《水力學》課件-第七章 實際流體的流動

第七章

實際流體的流動?

由于粘性的影響，實際流體的流動會呈現(xiàn)出兩種不同的型態(tài)

—

層流和紊流，它們的流場結構和動力特性區(qū)別很大，必須加以判別，并分別研究。?

不可壓縮實際流體的層流流動可直接從

N-S

方程出發(fā)求解，但能得到解析解的實例是極少的，平行平板間和圓管中的均勻流是其中的兩個。?

在紊流流場中存在隨機的脈動量，須對瞬時量取統(tǒng)計平均，分別討論平均流動和脈動量。?

不可壓縮實際流體紊流平均流動的運動方程（雷諾方程）的應力項中含有脈動量的貢獻（雷諾應力）。須用半經(jīng)驗理論建立雷諾應力與平均流速的關系，才能使方程封閉。?

討論壁面附近紊流切應力的特性，給出紊流流速的對數(shù)分布律。為后面的管道水力計算和邊界層兩章作準備。實際流體流動的基本特性可用壁面無滑移條件解釋有旋性擴散性耗散性渦量不再具有保持性，有向無旋區(qū)域擴散，趨于均勻的趨勢粘性耗散能量第七章

實際流體的流動§7—1流動的兩種型態(tài)§7—2層流流動§7—3紊流流動§7—4圓管中的紊流流動§7—1流動的兩種型態(tài)實際流體的流動會呈現(xiàn)出兩種不同的型態(tài)：層流和紊流，它們的區(qū)別在于：流動過程中流體層之間是否發(fā)生混摻現(xiàn)象。在紊流流動中存在隨機變化的脈動量，而在層流流動中則沒有。有。1883年，雷諾試驗表明：圓管中恒定流動的流態(tài)轉化取決于雷諾數(shù)vdνRe

=d

是圓管直徑，v

是斷面平均流速，ν

是流體的運動粘性系數(shù)。實際流體的流動之所以會呈現(xiàn)出兩種不同的型態(tài)是擾動因素與粘性穩(wěn)定作用之間對比和抗衡的結果。針對圓管中恒定流動的情況，容易理解：減小

d

，減小

v

，加大

ν

三種途徑都是有利于流動穩(wěn)定的。綜合起來看，小雷諾數(shù)流動趨于穩(wěn)定，而大雷諾數(shù)流動穩(wěn)定性差，容易發(fā)生紊流現(xiàn)象。對比抗衡擾動因素粘性穩(wěn)定νdvvdνRe

=利于穩(wěn)定圓管中恒定流動的流態(tài)轉化僅取決于雷諾數(shù)，這是客觀規(guī)律用無量綱量表達的又一例證，也是粘性相似準則的實際應用。圓管中恒定流動的流態(tài)發(fā)生轉化時對應的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，又分為上臨界雷諾數(shù)和下臨界雷諾數(shù)。上臨界雷諾數(shù)表示超過此雷諾數(shù)的流動必為紊流，它很不確定，跨越一個較大的取值范圍。有實際意義的是下臨界雷諾數(shù)，表示低于此雷諾數(shù)的流動ReC

=

2300必為層流，有確定的取值，圓管定常流動取為層流紊流層流紊流ReRe′ReC

=

2300下臨界雷諾數(shù)R上臨界雷諾數(shù)eC12000-40000由于兩種流態(tài)的流場結構和

動

力

特

性

存

在

很

大

的

區(qū)別，對它們加以判別并分別討論是十分必要的。例如，我們將會學到圓管中定常流動的流態(tài)為層流時，沿程水頭損失與平均流速成正比，而

紊

流

時

則

與

平

均

流

速

的1.75～2.0次方成正比。利用這一點來判別流態(tài)比用肉眼直接觀察更可靠、更科學。lghfn=1.75-2.0n=1過渡區(qū)紊流層流lgv§7—2層流流動層流流動可直接從

N-S

方程出發(fā)求解，但一般來說是很困難的，只有在極少數(shù)情況下才有解析解。下面給出兩個例子。一.兩平行平板間不可壓流體的層流流動（Couette流）N-S

方

程

最

簡

單

的

一

個解。它是

x-y

平面上的平面流動，u

=0，u

=u

(y)

.

流動yxx的

起

因

是

：

質

量

力

（

重力）、壓差和上下板之間的相對運動。x?

?ρ?

?p?

+γ

?p

z?

gk

???

?

+ν??

?2u

=0????

+ν?2=u

0N-S方程??ρ??p?

