2023北京豐臺(tái)高三（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

2023北京豐臺(tái)高三（上）期末

數(shù)學(xué)

2023.01

考生須知

1.答題前，考生務(wù)必先將答題卡上的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡簽字筆填寫清

楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，在答題卡的“條形碼粘貼區(qū)”貼好條形碼.

2.本次練習(xí)所有答題均在答題卡上完成.選擇題必須使用2B鉛筆以正確填涂方式將各小題對(duì)

應(yīng)選項(xiàng)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項(xiàng).非選擇題必須使用標(biāo)準(zhǔn)黑色字跡

簽字筆書寫，要求字體工整、字跡清楚.

3.請(qǐng)嚴(yán)格按照答題卡上題號(hào)在相應(yīng)答題區(qū)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在練習(xí)卷、

草稿紙上答題無(wú)效.

4.本練習(xí)卷滿分共150分，作答時(shí)長(zhǎng)120分鐘.

第一部分（選擇題40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知全集￡/=1<,集合A={x[-l<xW0},則QA=()

A.(-oo,-l)u(0,+oo)B.(-oo,-l]o(0,+oo)

C.(-oo,-l)[0,+oo)D.(-oo,-l]u[0,+oo)

2.已知復(fù)數(shù)2=迫+。，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（2?

3.在x--的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

VX）

A-24B.24C.-48D.48

4.已知向量a=（2,4）2=（4,1）,則“丸=0”是"a//b”（）

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增的是（）

A.y^l-x2B.y=tanx

C.y=xcosxD.y=e*+eT

第1頁(yè)/共19頁(yè)

6.已知拋物線。:丫2=23（0>0）過(guò)點(diǎn)41,0），焦點(diǎn)為凡若點(diǎn)3（九（））滿足|4尸|=|8/|,則加的值為

（）

A.2B.V2+1C.2或TD.及+1或1一夜

7.已知函數(shù)/（x）=31og2X—2（x—l）,則不等式/（幻〉0的解集是（）

A.（1,4）B.（-8,l）U（4,+8）

C.（0』）54,+。）D.（0,4）

22

8.設(shè)雙曲線（7:5年=1（“>08>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線/平行于雙曲線C的一條漸近線，與另

一條漸近線交于點(diǎn)P,與雙曲線C交于點(diǎn)0,若。為線段bP的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）

A.：B.—c.V2D.

225

9.如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面A8CO是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面A8CO,點(diǎn)M為底面上

的動(dòng)點(diǎn)，用到PQ的距離記為"，若|MC|=2d,則點(diǎn)/在底面正方形內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)度為（）

2兀八二371

A.2B.—C.J5D.—

34

10.市場(chǎng)占有率指在一定時(shí)期內(nèi)，企業(yè)所生產(chǎn)產(chǎn)品在其市場(chǎng)的銷售量（或銷售額）占同類產(chǎn)品銷售量（或

銷售額）的比重.一般來(lái)說(shuō)，市場(chǎng)占有率會(huì)隨著市場(chǎng)的顧客流動(dòng)而發(fā)生變化，如果市場(chǎng)的顧客流動(dòng)趨向長(zhǎng)期

穩(wěn)定，那么經(jīng)過(guò)一段時(shí)期以后的市場(chǎng)占有率將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)（即顧客的流動(dòng)，不會(huì)影響市場(chǎng)占有

率），此時(shí)的市場(chǎng)占有率稱為“穩(wěn)定市場(chǎng)占有率”.有4B,C三個(gè)企業(yè)都生產(chǎn)某產(chǎn)品，2022年第一季度它們

的市場(chǎng)占有率分別為：40%,30%,30%.經(jīng)調(diào)查，2022年第二季度Z,B,C三個(gè)企業(yè)之間的市場(chǎng)占有率轉(zhuǎn)

移情況如下圖所示：

若該產(chǎn)品以后每個(gè)季度的市場(chǎng)占有率轉(zhuǎn)移情況均與2022年第二季度相同，則當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài),

第2頁(yè)/共19頁(yè)

最終達(dá)到“穩(wěn)定市場(chǎng)占有率''時(shí)，/企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場(chǎng)占有率”為()

A.45%B.48%C.50%D.52%

第二部分(非選擇題110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

H.函數(shù)/(制=一」一+JTTT的定義域是___________.

