新同步學(xué)案數(shù)學(xué)必修第一冊版

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課時學(xué)案5.1.2

弧度制

1

360半徑正負01r要點3

角度、弧度的換算．(2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π6π4π3π22π33π45π6ππ(1)1°＝

180

rad，1

rad＝

180

π

°要點4

扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝

．(2)扇形面積公式：S＝1lR＝1αR2.2

2αR答：①無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個與“半徑”大小無關(guān)的定值．②以弧度為單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，這時弧度數(shù)在形式上雖是一個不帶單位的數(shù)，但我們應(yīng)該把它理解為一個帶有單位的數(shù)，如sin 2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°.但如果以度為單位表示角時，度就不能省去．③以弧度為單位表示角時，常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式，如無特殊要π求，不必把π寫成小數(shù)，如45°＝

4

弧度，不必寫成45°≈0.785弧度．④角度制和弧度制表示角時不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90π°＋4，k∈Z，都不正確．2．在公式|α|＝l中，比值l是否與圓的半徑r有關(guān)？r

r答：無關(guān)．3．我們初中學(xué)過的半徑為r，圓心角為n°的扇形弧長、面積公式分別是什么？nπr答：半徑為r，圓心角為n°的扇形弧長公式為l＝

180

，扇形面積公式為S扇nπr2＝

360

.課時學(xué)案題型一

弧度制的概念例1

【多選題】下列四個命題中，正確的是(

ABC

)A．半圓所對的圓心角是π

radB．周角的大小是2πC．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度探究1

(1)不論是以“弧度”還是“度”為單位，角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值．(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫，如2

rad可簡寫為2.(3)用弧度與度去度量同一個角時，除了零角以外，所得到的數(shù)量是不同的．思考題1

下列命題中，假命題是(

D

)A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位360B．1°的角是周角的

1

，1rad的角是周角的

12πC．1

rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)題型二

角度制與弧度制的互化例2

將下列角轉(zhuǎn)化為另一種形式表示．58(1)72°；(2)－300°；(3)

π；(4)－2.π【解析】

(1)72°＝72×2180＝5π.π(2)－300°＝－300×5180＝－3π.8

85π＝5×180°＝288°.180

360－2＝－2×

π

°＝－

π

°

.

探究2

解決這一類問題的關(guān)鍵是角度制與弧度制的互化關(guān)系，π弧度＝π

這個角的弧度數(shù)180°，再由公式

180°

＝

這個角的度數(shù)π得：度數(shù)×180

＝弧度數(shù)，弧度數(shù)180×

π

°＝度數(shù)．思考題2

(1)在下列表格中填上相應(yīng)的角度或弧度數(shù)．角度0°45°60°90°135°150°180°弧度π65π123π22π【答案】

角度：30°

75°

270°

360°弧度：0π

π

π

3π

5π4

3

2

4

6ππ

7π(2)已知α＝15°，β＝

10

，γ＝1，θ＝105°，φ＝

12

，試比較α，β，γ，θ，φ的大?。窘馕觥喀粒?5°＝15×

π

＝π，θ＝105°＝105×

π

＝7π，180

12

180

12π

π

7π∵12<10<1<

12，∴α<β<γ<θ＝φ.題型三

用弧度制表示相關(guān)角例3

將下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式，并指出它們是第幾象限角？19(1)

3

π；(2)－315°；(3)－32π15π4

3；(4)

.19

π【解析】

(1)

3π＝

3

＋6π，是第一象限角．π(2)－315°＝45°－360°＝

4

－2π，是第一象限角．(3)－415π

π＝－4π＋4

，是第一象限角．(4)32π32π＝10π＋3

，是第二象限角．探究3

在這類題中對于含有π的弧度數(shù)表示的角，我們先將它化為2kπ＋α(k∈Z，α∈[0，2π))的形式，再根據(jù)角α終邊所在的位置進行判斷．思考題3

把下列角化成2kπ＋α，k∈Z，0≤α<2π的形式，并判斷該角是第幾象限角？13(1)4

π；(2)－1

104°.413【解析】

(1)

π＝2π＋

45π，是第三象限角．π(2)－1104°＝－1104×180＝－152892π＝－8π＋ π，是第四象限角．15題型四

扇形的弧長及面積例4

(1)已知扇形的周長為10 cm，面積為4 cm2，求扇形的圓心角的弧度數(shù)；已知一扇形的圓心角為108°，半徑等于30

cm，求扇形的面積；已知一扇形的周長為16

cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？【解析】(1)設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長為l，半徑為rcm，依題意得12lr＝4，l＋2r＝10，①②由①得l＝10－2r，將它代入②，得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.當(dāng)r＝1時，l＝8

cm，此時θ＝8

rad>2π

rad，舍去．4

2當(dāng)r＝4時，l＝2

cm，此時θ＝2

1

rad.＝(2)設(shè)扇形的圓心角為α(0<α<2π)，半徑為R，弧長為l，面積為S.π∵108°＝108×3180＝5π，3∴l(xiāng)＝αR＝5π×30＝18π(cm)．1

1∴S＝2lR＝2×18π×30＝270π(cm2)．(3)設(shè)扇形的圓心角為θ(0<θ<2π)，半徑為r，弧長為l，面積為S，∵l＋2r＝16，∴l(xiāng)＝16－2r，∴0＜r＜8.2方法一：S＝1lr1＝2×(16－2r)r＝8r－r2＝－(r－4)2＋16.cm時，扇形的面積最大，最大值為16

cm2，此時θ＝∴當(dāng)半徑r＝4lr＝16－2×44＝2

rad.

2方法二：S＝1lr＝(8－r)·r≤8－r＋r2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)8－r＝r，即r＝4時取2等號．以下同方法一．探究4

靈活運用扇形弧長公式、面積公式列方程(組)求解是解決此類問題的關(guān)鍵，有時運用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想解決扇形中的最值問題，將扇形面積表示為半徑r的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的二次函數(shù)．思考題4

一條弦的長度等于半徑r，則(1)這條弦所對的劣弧長為

；．(2)這條弦和劣弧所組成的弓形的面積為π3r

6

－

4

rπ

3

2課后鞏固B．2kπ＋60°(k∈Z)1．與60°終邊相同的角可表示為(

D

)πA．k·360°＋

3

(k∈Z)C．2k·360°＋60°(k∈Z)πD．2kπ＋

3

(k∈Z)2．若α＝－4.72，則α是(

A

)A．第一象限角

C．第三象限角B．第二象限角D．第四象限角3π解析

∵－2

≈－4.712

4>－4.72，且－4.72>－2π，∴α是第一象限角．3．一條弧所對的圓心角是2

rad，它所對的弦長為2，則這條弧的長是()A.B.1

1C.sin1 sin

22D.2sin

1 sin2C解析

過圓心作弦的垂線，則所在圓的半徑為r＝

1

，故弧長為2×