2022全國新高考數學試卷詳細解析

2022全國新高考數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.若集合河=卜|、佚<4},N=（x|3xNl},則=

A(A10<X<2}

。{否4x<16}

C.{>13<x<16)

【考點考法】三基法

【參考解析】易知M={x[04x<16}（左邊需要考慮定義域），而"=卜|》2；）,

所以MDN='x|gvx<16）.故選D.

2.若i（l-二）=1,則二+"

1考點考法】三基法

【參考解析】因為小一二）=L所以1一二二=1一Li+i,

ii

故二+5=l+i+l-i=2.故選D.

【可忽略的延伸】若二=。+萬，則二+5=2〃，延伸出去還涉及了虛根成對原理哦.

3.在A18C中，點。在邊AB上，記CA=nrCD=n,則CB=

A.3m-InB.-2m+3nC.3m+2wD.lm+3M

[考點考法】曲型的拆分法

【參考解析1】

CD=C4+.-iP=C4+i^=C4+1（JC+C5）=|G4+icBD/

所以而=35-2否=-2而+35,故選B.?Z____

D

【參考解析2】

?2-1--.

（如果知道結論的話）CD=-CA+—CB^>CB=3CD-2CA=-2m+3沆

1+21+2

1120

4.南水北調工程緩解了一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫。知該水庫水

位為海拔148.5“時，相應水面的面積為140.0A?；水位為海拔157.5朋時，相應水面的

面積為180.05?將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔

148.5次上升到157.5m時，熠加的水蚩約為"2651

41.0x109m35.1.2X1O9W3C.1.4X10WD.1.6X109?M3

【參考解析】

〉=；卜上+用丁+5下)/

=Ax(l80+7180x140+140)xl0sx(157.5-148.5)

=^X^20+60A/7)X9X10S

?3x(320+60x2.65)x10?

=1437x10?=1.437x10?

故選C.

5.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為

A-5-C-D-

63_23

【考點考法】枚舉法'正難貝坂法

【參考解析1】

總的有C；=21種，

而2個數不互質的有

(2,4)(2,6)(2,8),(3,6)(4,6)(4,8),(6,8)共？種，

7_2

豳尸=1一滑3,故選D

【考點考法】枚舉法

【參考解析2】

總的有C"21種，

若選了2,則需要選奇數，再選357共3種，

若選了3,則不選6即可，再選4,578共4種:

2/20

若選了4,則需要選奇數即可，再選5,7共2種;

若選了5,則均可，再選678共3種；

若選了6,則需要選奇數，再選7共1種；

若選了7,則再選8共1種；

所以尸=1占4=14二2=故選D.

C213

6.記函數/(x)=sin:<必-+；］+從/>0)的最小正周期為丁，若孕<T<則『=/(x)

【考點考法】順藤摸瓜法

3乃Jt,4A--1

—X0+—=上乃=◎=-----

【參考解析】依題有246

因為—<T<7T,由T=—=2<<y<3,

3G)

缶c4左一1?1319

故2<-------<3=>—<kL<—,

644

又酬上eZ,故左=4,所以。=與=：,

62

而°=2,所以1/&)=血：》+冬+2,

b=一

7.設4=01。,9,c=-ln0.9,則

Aa<b<cBe<b<aCr<a<bD.a<c<b

3/20

【考點考法】泰勒展開公式；構造函數法;

