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文檔簡(jiǎn)介
2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義明目標(biāo)、知重點(diǎn) 1.了解向量數(shù)乘的概念,并理解這種運(yùn)算的幾何意義 .2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律,會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算 .3.理解并掌握兩向量共線(xiàn)的性質(zhì)及其判定方法,并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線(xiàn)向量問(wèn)題. 21·cn·jy·com1.向量數(shù)乘運(yùn)算:實(shí)數(shù) λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作 λa,其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下: 21·世紀(jì)*(1)|λa|=|λ||a|.當(dāng)λ>0時(shí),與a方向相同,(2)λa(a≠0)的方向當(dāng)λ<0時(shí),與a方向相反;特別地,當(dāng) λ=0或a=0時(shí),0a=0或λ0=0.2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律λ(μa)=(λμ)a.(2)(λ+μ)a=λa+μa.λ(a+b)=λa+λb.特別地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.3.共線(xiàn)向量定理:向量
a(a≠0)與b共線(xiàn),當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)
λ,使
b=λa.4.向量的線(xiàn)性運(yùn)算: 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算,對(duì)于任意向量
a、b,以及任意實(shí)數(shù)
λ、μ、μ,恒有1 2
2-1-c-n-j-yλ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.[情境導(dǎo)學(xué)] 引入:位移、力、速度、加速度等都是向量,而時(shí)間、質(zhì)量等都是數(shù)量,這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn).如力與加速度的關(guān)系 F=ma,位移與速度的關(guān)系s=vt.這些公式都是實(shí)數(shù)與向量間的關(guān)系.
21教育名師原創(chuàng)作品師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法,請(qǐng)同學(xué)們作出
a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)向量,并請(qǐng)同學(xué)們指出相加后,和的長(zhǎng)度與方向有什么變化?這些變化與哪些因素有關(guān)?生:a+a+a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍,其方向與a的方向相同,(-a)+(-a)+(-a)的長(zhǎng)度是a長(zhǎng)度的3倍,其方向與a的方向相反.師:很好!本節(jié)課我們就來(lái)討論實(shí)數(shù)與向量的乘積問(wèn)題.探究點(diǎn)一 向量數(shù)乘運(yùn)算的物理背景思考1 一物體作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)向量 v,那么在同方向上 3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量用 3v表示,試在直線(xiàn) l上畫(huà)出3v向量,看看向量 3v與v的關(guān)系如何?答→ → → →3v=OC=OA+AB+BC=v+v+v.3v與v的方向相同,|3v|=3|v|.思考2 已知非零向量 a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),你能說(shuō)明它們與向量 a之間的關(guān)系嗎? 【版權(quán)所有:21教育】答→ → → →OC=OA+AB+BC=a+a+a=3a;→ → → →O′C′=O′A′+A′B′+B′C′=(-a)+(-a)+(-a)=-3a.思考3 一般地,我們規(guī)定:實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.作λa,該向量的長(zhǎng)度與方向與向量 a有什么關(guān)系?答 λa仍然是一個(gè)向量.
記(1)|λa|=|λ||a|;λ>0時(shí),λa與a方向相同;λ<0時(shí),λa與a方向相反;λ=0時(shí),λa=0.方向任意.探究點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考1根據(jù)實(shí)數(shù)與向量積的定義,可以得哪些數(shù)乘運(yùn)算律?答設(shè)λ,μ∈R,則有①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.思考2 向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義,既要證明等式兩邊的模相等,又要證明方向相同.你能根據(jù)這兩條證明其中的第①條運(yùn)算律嗎?答 ①λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R).如果λ=0或μ=0或a=0,則①式顯然成立;如果λ≠0,μ≠0,a≠0,則由向量數(shù)乘的定義有|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|,故|λ(μa)|=|(λμ)a|.如果λ、μ同號(hào),則①式兩邊向量的方向都與
a同向;如果 λ、μ異號(hào),則①式兩邊向量的方向都與
a反向.因此,向量 λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以
λ(μa)=(λμ)a.例
1