2-1

12.在等差數(shù)列｛%｝中，公差1不為0,4=9,且q,%，%成等比數(shù)列，則〃=；當(dāng)〃=

時(shí)，數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和S“有最大值.

13.已知集合A=｛(x,y)|x-y-m=0,x,yeR｝,B=1(x,y)|x2+/-2x+2y=0,x,yeRj,若AcB

為2個(gè)元素組成的集合，則實(shí)數(shù)"?的取值范圍是.

14.已知函數(shù)/(x)=sin[8+聿](0>0),若，且f(x)在區(qū)間(2,/)上有最小值無(wú)最大值，

則g=.

15.已知函數(shù)/(x)=alnx—(x—l)2(aeR)存在兩個(gè)極值點(diǎn)芭(％<當(dāng))，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/")有零點(diǎn)；

②〃取值范圍是

I2J

③々〉1：

④/卜2)>0.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.如圖，已知正方體ABC。—中，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn).

(1)求證：8。7平面OGE；

(2)若點(diǎn)尸是線段8〃的中點(diǎn)，求直線與平面OGE所成角的正弦值.

17.在4ABe中，2asinB=?.

(1)求小

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⑵若b=2亞,從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得.ABC存在且唯一確定，求,ABC的

面積.

條件①：cosC=-12；

條件②:

條件③:sinB=——?

5

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.非物質(zhì)文化遺產(chǎn)(簡(jiǎn)稱“非遺”)是優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是一個(gè)國(guó)家和民族歷史文化成就的重

要標(biāo)志.隨著短視頻這一新興媒介形態(tài)的興起，非遺傳播獲得廣闊的平臺(tái)，非遺文化迎來(lái)了發(fā)展的春天.為

研究非遺短視頻受眾的年齡結(jié)構(gòu)，現(xiàn)從各短視頻平臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了1000名非遺短視頻粉絲,記錄他們的年齡，

將數(shù)據(jù)分成6組：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70],并整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率

0.028

0.024

O'10203040506070年舲(歲)

(1)求。的值；

(2)從所有非遺短視頻粉絲中隨機(jī)抽取2人，記取出的2人中年齡不超過(guò)40歲的人數(shù)為X,用頻率估計(jì)

概率，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)在頻率分布直方圖中，用每一個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為該組粉絲年齡的平均數(shù)，估計(jì)非遺短

視頻粉絲年齡的平均數(shù)為機(jī)，若中位數(shù)的估計(jì)值為〃，寫出加與〃的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

19.已知橢圓￡:，+m=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)4-2,0),離心率為孝.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(2,機(jī))(機(jī)>0),直線PA與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，8為橢圓E的右頂

點(diǎn).記直線0尸的斜率為占，直線的斜率為左2,求證：人,%為定值.

20.已知函數(shù)/(x)=ln尤+sinx.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(I))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/a)在區(qū)間[l,e]上的最小值；

(3)證明函數(shù)/a)只有一個(gè)零點(diǎn).

21.設(shè)2為正實(shí)數(shù)，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足：V〃eN*，都有+則稱數(shù)列｛%｝為

第4頁(yè)/共19頁(yè)

P(㈤數(shù)列.

(1)判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否為尸(2)數(shù)列：

數(shù)列A：3,5,8,13,21；

數(shù)列8：log25,兀,5,10.

(2)若數(shù)列也｝滿足仇〉0且而石-而I,是否存在正實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列出｝是口㈤

數(shù)列？若存在，求2的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

(3)若各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列｛4｝是尸⑴數(shù)列，且｛%｝的前加(加22)項(xiàng)和卬+4+4++品為150,

求%+用的最小值及取得最小值時(shí)的所有可能取值.

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參考答案

第一部分(選擇題40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)補(bǔ)集概念求解即可.

【詳解】因?yàn)閁=R,A={x|-l<x<0},

所以GA={x|x4-l或x〉0}.

故選：B

2.【答案】C

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出共血復(fù)數(shù)，即可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閦=i(l+i)=-l+i,

所以彳=一1一i,

所以彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-L-1)在第三象限，

故選：C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出，將廠的值代入通項(xiàng)求出展

開式的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】二項(xiàng)式(x—2)展開式的通項(xiàng)為=(—2)'(>4-2"令4—2r=0,解得r=2,所以展開式

的常數(shù)項(xiàng)為1=4C；=24

故選：B

4.【答案】A

【解析】

【分析】由a/必可求出九=±五，再由充分性和必要性的定義即可得出答案.