=

p

+γ

z記注意

z軸必須鉛垂向上???p???

?

+ν?u

=02?

?ρ?

?=ν?2ux=

01

?p?ρ

?分量式x1

?p?ρ

?yd

p?d2

ux=

μ=

constxd

xdy2直接積分，并由邊界條件

u

(0)=0和

u

(h)=U，得：xx1

d

p?Uh2

d

p?

yuy

yux

=y(y

?

h)

+

yx

=

?(1?

)

+2

d

xμhU2

U

d

x

h

h

hμ無量綱化uyy

y=

(1?

)

+x

PUh

h

hd

p?d

x=

?2μ其中

P

(h

/

2

U)斷

面

流

速

呈

拋

物

線

分布。無量綱壓力梯度

P

取不同值時的速度剖面如下頁圖所示，注意

P<-1

時出現(xiàn)的“回流”現(xiàn)象。x二.圓管中的層流流動（Poiseuille流）圓管中的不可壓流體層流流動也是一種能夠得到解析解，同時又是重要而實用的流動。它是

x-r

子午面上的軸對稱二維流動，u

=

0

，

u

=

u

(r)

.

流動的起因是：質量力（重力）和壓rxx差。p?

=

p

+γ

z記注意

z軸鉛垂向上直

接

對

圖

示微

元

寫

出

重力、壓差力和粘性力的平衡方程式p??+?p

d

pr

d

p?2

d

xdu

r

d

p?2

d

dτ

πr

x

?

p*πr2

=0τ

=μ=xd

r

2

d

x積分，并考慮到邊界1

d

p?4μ

d

xγJ4μux

(r)=

?2

?

2

=(r

r

)2

?

2(r

r

)條件

ux(r0)

=

0，得00d

pd

x

γ式中J

=

?

(

+

z)p?測管水頭線沿程下降率，也是總水頭沿程下降率，即水力坡度?+?p

d

p斷面流速是旋轉拋物面分布切應力是線性分布1

d

p?γJμ=

?(r

r

)20?2=20?(r

r

)2ux

(r)4

d

xμ4r

d

p?τ

=管壁處切應力大小2

d

x易于得到流量r?γ

r0

Jduxdrr

d

pτ0

=

?μ=

?()=0πr40μdp?02

d

x2∫Q

=

2π

u

(r)r

d

r

=(?)r=r0x8d

x0管軸處流速最大?1

d

pu=

?r02uxmaxμ4

d

xτ平均流速1v

Q

/

r=

π

=20umax2以上兩個例子中值得注意的問題p?

=

p

+γ

zz軸鉛垂向上d

p?d

x=

const綜合了壓差和重力的作用均勻流的起因，均勻流要求壓差是常以上兩個均勻流的例子中流速的拋物線分布是層流的特征，而切應力的線性分布則并不要求層流的條件，它是直接由運動方程得到的。數(shù)，而不是壓強為常數(shù)?！?—3紊流流動一.紊流的發(fā)生紊流發(fā)生的機理是十分復雜的，下面給出一種粗淺的描述。擾動使某流層發(fā)生微小的波動層流流動的穩(wěn)定性喪失（雷諾數(shù)達到臨界雷諾數(shù)）流速使波動幅度加劇造成新的擾動數(shù)）引起流體層之間的混摻在橫向壓差與切應力的綜合作用下形成旋渦旋渦受升力而升降任意流層之上下側的切應力構成順時針方向的力矩，有促使旋渦產(chǎn)生的傾向。-+-++-高速流層低速流層渦體旋渦受升力而升降，產(chǎn)生橫向運動，引起流體層之間的混摻二.紊流中物理量的表示紊流的基本特征是有一個在時間和空間上隨機分布的脈動流場疊加到本為平滑和平穩(wěn)的流場上。所以對于紊流的各種物理量采用取統(tǒng)計平均的處理方法，把瞬時物理量看成平均量與脈動量之u

=

u

+

u′

(i=1,

2,3)和，如iii統(tǒng)計平均的方法有多種：對時間、對空間、對集合都可以取平均，在“各態(tài)歷經(jīng)”假設成ui(t)ui立的前提下，一般采用時間平t均法1

Tu

=

u

d

t∫TiiT0在對瞬時量取平均時所取的時段

T

應遠大于脈動量的振蕩周期，遠小于流動涉及的時間域尺度，只有這樣，才能把平均量定義在空間和時間點上。脈動量的平均值為零。=

+

′f

f

f=

+

=

+f

f

f

f

f′′′

=f

0脈動量的統(tǒng)計特性一般要用均方根表示，如′2ui紊流流場各項物理量的平均值一般是隨時間緩變的（相對于脈動量的變化而言），如果不隨時間而變，則可稱為“恒定”的紊流。三.紊流的基本方程紊流的基本方程指的是時均流場所滿足的方程，紊流流動的瞬時量仍滿足連續(xù)方程和