【參考解析，沐師提供】

,所以J」al+O/+^^=1.105=>O.leol?O.llO5,

因為/~l+x+

2

1、「

V?！股?，岫不足以影響結果府的，所以

構造/(x)=xex+In(l-x)(O<x<0.1),

豳r(x)=(x+i>i-J-=仔擔，

1-xx-1

h(x)=(x2-l)?1+1,則“㈤=(V-l+2x*<0,

所以Mx)J,故Mx)T(0)=0，

又因為x-l<0,所以F(x)N0恒成立，

所以/(0.1)>/t0)=0na>c,

綜上，￡<0<6.故選口

8.已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，目

3Ms3上則該正四棱錐體積的取值范圍是

2764

【考點考法】外接球之勾股定理、求導法、消元法

【參考解析】由士成3=36兀=>及=3,

3

4/20

如上圖所示，設.=，，PH=h,

則易知川+『=尸，①

且仍-3尸+/=9,②

聯(lián)立①②解得產=6方，/=6力-吃所以方=/1,|,

所以P=LS/J=1X^^XA=2(-〃3+6〃2),

3323

令/㈤=?一〃3+6力2),則/^〃)=x(_3/+12〃)=-2確一4),

易知=/⑷號，而故選c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知正方體WBC。-4&G，，則

A.直線8G與所成的角為90°

B.直線8G與C4所成的角為90°

C.直線3G與平面所成的角為45°

D.直線"G與平面3CD所成的角為45。

【考點考法】平移法；轉化與化歸思想；三垂線定理；.//—/X，

【參考解析】/-----卜，"

對于A:顯然可以平移到C及，所以顯然垂直，故A對,X------------V

對于B:由三垂直定理知，以】投影到前面這個面的投影為a】，所以顯然垂直，故B對，

對于c：顯然平面3BQN的一個法向量為4G,

而必4￡是等邊三角形，所以3G與法向量所成的角為60。，在線面角為30°.故C錯；

對于DJ顯然平面■必C。的一個法向量為CG,顯然MCG是一個等腰直角三角形，故D

對，

綜上，選ABD.

5/20

10.已知函數/（X）=f-X+1則

A..x）有兩個極值點

B.1x）有三個零點

C.點（°”是曲線V=的對稱中心

D.直線T=2x是曲線.串=力外的切線

【考點考法】導致工具法；

【參考解析】

對于A：因為/（x）=3x+l,腑^（力=3/-1,

/（x）=0=3X2-l=0=>x=±—

令3

經蛤證顯然有兩個極值點，故A對；

人㈤9八

/—=--------->0

J39

對于B:而17，故沒有三個零點，只有一個零點，故B錯;

對于C:有幾種解法

①因為）'='-X是奇出數，所以向上平移一個單位后得/&）='-x+l

故點（刈是曲線J的對稱中心，

6/20

②顯然=6x,令/＜（X）=°=X=°,而/（0）=1,所以點（°，1）是曲線y=力動

的對稱中心J

③因為/（x）+/V~x）=2,所以點（久）是曲線y=/U）也稱中心j

故C對J

對于D：令〃x）=2,則X=±l,

若》=1,則切點?iJ）,顯然切點不過直線y=2x,故此時不滿足j

當然也可以算出切線方程為y=2（x-l）+1

若x=T,則切點N-LD,顯然切點不過直線J'=2”,故此B寸不滿足；

當然也可以算出切線方程為V=2（x+D+lj

故D錯；

綜上，選AC

c

11.已知°為坐標原點,點,"J）在拋物線/=2m1（「＞0）上，過點5（0-1）的直線交

C于尸，。兩點，則

A.0的準線為y=tB.直線-必與c相切

網.園＞制2\BP\.\BQ\＞\BAf

**?12?

【考點考法】聯(lián)立韋達定理、柯西不等式

【參考解析，沐師提供】

易知』2p,所以/=乙所以A錯；

易知L?=2x-1,聯(lián)立拋物線與直線得/-2x+l=0,即△=（）,故B對；

對于C:

尸\\OQ\＞|Qd「=2=\opf■＞4

oQ；+KI4+E）＞（K巧+.?必）’（柯西不等式），

設"="一1,聯(lián)立拋物線有

右+1=。=心巧=1必=（隼）2=1

2

5i+x2=k［必+”=Mx1+X2）-2=k-2

所以（x；+y；）（石+y1）＞（再巧+??）J=4（正確）

7/20

對于D.BPBQ=BPjBQcos0=師卜。]>區(qū)=5,

o(不，M+1卜(巧,必+1)=書+》必+回+必)+1>5

=”+y2>2=M>4

y3

t0=XQX^>y=2x^x-y0=Ix^x-君

過D點切線：2，(切線方程可以用口訣:“平

方換一個，一次項換為平均數來記憶”)

將8(0,-1)代入，得T=Y=>君=1,

取與=1=左切=2,

所以爐>居=4(正確力

綜上，選BCD.