計(jì)算:(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).解 (1)原式=(-3×4)a=-12a;原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.反思與感悟向量的線(xiàn)性運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,主要是“合并同類(lèi)項(xiàng)”、“提取公因式”,但這里的“同類(lèi)項(xiàng)”、“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);127137(2)23a+2b-3a-b-62a+7b+6a;(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).解(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.1 2 71 1 3原式=23a-3a+2b-b-62a+2a+7b=177323a+b-6a+7b7 1 7 16a+2b-6a-2b=0.原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b.探究點(diǎn)三 共線(xiàn)向量定理及應(yīng)用思考
1
請(qǐng)觀察
a=m-n,b=-2m+2n,回答
a、b有何關(guān)系?答 因?yàn)?/p>
b=-2a,所以
a、b是平行向量.思考
2
若a、b是平行向量
(a≠0)能否得出
b=λa?為什么?答 可以.因?yàn)?a、b平行,它們的方向相同或相反.小結(jié) 由向量數(shù)乘的含義,我們?nèi)菀椎玫较蛄抗簿€(xiàn)的等價(jià)條件:如果 a(a≠0)與b共線(xiàn),當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù) λ,使b=λa.對(duì)此定理的證明,是兩層來(lái)說(shuō)明的:其一,若存在實(shí)數(shù) λ,使b=λa,則由實(shí)數(shù)與向量乘積定義可知 b與λa平行,即b與a平行.其二,若 b與a平行,且不妨令 a≠0,設(shè)|b|=μ(這是實(shí)數(shù)概念 ).接下來(lái)看 a、b方向如何:|a|①a、b同向,則 b=μa,②若a、b反向,則記 b=-μa,總而言之,存在實(shí)數(shù) λ(λ=μ或λ=-μ)使b=λa.例2 已知e1,e2是不共線(xiàn)的向量, a=3e1+4e2,b=6e1-8e2,則a與b是否共線(xiàn)?解 若a與b共線(xiàn),則存在 λ∈R,使a=λb,即3e1+4e2=λ(6e1-8e2),所以(3-6λ)e1+(4+8λ)e2=0,因?yàn)閑1與e2不共線(xiàn),所以3-6λ=0,所以λ不存在,4+8λ=0,所以a與b不共線(xiàn).反思與感悟(1)本題充分利用了向量共線(xiàn)定理,即b與a(a≠0)共線(xiàn)?b=λa,因此用它既可以證明點(diǎn)共線(xiàn)或線(xiàn)共線(xiàn)問(wèn)題,也可以根據(jù)共線(xiàn)求參數(shù)的值.向量共線(xiàn)的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示,進(jìn)而互相表示,從而判斷共線(xiàn).跟蹤訓(xùn)練2已知非零向量e1,e2不共線(xiàn).→→→→→(1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2),求證:AB,BD共線(xiàn);(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線(xiàn),試確定實(shí)數(shù)k的值.解→→→→→(1)∵AB=e1+e2,BD=BC+CD=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5AB.→→∴AB,BD共線(xiàn).∵ke1+e2與e1+ke2共線(xiàn),∴存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1與e2不共線(xiàn),k-λ=0,只能有 ∴k=±1.λk-1=0,探究點(diǎn)四 三點(diǎn)共線(xiàn)的判定思考1→→若存在實(shí)數(shù)λ,使AB=λBC,則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何?→→答由共線(xiàn)向量定理可得,A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)?存在λ∈R,使AB=λBC.思考2已知O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn),若A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),是否存在→α、β∈R,使OC=→→αOA+βOB,其中α+β=1?答存在,因A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),則存在→→λ∈R,使AC=λAB.→→→→∴OC-OA=λ(OB-OA),→→→∴OC=(1-λ)OA+λOB.令1-λ=α,λ=β,則→→→OC=αOA+βOB,且α+β=1.思考3已知O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn),若存在→→→α,β∈R,使OC=αOA+βOB,α+β=1,那么A、B、C三點(diǎn)是否共線(xiàn)?答共線(xiàn),因?yàn)榇嬖凇?、β∈R,使OC=αOA+βOB,且α+β=1.→→→∴β=1-α,∴OC=αOA+(1-α)OB,→→→→∴OC=αOA+OB-αOB→→→→∴OC-OB=α(OA-OB)→→∴BC=αBA,∴A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn).例3已知任意兩個(gè)非零向量→→→a,b,作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.試判斷A、B、三點(diǎn)之間的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.解→→→作直線(xiàn)AC(如圖).分別作向量OA、OB、OC,過(guò)點(diǎn)A、C觀察發(fā)現(xiàn),不論向量a、b怎樣變化,點(diǎn)B始終在直線(xiàn)AC上,猜想A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn).→→→因?yàn)锳B=OB-OA=(a+2b)-(a+b)=b,→→→AC=OC-OA=(a+3b)-(a+b)=2b,→→→→三點(diǎn)共線(xiàn).故有AC=2AB.