【詳解】若。//人則2x1-%=0,解得：2=+V2.

所以/=a//。，而a//匕推不出丸=g'.

故"幾=J5”是"aIlb”的充分而不必要條件

故選：A.

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5.【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)奇偶性和在區(qū)間上單調(diào)遞增逐項(xiàng)分析.

【詳解】選項(xiàng)A由令y=l-x2的定義域?yàn)镽，

且/（一%）=1_（一切2=―2,

由函數(shù)為二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為y軸，

所以在（o,+。）單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間（o/）上單調(diào)遞減，

故A錯(cuò)誤，

由y=tanx的定義域?yàn)閧x|xH+E,女wzj＞,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

且/（—X）=tan（一無(wú)）=一tan尤=-f（x）,

所以y=tanx奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

由曠=》。05%的定義域?yàn)镽,

且/（-X）=（-x）cos（一X）=-xcosX--/（JC）,

所以y=xcosx為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

由丁=，＜+6-*定義域?yàn)镽,

且f（-x）=e~*+e*=f{x）,所以

y=e*+eT為偶函數(shù)，

\/xx,x2e(O,l),且再<X2,

所以/（3）一/（々）=9+6小

=e”—e*1———

因?yàn)閑（0,l）,且看＜尤2,

因?yàn)閥=e'在R上單調(diào)遞增,

所以e*'-e*2<0，l<eV|<e,l<e'2<e,

所以1一一二〉0,

e'e2

故/（罰）一/*2）＜°，

所以y=e'+e-在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增,

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故選：D.

6.【答案】C

【解析】

【分析】由拋物線。：丁=22乂5>0)過(guò)點(diǎn)41,、歷)，可求出人即可表示出尸再由

IAF|=|BF|,即可求出加的值.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:y2=2pxS>O)過(guò)點(diǎn)41,0),

所以2=2p=>〃=1,

所以拋物線C：y2=2x,則嗚,()1,

又因?yàn)閨Af|=|8尸所以=J

加一，解得：機(jī)=2或'"=T

故選：C.

7.【答案】A

【解析】

【分析】將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問(wèn)題，結(jié)合圖象求得正確答案.

幅%>^(

【詳解】依題意/(x)=31og2X—2(x—l)〉0，11)，

P=l°g2X優(yōu)=1優(yōu)=4

由2(一解得「或一。

>[y=o3=2

2

畫出y=log2x,y=q(x—l)的圖象如下圖所)K,

由圖可知，不等式/(x)>0的解集是(1,4).

故選：A

8.【答案】C

【解析】

b

【分析】首先根據(jù)題意得到直線/：y=—(x-c),與另一條漸近線聯(lián)立得到根據(jù)。為線段

a'122a

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外的中點(diǎn)得到。匕(3cFbe

,再代入雙曲線方程求解即可.

【詳解】由題知：F(c,O),平行的一條漸近線為y=^x,

a

b

則直線/:y=—(x—c),

a

b(C

y=_(x-c)、x=—

'即尸(W

a=>2

bbe

y=——xy=----

a2a

(3cbe

因?yàn)椤榫€段儀的中點(diǎn)，所以°下工

Q，22

化簡(jiǎn)得濟(jì)-9=1，即1=2,則e=J5.

166ra-

故選：C

9.【答案】B

【解析】

【分析】在平面中求得”點(diǎn)的軌跡方程，從而求得軌跡的長(zhǎng)度.

【詳解】由于PO_L平面ABCDOMu平面A8。。，所以尸

所以|DM|=d,|MC|=2d.

在正方形ABC。中，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，

“3,0),設(shè)M(x,y),則需=；，翳=：，.C「=4QM「.

(x-3)2+y2=4x2+4y2,x2+>,2+2x-3=0,(x+1)2+y2=4,

所以M點(diǎn)的軌跡是以E(-1,0)為圓心，半徑為2的圓.