N-S方程。通過對瞬時量所滿足的連續(xù)方程和

N-S

方程兩邊取平均的方法可以得到紊流時均流動的連續(xù)方程和運動方程。因為連續(xù)方程的各項都是線性項，取平均值后脈動量不出現(xiàn)。?

u

+

u′

?

u

+

u′()(u

u

)瞬時量滿足的連續(xù)方程()

?

+

′+yy+=

0xxzz?x?y?z?u兩邊取平均?u?uy

+

=

0+xz?u?u?u?x

?y

?z+y

+

=

0xz時均量滿足的連續(xù)方程?x

?y

?z兩瞬時量乘積的平均值中含有脈動量的乘積。=

+

′

+

′

=

?

+

′?

′f

f

(

f

f

)(

f

f

)

f

f

f

f1

211221212N-S方程中的位變慣性力項是非線性的對流項，其平均值中含有脈動量的貢獻。根據(jù)瞬時量連續(xù)方程?(u

u

)

??(u

u

)(u

u

)+xy+x

xx

z?ux?ux?ux?z?x?y?zux+

uy+

uz?x?y?(u

u

u

u+

′

′

)

?(u

u

u

u+

′

′

)

(?u

u

u

u

)+

′

′+xyxy+x

xx

xx

zx

z?x?y根據(jù)時均量連續(xù)方程u

u

?

′

′u

u?z??u??u??u?

′

′

?

′

′u

uxy+uxx+uyx+uzx+x

x+x

z?zxyz?x?y對瞬時量滿足的

N-S

方程兩邊取平均，得到紊流時均量所滿足的運動方程

—

雷諾方程。?u?u?u?u1

?pρ

?x+++=

?X+ν?2uxxuxxuyxuzx?t?x?y?z?′

′??u′u′

?u

u?

′

′u

ux

z??u?x

?xu?y

?yu?z

?zu?1

pρ

?x??+x

u+x

u+x

u=

?x

X+ν?2

?ux

x+xy

+??x?x?y?zt???u?ux

?x?uy

?y?uxz

?z+x

u+x

u+x

u?t雷諾方程?ρ

′

′?1

p?1

?(?ρu′u′

)

?(?

u

u

)

?(?

ρu′u′)??X?+ν?2u

+x

x+xy

+x

z??ρ

?xx

ρ?x?y?z??四.雷諾應力雷諾應力常記為雷諾方程中出現(xiàn)新增?

ρ

′

′u

u

(i

1,

2,3;

j

1,

2,3)τ′

=

?ρ

′

′==的應力u

u

，叫做ijijij紊流附加應力或雷諾應力，它是脈動流速對平均流動的貢獻。共有九個量，組成二階對稱張量，其中只有六個量是獨立的。雷諾應力無法用解析方法確定，只能用基于試驗的經(jīng)驗方法給出其與平均流速的關系，以使雷諾方程封閉。從物理上說明脈動如何產(chǎn)生附加切應力因y方向的脈動穿過dAy的質量通量ρu′

d

A

=

f

(y)yy動量通量u

(u

u

)d

A=

ρ

′

+

′d

Kxyxxyux

=

f

(y)y上層流體獲得的動量通量時均值d

Ku

(u

u

)d

A=

ρ

′

+

′u

u

d

A=

ρ

′

′′uxyxxyy

xyd

Ayyux下層流體所受切應力u

uτ′

=

?ρ

′

′yxy

x雷諾應力是流體微團的脈動造成的對時均流動新增的應力，原有的粘性應力仍然存在。x五.紊流的半經(jīng)驗理論混合長度理論是最基本的一種尋求雷諾應力與平均流速關系的半經(jīng)驗理論?；旌祥L度理論假設微團垂向移動

l1

后，進入并與相鄰流層混合，類比于分子運動的自由程。?uxy′

≈

?x′sgn(u

)ul1?yy′

∝

′u

uuxyxl1?ux′

≈u

Cl′sgn(u

)y1?yyl

混合長度dux

duxxu

uτ

′

=

?ρ

′

′

=

ρ

2lyxx

ydy

dy雷諾應力代表的紊動混摻作用的結果總是使時均流動在整個斷面上更加均勻化，這一點是與粘性應力的作用相同的。類比于粘滯切應力，將雷諾應力寫成duxd

yτ′yx

=

μt則時均流動的總切應力??du

duduτ

=

(μ

+

μ

)

