù)f(x)=

+m(m∈R),則下列說法正確的是

(

)A.f(x)的定義域?yàn)镽B.若f(x)為奇函數(shù),則m=-

C.f(x)在R上單調(diào)遞減D.若m=0,則f(x)的值域?yàn)?0,1)解析對(duì)于A,由2x+1≠0恒成立,知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以A正確;對(duì)于B,由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),得f(-x)=-f(x),即

+m=-

-m,所以2m=-

-

=-

-

=-

-

=-1,即m=-

,所以B正確;對(duì)于C,由f(x)=

+m=

+m=-

+m+1,因?yàn)楹瘮?shù)y=2x+1為R上的增函數(shù),所以y=-

為R上的增函數(shù),所以f(x)在R上單調(diào)遞減是不正確的,所以C不正確;對(duì)于D,當(dāng)m=0時(shí),f(x)=

=1-

,由2x+1>1,可得-1<-

<0,所以1-

∈(0,1),即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,1),所以D正確.故選ABD.答案

ABD例3

(多選)(2021山東棗莊三中檢測(cè),10)已知函數(shù)f(x)=

,g(x)=

,則f(x)和g(x)滿足

(

)A.f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)B.f(-2)<f(3),g(-2)<g(3)C.f(2x)=2f(x)g(x)D.[f(x)]2-[g(x)]2=1解析易知f(x),g(x)的定義域?yàn)镽.選項(xiàng)A,f(-x)=

=-

=-f(x),g(-x)=

=g(x),故A正確.選項(xiàng)B,易知f(x)為增函數(shù),則f(-2)<f(3)成立,又g(-2)=

,g(3)=

>g(-2),故B正確.選項(xiàng)C,2f(x)·g(x)=2×

·

=

=f(2x),故C正確.選項(xiàng)D,[f(x)]2-[g(x)]2=[f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)]=ex·(-e-x)=-1,故D錯(cuò)誤.故選ABC.答案

ABC考法三對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的相關(guān)問題解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性問題的關(guān)鍵:一是看底數(shù)是否大

于1,當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給出時(shí),應(yīng)對(duì)底數(shù)a是否大于1進(jìn)行討論;二是運(yùn)用復(fù)合

法來判斷其單調(diào)性,但應(yīng)注意中間變量的取值范圍;三要注意其定義域(這

是一個(gè)隱含條件),也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則.例4

已知a>0,且a≠1,f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函數(shù),則a的取值范圍

是

(

)A.

B.{a|a>1}C.

D.

解析令g(x)=|ax2-x|,由題意知g(x)≠0,作出g(x)=|ax2-x|的圖象如圖.若a>1,則y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,0<

<1,由g(x)的圖象可知g(x)在[3,4)上遞增,故f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上單調(diào)遞增,故a>1時(shí)成立;若0<a<1,則

解得

≤a≤

.綜上可知,a的取值范圍是

.答案

A例5

(2021遼寧葫蘆島聯(lián)考,20)已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f(-x)=3ln

.(1)求f(x)的解析式;(2)若f

+f

≥0對(duì)x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.解析

(1)要使2f(x)-f(-x)=3ln

有意義,則

>0,即x<-1或x>1.因?yàn)?f(x)-f(-x)=3ln

,①所以用-x代替x得2f(-x)-f(x)=3ln

=3ln

,②①×2+②得3f(x)=3ln

,故f(x)=ln

,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)由題意可知x+

+6>1,x2+

+

>1在x∈(1,+∞)恒成立.令y=lnm,函數(shù)y=lnm在(0,+∞)上單調(diào)遞增,m=

=1+

在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)=ln

在(1,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(x)+f(-x)=ln

+ln

=0,所以f(x)=-f(-x),即f(x)是奇函數(shù).由f

≥f

,得x+

+6≤x2+

+

.令t=x+

,由x>1,得t=x+

>2,即t∈(2,+∞).將t=x+

兩邊平方得x2+

=t2-2,則

≥-t2+t+8,令y=-t2+t+8,則該函數(shù)在(2,+∞)上單調(diào)遞減,即y<6,所以

≥6,即a≥36.故a的取值范圍為[36,+∞).3.3專題三、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)習(xí)題精練基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一指數(shù)與對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算1.(2023屆湖北摸底聯(lián)考,4)若3x=4y=10,z=logxy,則

(

)A.x>y>z

B.y>x>zC.z>x>y

D.x>z>y答案

A

2.(2022湖湘教育三新探索協(xié)作體期中,4)設(shè)4a=3b=36,則

+

=

(

)A.3

B.1

C.-1

D.-3答案

B

3.(2021全國(guó)甲理,4,5分)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題,視力情況可

借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記

錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五

分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(

≈1.259)

(

)A.1.5

B.1.2

C.0.8

D.0.6答案

C

4.(2020課標(biāo)Ⅰ文,8,5分)設(shè)alog34=2,則4-a=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

5.(2019北京,6,5分)在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描

述.兩顆星的星等與亮度滿足m2-m1=

lg

,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的

亮度的比值為

(

)A.1010.1

B.10.1C.lg10.1

D.10-10.1答案

A

6.(多選)(2021江蘇常州一模,12)已知正數(shù)x,y,z滿足3x=4y=12z,則

(

)A.6z<3x<4y

B.