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由（x+l）2+V=4令x=0,解得y=±G，

則網(wǎng)0,-由于|。閔=1,所以/QEF=1,

jr27r

所以用點(diǎn)的軌跡在底面正方形內(nèi)的長(zhǎng)度是-x2=—.

33

10.【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)市場(chǎng)占有率轉(zhuǎn)移情況求得正確答案.

【詳解】最終達(dá)至『'穩(wěn)定市場(chǎng)占有率“時(shí)，/企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場(chǎng)占有率''為：

0.4x（l-0.3-0.3）+0.3x0.6+0.3x0.6=0.52=52%.

故選：D

第二部分（非選擇題110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.【答案】卜付2-1且xwO}

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到《求解即可.

x+l>0

2,—1。0

【詳解】由題知：\且xxO.

x+l>0

故答案為：{x|xN-l且x/0}.

12.【答案】-2②.5

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到=4%，解得1=一2,再計(jì)算4=1>0，4=一1<°，得到答案.

【詳解】%,%，生成等比數(shù)列，故即（9+3d）2=9x（9+4d）,

第10頁(yè)/共19頁(yè)

解得〃=一2或d=0（舍）.

an=9—2(/?-1)=11—2n,q=9>0,%=1>0,?6=-1<0,

故〃=5時(shí)，S“有最大值.

故答案為：-2；5

13.【答案】（0,4）

【解析】

【分析】集合A表示直線上的點(diǎn)，集合B表示圓上的點(diǎn)，根據(jù)直線和圓相交計(jì)算得到范圍.

【詳解】集合A表示直線天一y一，〃=0上點(diǎn)，

集合8表示圓（x-l『+（y+l）2=2上的點(diǎn)，圓心為M。,—1）,半徑R=0,

AcB為2個(gè)元素組成的集合，故直線和圓相交,即1=V2,

解得0〈機(jī)<4.

故答案為：（°,4）

14.【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性、最值求得正確答案.

【詳解】由于若/周=/圖，且/（X）在區(qū)間717C

上有最小值無(wú)最大值,

652

7T7T7T

所以一G+—=2&?！?9=6&-2,左€Z，

362

T71717171

——=—>---------=—,69<O,

2/366

由于?！?,所以①的值為4.

故答案為：4

15.【答案】①0

【解析】

【分析】求出函數(shù)定義域以及導(dǎo)函數(shù)/'（*）=—2『一2龍一"由"1）=0可說(shuō)明①正確;由已知，

X

尸（x）=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布即可求出”的范圍，判斷②；根據(jù)求根公式，解

出巧，結(jié)合②中解出的a的范圍，可得到々<1，即③錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合③的解

第11頁(yè)/共19頁(yè)

析，可得/（%）＞/（1）=0,即④正確.

【詳解】由已知可得，/（X）定義域?yàn)椋?,+力），八龍），一2（x-1）=-空二2＜二q.

XX

對(duì)于①，因?yàn)?（l）=alnl—（l—1）2=0,所以1是函數(shù)/5）的一個(gè)零點(diǎn)，故①正確；

對(duì)于②，因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)占,々，所以/'（x）=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解和々，即方程

2x2一2x—a=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解X1,今，

Xj+x2=1>0

-Qn

則應(yīng)滿足＜中2=々->0,解得一故②錯(cuò)誤;

2

△=(-2)2-4x2x(-a)=8a+4>0

對(duì)于③，解方程2/-2x-a=0可得，x=2±/8"+4=1±缶+1,因?yàn)樯n＜/，所以

42

'J++l，由②知一,＜。＜0,所以0＜2。+1＜1,所以，＜々＜1,故③錯(cuò)誤;

222

對(duì)于④，由/X0可得，即2/-2x—“＜0,所以±＜》＜七，所以/（X）在（玉,&）上單調(diào)遞增；解

八x）＜0可得，0＜無(wú)＜為或x＞±,所以/（x）在（O,xJ上單調(diào)遞減，在（乙，+8）上單調(diào)遞減?

由③知（＜彳2＜1,所以/（々）＞/（1）=0，故@正確.