=

?μ

+

ρl?x2xx??yxtdydy

dy??可見

μt

不僅取決于流體的物理屬性，還與流動本身有關。六.紊流中壁面附近切應力和流速的分布把壁面附近紊流時均流動看作由主流帶動的無壓均勻流相當于τττττ=const若是層流duτ

=

μ=

constxdyττ導致

ux

的線性分布而在紊流情況下τ

=

const并不能導致

ux

的線性分布duduτ

=

(μ

+

μ

)

=

const=constxxtd

yd

y非常數(shù)為了能在紊流情況下，由已知的總切應力分布得到時均流速分布，做以下工作：決定混合長度的取值：根據(jù)試驗結果，對于固壁

（y=0）

附l

=

κy近的流動，有一般取，于是??du

du2??τ

=

μ

+

ρκ

2yxx??yxd

y

d

y??κ

=

0.4討論雷諾應力和粘性應力在總切應力中所占比重的分配在大雷諾數(shù)情況下，紊流時y均流動中雷諾應力比起粘性應力是占主導地位的，但是緊貼著物面，即使時均流速梯度很大，而脈動流速受壁面制約趨于零（公式中

y

→

0，l

→0

），所以情況將反過來，其ττ

′yx中的流動為層流。這一層叫做粘性底層或層流底層。τ0在粘性底層，粘性應力占主導地位。特別地，壁面上雷諾應力為零，總切應力完全是粘性應力。若總切應力沿斷面分布為τ

=

const=τ常數(shù)，則該常數(shù)即為壁面上的粘性應力。0鑒于壁面切應力的重要y性，定義壁面切應力與密度之比的開方為摩阻流速ττ

′yxτv?

=0ρτ0固壁附近，離粘性底層以遠一定距離后，雷諾應力占主導地位，粘性應力則可以忽略，此時雷諾應力近似等于總切應力，即壁面切應力。τ′yx

≈τ

=τ02??d

uρκ

2

y2

??

=

τxy??0d

y??1

τv?d

ux

=0

=d

y

κy

ρ

κyττ

′yx積分易得對數(shù)流速分布律：τ0ττττ層流紊流可以看到雷諾應力所代表的動量對流，使紊流的流速分布變得更加均勻，必然導致壁面流速梯度和切應力的增加。注意對數(shù)分布律不能用于粘性底層，所以紊流情況下，不能直接由流速分布，通過牛頓內摩擦定律得到壁面切應力，而是由對數(shù)分布律中的摩阻流速建立流速分布與壁面切應力之間的聯(lián)系。§7—4圓管中的紊流流動設圓管中紊流平均流動是

“恒定”

和均勻的，平均流速只有軸uu向分量

，我們來建立

在斷面上的分布，管壁起指向中心軸xxu的法向為

y軸，

上的橫杠不再寫出?？紤]管壁的粗糙性。x列出運動學問題的函數(shù)關系式管軸u

=

u

(y,k

,ν,v

)xxs?yks表示管壁人工砂粒粗糙高度五個相關聯(lián)的量可組成三個無量綱量uyx+

≡yv?uxksy+

≡v?ksνy+無量綱關系式為y+反映壁面影響+=+u

u

(y

,

)kys反映粗糙影響ks一.光滑圓管紊流+

=

+u

u

(y

)+d

u+d

y+d

uxd

yτ

0

=

μ=

ρv?2管軸y=

0y+

=

0yd

u+d

y+在很薄的粘性底層中，可認為=

1y+

=

0d

u+≈

1dy+x粘性底層速度分布隨著

y

+

的增加，越過一段過渡區(qū)，進入紊流區(qū)，有對數(shù)流速分布律y為什么？圓管流動存在壓差，切應力的分布情況與平面壁繞流不同。在推導層流流動的運動方程時我們已經(jīng)得到切應力的大小與離管軸距離間的線性關系

，這對于紊流平均流動依然是管軸rr0ττ

′yxτ對的。r

d

p?0τ

=2

d

x紊流情況下，總切應力由粘性應力和雷諾應力兩部分組成。管壁附近，離粘性底層以遠一定距離后，雷諾應力占主導地位，yτ′

≈τ

=τ

(1?

)圓管紊流流動的混合長度也應調整為yx0r0yl

=

κy

1

?y體現(xiàn)管軸處