12.已知函數為?及其導函數廣(萬的定義域均為及，記爪6=/(6,若

g(2+x)均為偶函數，則

"(0)=0'4一撲°仁〃T)=〃4)Dg(-l)=g(2)

【考點考法】特殊函數法；排二選二法；對稱性

【參考解析】這題完全類似2020新高考2卷理科第8題.可以用特殊函數法來分析哦.(但是

要注意，多選題滿足一個特殊函數的只是待定，不代表它就滿足所有情況哦.)

令，(動=1,顯然滿足所有條件，故A錯；

再令/'(x)=_sin族，

J]—-2x|=cos2JK./、

貝ij1216x)=/Xx)=Trcosm：所以式x+2)=rrcos加，

也滿足條件J

g(-1)=-^cos(-7i)=7rg(2)=一乃cos(2;r)=—不.故D錯；

根據排選BC.-

8/20

考后分析：

下面分析BC為什么是正確的：根據可導的奇函數的導函數是偶函數，可導的偶函數的

導函數是奇函數，（證明過程請看題型闖關練的第8題），

3

因為彳|-2,是偶函數，所以?。╆P于軸5對稱，葩〃T）=〃4）,故c

對J

而,弓-2x）=-2/^-2x）,眥'/弓一2》）是奇函數，所以-2x）是奇函

數,

對稱,且若卜

所以工動關于點

又因為42+6為偶函數，所以翻動關于軸》=2對稱，

故C對；

所以雙X）的周期々=412—羨）=2,所以g［g-2）=on——［）=0,故B對;

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13」1-￡^+］，）8展開式中/丁的系數為（用數字作答）.

【考點考法】分析法，簡單的排列組合

【參考解析】

當前面為1時，后面X出現(xiàn)2次，》出現(xiàn)6次，故由排列組合知'=0=28,

y

當前面為X時，后面X出現(xiàn)3次，7出現(xiàn)5次，故曲非歹怪合知3=一盤=-56,

所以系數為28-56=-28.

14.寫出與圓/+/=1和（x-3）2+0-4）2=16都相切的一條直線的方程

【考點考法】數形結合思想；靈活運用時間

【參考解析】作為開放型的填空題，并且題號在14題，故只需要畫個圖就知道兩個圖的一

條外公切線為x=T,故考試的時候只需要埴x=T,然后即可進入下一題了哦.

本題的所有公切線為x=T份卜公），7廠24），-25=的卜公），3、+分，-5=吶公）

15.若曲線J'=（x+有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍是_________.

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【考點考法】切套；判別式法

【參考解析】設切點

因為y=（x+a/,所以y'=（x+a+l）/,所以上=（再+。+1,\

所以切線方程為，=（再+。+1卜”（x-再）+（再+?>x],

令x=y=O,則有0=（再+4+1,*（一再）+（3+。）人,

化簡得才+筆一。：。，

因為曲線y=（x+a/有兩條過坐標原點的切線，

△>（）=>J+4<7>0

所以。<T或。>0.

16.已知橢圓c：/+/一（">b>o）,c的上頂點為a,兩個焦點為6、B,離心率

1

為5,過片且垂直于.蜴的直線與C交于2E兩點，內上6,則HDE的周長是

【考點考法】挖提隱含條件,

沐師提供:

W=2r

設“H8=。=2c=A46巴為等邊三角形,

AF2=。=2r

AE=EF2

所以=L'FDF'=船＞

-ID=DF2

b2

DF、=

因為，l-ecos30°

b2

ER=

l+ecos30°

所以。5=郎+即=6,

1313

所以c=1=a=U,所以/亞日=13.

84?

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

10/20

17.（10分）

記S”為數列E｝的前“項和，已知q=1,&是公差為!的等差數列.