故答案為：①④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵也

3

【解析】

【分析】（1）連接CR交G。于H，連接E”，證明即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，平面。的法向量為〃=（2,-1,1）,根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算

得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

如圖所示：連接C。交G。于“，連接E”，

第12頁(yè)/共19頁(yè)

DG

〃是CQ中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，故

u平面OG石且8A<Z平面。G后，故BD"平面。C；E；

【小問(wèn)2詳解】

以DA,DC,DD｝分別為x，Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則。（0,0,0）,E（l,2,0）,G（0,2,2）,尸（1,1,1）,

.、n-DE=x+2y=0

設(shè)平面￡>GE的法向量為〃=(x,y,z),則〈，

-nDCt=2y+2z=0

取y=-i得到〃=(2,-i,i),=(1,1,1).

/\\n-DF\2V2

直線DF與平面￡>C,E所成角的正弦值為cosDF)=-口=6娓=-

17.【答案】（1）4=：或4=,；

44

（2）答案見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）由正弦定理邊化角可得sinA=匹，即可求出結(jié)果；

2

（2）若選①：根據(jù)已知可得C為鈍角，則A為銳角，sinC=±?>sinA，三角形唯一，根據(jù)兩角和

10

第13頁(yè)/共19頁(yè)

的正弦公式可求出sin8=正，根據(jù)正弦定理求出a的值，根據(jù)SABc=L"bsinC即可求出面積；若選

52

②：根據(jù)正弦定理可求出sinB=l,B為直角，三角形唯一確定，可求出C=A,即可求出

1O

SABC=—ac=2；若選③：由sinA>sinB,可知4=3或4=—，有兩解.

244

【小問(wèn)1詳解】

由2asinB=6b可得，2sinAsinB=6,sinB.

因?yàn)閟inBoO,所以sinA=1,又()<A〈兀，所以4=1或4=生.

244

【小問(wèn)2詳解】

若選①：cosC=-Y^.

10

因?yàn)?<C〈兀，所以。為鈍角，A為銳角，

又sinC=Vl-cos2C=~~~>sinA=sin(兀-A)，

7T

又一〈兀一A<兀，所以。<兀一4,即A+C〈兀，所以；A8C存在且唯一確定.

2

則A=(,由A+3+C=TT可得3=兀一(A+C).

e(\o3M也

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC-------X-------------d-------------X------------=--------

2I⑺2105

..4272X—

bc,bsinA?CG

根據(jù)正弦定理《7----=-----可得，。=------=-----/=---=2>/5,

sin5sinCsmBV5

T

y

所以SABC——cibsinC=—x2x2\/2x3=6；

2210

若選②：a=2.

因?yàn)椤?2加>a，所以A=；，由正弦定理一一=，一可得，.DbsinA2也文三.

4sinAsin6sin8=--------=———^-=1

a2

TT

因?yàn)?<8<兀，所以3=一，所以4ABe存在且唯一確定.

2

兀1

則。=兀一A—8=—=A,所以c二。二2,S——ac-2；

4ARC2

若選③：sin8=好.

5

第14頁(yè)/共19頁(yè)

因?yàn)閟inA=^>sinB，所以/>B,此時(shí)4=5或4=也，

244

所以，此時(shí)ABC存在但不唯一.

18.【答案】(1)。=0.018

(2)分布列詳見(jiàn)解析，E(X)=0.6

(3)n>m

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1求得d

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得分布列以及數(shù)學(xué)期望.

(3)根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的求法求得加，〃，并比較出兩者的大小關(guān)系.

【小問(wèn)1詳解】

(0.004+0.012+0.014+0.024+0.028+a)xl0=l,

解得a=0.018.

小問(wèn)2詳解】

不超過(guò)40歲的人的頻率為(0.004+0.012+0.014)x10=0.3,

所以X8(2,0.3),X的可能取值為01,2,

P(X=0)=C；x0.3°x0.72=0.49,

P(X=1)=C2X0.3'X0.7'=0.42,

P(X=2)=C；x0.32x0.7°=0.09,

所以X的分布列為：

X012

P0.490.420.09

所以E（X）=2x0.3=0.6.

【小問(wèn)3詳解】

加=15x0.04+25x0.12+35x0.14+45x0.24+55*0.28+65x0.18=46.4歲.

0.04+0.12+0.14=0.3,0.04+0.12+0.14+0.24=0.54,

,“c0.2，八25145

所以〃=40H-----x10=40H---=--->m.