+

=

C.x+y>4z

D.xy<4z2答案

AC

7.(2023屆蘭州五十五中開學(xué)考,17)求下列各式的值.(1)

+

-10(

-1)-1+π0;(2)lg25+lg2·lg50+(lg2)2.解析

(1)

+

-10(

-1)-1+π0=

+(500-1

-10×

+1=

+10

-

-

+1=

-

.(2)lg25+lg2·lg50+(lg2)2=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2(lg2+

lg5)=2(lg2+lg5)=2.考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2020課標(biāo)Ⅰ理,12,5分)若2a+log2a=4b+2log4b,則

(

)A.a>2b

B.a<2b

C.a>b2

D.a<b2答案

B

2.(2023屆山東濰坊臨朐實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,2)函數(shù)y=

(-x2+x+6)的單調(diào)遞增區(qū)間為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

3.(2023屆遼寧鞍山質(zhì)量監(jiān)測(cè),3)“冪函數(shù)f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上為增

函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=2x-m2·2-x為奇函數(shù)”的

(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案

A

4.(多選)(2022廣東普寧二中月考,12)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)

奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),他和阿基米德、牛頓并列為世界

三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)x∈R,用[x]表示不超過x

的最大整數(shù),則y=[x]稱為高斯函數(shù).例如:[-3.2]=-4,[2.3]=2.已知函數(shù)f(x)=

-

,若g(x)=[f(x)],則下列敘述正確的是

(

)A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)在R上是減函數(shù)C.g(x)是偶函數(shù)D.g(x)的值域是{-1,0}答案

AD

5.(2022廣東華僑中學(xué)月考,5)已知函數(shù)y=ax-2+1(a>0,且a≠1)的圖象過定點(diǎn)

P,若點(diǎn)P在直線2mx+ny-6=0(m,n>0)上,則

+

的最小值為

(

)A.2

B.

C.8

D.

答案

B

6.(2022T8聯(lián)考,4)已知函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=2x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)

稱,g(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),g(x)=f(x)-x,則g(-8)=

(

)A.-5

B.-6

C.5

D.6答案

C

7.(2022廣東南山蛇口育才中學(xué)月考,7)如圖,直線x=m(m>1)依次與曲線y=logax、y=logbx及x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B及

點(diǎn)C,若B是線段AC的中點(diǎn),則

(

)A.1<b≤2a-1

B.b>2a-1C.1<b≤2a

D.b>2a答案

B

8.(2022河北邢臺(tái)“五岳聯(lián)盟”聯(lián)考,15)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列四個(gè)性質(zhì)

的函數(shù)f(x)=

.①定義域?yàn)?0,+∞);②單調(diào)遞增;③f(x1x2)+f(1)=f(x1)+f(x2);④f(1)>0.答案

lg(2x)(答案不唯一,只要滿足f(x)=kloga(mx)(k>0,a>1,m>1)即可)9.(2023屆廣東普寧華美實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考,14)寫出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函

數(shù)f(x)=

.①f(x)的定義域?yàn)?0,+∞);②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);③當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0.答案

log3x(答案不唯一)綜合篇考法一比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式大小的方法1.(2023屆福建龍巖一中月考,2)已知a=log1.10.9,b=0.91.1,c=1.10.9,則a,b,c的大

小關(guān)系為

(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a答案

A

2.(2021新高考Ⅱ,7,5分)若a=log52,b=log83,c=

,則

(

)A.c<b<a

B.b<c<a

C.a<c<b

D.a<b<c答案

C

3.(2018天津理,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo

,則a,b,c的大小關(guān)系為

(

)A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>b答案

D

4.(2020天津,6,5分)設(shè)a=30.7,b=

,c=log0.70.8,則a,b,c的大小關(guān)系為

(

)A.a<b<c

B.b<a<cC.b<c<a

D.c<a<b答案

D

5.(2022湖北京山、安陸等百校聯(lián)考,7)已知a=4log242,b=log54,c=

,則

(

)A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>b>a

D.a>c>b答案

A

6.(2019天津理,6,5分)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為

(

)A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b答案

A

7.(2022福建永安三中月考,2)若a=2.1-3,b=

,c=log20.5,則

(

)A.b>c>a

B.b>a>c

C.a>c>b

D.a>b>c答案

B

8.(多選)(2022山東日照校際聯(lián)考,9)若0<a<b<c,則下列結(jié)論正確的是

(

)A.lna<lnb

B.b2<a2

C.

<

D.

<

答案

AC

9.(2020課標(biāo)Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則

(

)A.a<b<c

B.b<a<c

C.b<c<a

D.c<a<b答案

A

考法二指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的相關(guān)問題1.(2020課標(biāo)Ⅱ理,11,5分)若2x-2y<3-x-3-y,則

(

)A.ln(y-x+1)>0

B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0

D.ln|x-y|<0答案

A

2.(2022河北邯鄲一模,14)不等式10x-6x-3x≥1的解集為

.答案

[1,+∞)3.(2022湖南岳陽二模,15)關(guān)于x的不等式(x-1)9999-29999·x9999≤x+1的解集為

.答案

[-1,+∞)考法三對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的相關(guān)問題1.(2023屆安徽十校聯(lián)考,6)已知函數(shù)f(x)=loga(x2-ax+a),若?x0∈R,f(x)≥f(x0)

恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)A.{a|1<a<4}

B.{a|0<a<4,且a≠1}C.{a|0<a<1}

D.{a|a≥4}答案

A

2.(2022廣東深圳六校聯(lián)考二,7)已知函數(shù)f(x)=log0.5(x+

),若a=0.6-0.5,b=log0.50.6,c=log0.65,則

(

)A.f(a)<f(b)<f(c)

B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)

D.f(b)<f(a)<f(c)答案

A

3.(2022遼寧渤海大學(xué)附中月考,6)函數(shù)y