14J3

（1）求卜｝的通項公式；

⑵證明：l+±+...+J_<2.

ala1an

【考點考法】（1）公式法；以退為進作差法；累乘法；（2）裂項相消法

【參考解析】

（1）因為是公差為5的等差數列，而員=1,

MJ3可

所以區(qū)='+（"-1時=1+?（〃-1）=5"=仁〃+44,①

anax3\33）

“22時,S〃_i；卜②

①減②，得：-^-=—,

an-\"-1

所以也.，包=：,忍=二，

ax1a22a^xn-1

以上式子相乘，得冊=岑』，”N2.

經檢蛉，〃=1時，%=1,符合.

所以4=竽.

⑵由⑴知%=亨所以上=彳公=2已

an+\n

所以

，

11/20

因為.'所以高＞。,

胞2一品2,

gp—+—+???+—<2

'n

18.(12分)

cosAsinIB

記&.C的內角d,B,C的對邊分別為。，6,c,已知

1+sinJ1+cosIB

⑴若C=與，求

“24-A2

(2)求巴孝-的最小值.

【考點考法】(1)二倍角公式；和角差角公式；誘導公式；三角形內角和定理;

(2)轉化與化歸思想；余弦定理；基本不等式.

【參考解析，沐師提供】

cos-4_sinIB_2sin5cos5sin5

(1)因為1+sind1+cosIB2cos"BcosBf

所以cosNcos3=sin5+sinJsin5,

所以cos(J+5)=sin5

cos(-4+5)=sinB=>sinB=cos(^-C)=cos—=—

又因為32,

C=—>-B<-B=-

因為32,所以2,故6.

sinB=cos(zr-C)=sin'C-—I

2)

⑵因為I,

B=C--

般2,

sind=sin(3+C)=sin|2C--|=-cos2C

2J

所以I,

由余弦定理J+-2abcosC=>a1=c24-2^6cosC,

12/20

所以

a1+6:c24-2^r6cosC.labcosC

------2----=------------2---------=1+---------2------

ccc

2sinJsinBcosC

=1+-------------------------

sin'C

,2sinAsinBcosC

=1+-------------------------

sin2c

,2cos2Ccos2C

=1+-----------弓------

sin2C

I?2（1-2血￡）（1—m2。）

sin*C

=1+"S&-3）

>l+2（272-3）=472-5

2sin:C=—1；-sin:C=

當且僅當血C,即2時取得等號，

綜上，J的最小值為4Ji-5.

19.（12分）

如圖，直三棱柱33C—451G的體積為4,AJ/C的面積為2JI

（1）求.到平面43c的距離；

<2）設。為4c的中點，巨4=’6,平面斗。_L平面一18禺4,求二面角及一如一c

的正弦值.

【考點考法】（1）等體積法；（2）建系套路法（本地至點學建系關）

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【參考解析，沐師提供】

(1)由于乙R-3G一力，所以3,

設求X到平面43C的距離為A；

(2)設。為4c卬點，且&=。

由于

平面45C_L平面-1B叫4.

平面.1BC±平面-1B&4>=3C_L平面一如14

平面且灰?PI平面4BC=BC

J9

因為dBu平面-4B叫4,所以3C_LAS,

在直角AzLBC中，乙=90。，連接43,過人作AH_奉,

則一四!平面0。而BC_L平面加BC，AXB

由必=.18,j/f=&,

所以J4=zLB=2,45=20,

AMC=2應=-AxB^BC=>BC=2

由2,

所以以B為原點，向量而，BA,班1分別為xj,二軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則C(Z0,0),捅020),4(022),D(LU),5(0,0,0)

所以眉=(0,2,0),麗=(LL1),5C=(2,0,0)

設平面,ABD的一個法向量為=(%乂二)，

nA4=0_>[j=0

則nBD=01x+y+二=0,令x=],則育5=(1.0,-1).

設平面BCD的一個法向量E=U-Ao.-o),

14/20

升=0

<n-BC=Q

—k=<

.HBD=0.%+%+二0=0,令y=l,則有方=(QL-1).