0.2433

22

19.【答案】（1）±+匕=1

42

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

第15頁(yè)/共19頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)過(guò)點(diǎn)和離心率計(jì)算得到橢圓方程.

m2

(2)計(jì)算直線方程，聯(lián)立方程得到。點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算勺=一，k=-一，相乘得到答案.

22m

【小問(wèn)1詳解】

橢圓七：5+，=1(0〉匕>0)過(guò)點(diǎn)4(-2,0),離心率為也，

故〃=2,g=—=—=,c-y/2，h—yJa2—c2—>/2，橢圓方程為^―+=1-

a2242

【小問(wèn)2詳解】

m/7

丁=小+2)

,m+八、

k——直線AP：'=了('+2)，聯(lián)立方程?

APf22

-------1--------1

I42

得到(8+/+4m2x+4m2-32=0,

］A-0加2

方程的一個(gè)解為-2,故另外一個(gè)解為°一.

8+"

2

當(dāng)16-2加2m(16-2wA8機(jī)16-2〃/8m、

當(dāng)x=------H'J,---------—+2=7即C

8+"4(8+")8+W8+〃/'8+〃，，

8m

8+m2

8(2,0),k\=R,-1,得證

16-2加2

8+m2

20.【答案】(1)(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=0

(2)/(l)=sinl

(3)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)對(duì)/a)求導(dǎo)，求出/(l)=sinl,/"(l)=l+cosl,由點(diǎn)斜式方程即可求出答案；

(2)令g(x)=/'(x)=g+cosx,g'(x)=-5—sinx,得出g(x)在［l,e］的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性

定理可得“X)在無(wú)?1,a)上單調(diào)遞增，在xe(a,e)上單調(diào)遞減，再比較/⑴"(e)的大小，即可得出

答案.

(3)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理，討論0<xWl,l<x?乃和x>乃時(shí)，f(x)的

正負(fù)，即可得出證明.

【小問(wèn)1詳解】

f(x)=Inx+sinx的定義域?yàn)?0,+功，

第16頁(yè)/共19頁(yè)

故/Xx)=—+cosx,/(1)=sin1,/^l)=1+cos1,

x

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為：y—sinl=(l+cosl)(x-1),

化簡(jiǎn)得：(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=0

【小問(wèn)2詳解】

令g(九)=/'(x)=!+cosx,g'(x)=--V-sinx,

當(dāng)xw［l,e］時(shí)，g(x)=—；—sinx<0,

所以g(x)在［l,e］上單調(diào)遞減,且g⑴=l+cosl>0,

/\112^-I1

g(e)=—+cose<-+cos——=------<0,

V'ee3e2

所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間［l,e］存在唯一的使g(a)=/'(a)=0

又當(dāng)xe(l,a)時(shí)，g(x)=//(x)>0；當(dāng)xe(a,e)時(shí)，g(x)=/'(x)<0；

所以在xe(l,a)上單調(diào)遞增，在xe(a,e)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(1)=In1+sin1=sin1,/(e)=Ine+sine=1+sine>/(l),

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值為/(l)=sinl.

【小問(wèn)3詳解】

/(x)=Inx+sinx,xe(0,+oo),

若0cxWl,/,(x)=—+cosx>0,

x

(］、1

所以/“)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，又y(l)=sinl〉0,f—=-1+sin—<0,

e

結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，”x)在區(qū)間(0,1］有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

若1cxK乃，則lnx>(),sinxN(),則/(x)>0,

若%>乃，因?yàn)閘nx〉ln%>12-sin光，所以/(x)>0,

綜上，函數(shù)/*)在(0,+力)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一

方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合判斷.

21.【答案】(1)數(shù)列A是，數(shù)列B不是；

(2)不存在，理由見(jiàn)解析；

(3)答案見(jiàn)解析.

第17頁(yè)/共19頁(yè)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)定義驗(yàn)證%+1-422是否恒成立，即可判斷；

（2）假設(shè)存在，則由已知2+]+J〃+3—+1可推得"+|一4<-j=.

7rl

當(dāng)〃〉+時(shí)，bn+l-bn<^=<A,這與假設(shè)矛盾，所以不存在；

（3）根據(jù)已知推出a〃+|Na“+1,進(jìn)而推出％之加，<am-1,,4V%一（/〃一1）,相加可推

150m1

得4,N——+--