二重積分的概念及計算

第10章重積分

§10.1二重積分一、引例二、二重積分的定義及可積性三、二重積分的性質(zhì)四、曲頂柱體體積的計算五、利用直角坐標(biāo)計算二重積分六、利用極坐標(biāo)計算二重積分七、二重積分換元法2021/5/91解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”2021/5/921)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體2021/5/934)“取極限”令2021/5/942.平面薄片的質(zhì)量有一個平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.2021/5/952)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量2021/5/96兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:2021/5/97二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域

D上的有界函數(shù)

,2021/5/98引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作2021/5/99二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點(diǎn)或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.2021/5/910三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))為D的面積,則2021/5/911特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有2021/5/9127.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此2021/5/913例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上2021/5/914例2.

判斷積分的正負(fù)號.解:

分積分域?yàn)閯t原式=猜想結(jié)果為負(fù)但不好估計.舍去此項(xiàng)2021/5/915例3.

判斷的正負(fù).解：當(dāng)時，故又當(dāng)時，于是2021/5/916例4.

估計下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D2021/5/917例5.

估計的值,其中D

為解:被積函數(shù)D的面積的最大值的最小值2021/5/9188.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有2021/5/919四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的2021/5/920同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算2021/5/921例6.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為2021/5/922內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法2021/5/923被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:2021/5/9242.設(shè)D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有2021/5/9253.計算解:2021/5/9264.證明:其中D為解:

利用題中x,y

位置的對稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.2021/5/927五、利用直角坐標(biāo)計算二重積分且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為

X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則2021/5/928當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于2021/5/929說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則2021/5/930例7.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則2021/5/931例8.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則2021/5/932例9.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.2021/5/933例10.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則2021/5/934例11.計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,2021/5/935解：原式例12.

給定改變積分的次序.2021/5/936對應(yīng)有六、利用極坐標(biāo)計算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為2021/5/937即2021/5/938設(shè)則特別,對2021/5/939若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)2021/5/940例13.計算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計算.2021/5/941注:利用例13可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時,利用例7的結(jié)果,得①故①式成立.2021/5/942例14.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知2021/5/943例15.計算其中D

為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.2021/5/944定積分換元法七、二重積分換元法滿足一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的,2021/5/945證:根據(jù)定理?xiàng)l件(2)(3)可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xoy

面上得到一個四邊形,其對應(yīng)頂點(diǎn)為則2021/5/946同理得當(dāng)h,k

充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為2021/5/947因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時,2021/5/948例16.計算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令則2021/5/949例17.計算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則2021/5/950例18.試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.2021/5/951內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t2021/5/952則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下2021/5/953(3)計算步驟及注意事項(xiàng)?

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