則ni

l方加11

所以8價*麗=不近=5

sin(n,m\=—

所以2

皂

所以二面角A-BD-C的正弦值為T.

20.（12分）

一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛(wèi)生習慣（J2生習慣分為良好和不夠

良好兩類）的關系，在己患該疾病的病例中隨機調查了10°例的為病例組），同時在未患該疾

病的人群中隨機調查了10°人府為對照組），得到如下數據：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（D能否有9Mb的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，.表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表

世⑷世@）

示事件"選到的人患有該疾病"，尸（耳?⑷與噸?可的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該

疾病風險程度的一項度蚩指標，記該指標為及.

°）證明：m風詞；

（"）利用該調查數據，給出丹山3）,的估計值，并利用付的結果給出出的估計值.

niad-bc)1MK'N幻|00500.0100001

It13.841

(a+bXc?dX。+以。+d)6.63S10.82S

【考點考法】（D列聯(lián)表約分滿分拿;（2）條件概率

15/20

[參考解析，沐師提供】

⑴“黑朦蒜胃…25,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.

(2)用局部估計總體.

(I)

P（AB）尸（叼）

_P（B\A）p（g|2）=14）田夕17）-pjTT

-H3|d）P（J|J）—P（B\A}P<B\A）一尸（瓦4）P（反打

P（A）-P（J）

RMH網

=PUS）尸國）=P⑻麗_PiA\B）P^\B）

-P（5J）-P（5J）-P（^J）P（BA]-P{A\B\P{A\B}

P[B\P（B）

p（崗團=迪=挈=%p（引乃=里=維=%

間?（3）M3）100''P（B）而）100

瑁⑻事事=弛44|利富=甥」

尸⑻n（B）100,P[B）n（B）100

40x90

所以「60x10一

故及的估計值為6.

21.（12分）

已知點.4(2,1)在雙曲線C:y-=1(?>1)±,直線/交C于尸，。兩點，直線

.尸，.。的斜率之和為°.

⑴求’的斜率

⑵若tanAPAQ=2、位，求APJ0的面積.

【考點考法】(1)試根法；聯(lián)立韋達再計算；雙十字相乘法；(2)夾角公式；暴力計算法;

【參考解析，沐師提供】

(1)因為點M2」)在雙曲線。：三一工=1(。>1)上，所以有=1

aaaa-1

解得『=2,所以雙曲線C：1■-/=1

16/20

設直線=。（孫”），

[x2-

---V=1

,2.

聯(lián)立y=Azv+w消y得（1-2K卜一4A?wx_2m?-2=0

顯然1-2好H°,否則不可能有兩個交點，

而Auahnp—qi_Z二[_2加2_2）=8（用2+1—2二）＞0,

._4ATW_2m?-2

由韋達定理得七七一1-2好，?"一l-2k2,

因為直線a尸，的斜率之和為0,

0=.T+乃T=/T）（＞-2）+（『2TX」-2）

所以再一2巧一2（再一2）（七-2）,

所以（兇—1）（七一2）+仇TX再-2）=0,

即（有+加一娟與-2）+（3+加-1）（七-2）=0,

所以有2也巧+（w-l-2H再+巧）-4（優(yōu)-1）=0,

將韋達定理代入化簡得（*+l*2*+"-l）=°（雙十字相乘法），

而當2上+加7=0,此時直線/為y=h+l-2號易知情過定點出2,1）,故舍去,

所以上=T,此時滿足A＞°.

（2）

由（D易知再+巧=4加再與=2w2+2

目卜1一引=）（再+為』-4和=2&&」-8

依題可設a尸斜率為左，'。斜率為一髭，

2、泛=tan￡PAQ=

則由夾角公式知（后面補充證明）1+%?（一左）,

由對稱性易知，只需考慮片＞°的情況就行，

所以有戊早+檢一點二°,解得它應或立一孝（舍）.

17/20

而標=比==必一1=匕（再一2）,同理必一」一可（七一2）,

再-2

而AP=（^-2,^-1