因?yàn)锳C∥AB,且有公共點(diǎn)A,所以A、B、C反思與感悟本題給出了證明三點(diǎn)共線(xiàn)的方法,利用向量共線(xiàn)定理,關(guān)鍵是找到唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb,先證向量共線(xiàn),再證三點(diǎn)共線(xiàn).21*cnjy*com跟蹤訓(xùn)練3已知兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(xiàn),如果→→→AB=2e1+3e2,BC=6e1+23e2,CD=1-8e2,求證:A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn).【來(lái)源:21cnj*y.co*m】4e→→證明∵BC=6e1+23e2,CD=4e1-8e2,→→→∴BD=BC+CD=(6e1+23e2)+(4e1-8e2)10e1+15e2.→→→,又∵AB=2e1+3e2,∴BD=5AB→→B.∴A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn).∴AB、BD共線(xiàn),且有公共點(diǎn)1.化簡(jiǎn):(1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);11322a+8b-4a-2b.解(1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c=6a+4b.1(2)原式=3[(a+4b)-(4a-2b)]13(-3a+6b)=2b-a.1→→1→2.如圖,AM=3AB,AN=3AC.→1→求證:MN=BC.3→1→→1→證明∵AM=AB,AN=AC,33→→→1→1→1→→1→∴MN=AN-AM=AC-AB=(AC-AB)=BC.3333→→→-e2),求證:A、B、D三點(diǎn)3.已知e1與e2不共線(xiàn),AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1共線(xiàn).【來(lái)源:】證明→∵AB=e1+e2,→→→BD=BC+CD=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)→→→=5e1+5e2=5(e1+e2)=5AB.∴AB,BD共線(xiàn).→→有公共點(diǎn)B,∴A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn).又AB與BD4.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共線(xiàn),向量c=2e1-9e2.問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ,使向量d=λa+μb與c共線(xiàn)?21*cnjy*com解∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d與c共線(xiàn),則應(yīng)有實(shí)數(shù)k,使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,2λ+2μ=2k,即 得λ=-2μ.-3λ+3μ=-9k,故存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ,只要λ=-2μ,就能使d與c共線(xiàn).[呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]1.實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算,但不能進(jìn)行加減運(yùn)算,例如λ+a,λ-a是沒(méi)有意義的.2.λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來(lái)的|λ|倍.向量a表|a|示與向量 a同向的單位向量.3.共線(xiàn)向量定理是證明三點(diǎn)共線(xiàn)的重要工具,即三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為向量共線(xiàn)問(wèn)題.一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,若向量 m=-e1+ke2(k∈R)與向量n=e2-2e1共線(xiàn),則()1A.k=0B.k=1C.k=2D.k=2答案D11解析當(dāng)k=時(shí),m=-e1+e2,n=-2e1+e2.22∴n=2m,此時(shí),m,n共線(xiàn).2.下列各式計(jì)算正確的有 ( )(-7)6a=-42a;②7(a+b)-8b=7a+15b;a-2b+a+2b=2a;④4(2a+b)=8a+4b.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案C3.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)→→→→)P,且PA+PB+PC=AB,則(A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部C.P在AB邊上或其延長(zhǎng)線(xiàn)上D.P在AC邊上答案D解析→→→→→PA+PB+PC=PB-PA,→→在AC邊上.∴PC=-2PA,∴P→→)4.設(shè)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC等于(→1→A.BCB.2AD→1→C.ADD.2BC答案C解析→→如圖,EB+FC→→→→=EC+CB+FB+BC→→1→→=EC+FB=(AC+AB)21→→=·2AD=AD.2→→→5.已知向量a,b,設(shè)AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,那么下列各組中三點(diǎn)一定共線(xiàn)的是()A.A,B,CB.A,C,DC.A,B,DD.B,C,D答案C解析由向量的加法法則知→→→→,又兩線(xiàn)段BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2(a+2b)=2AB均過(guò)點(diǎn)B,故A,B,D三點(diǎn)一定共線(xiàn). → 1→ 1→ → 2→ 1→6.如圖所示,設(shè) M,N為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn),且AM=4AB+3AC,AN=5AB+2AC,則△ABM的面積與△ABN的面積之比為 ________.www-2-1-cnjy-com答案 2∶3解析如圖所示,設(shè)→1→→1→AP=AB,AQ=AC,43→→→則AM=AP+AQ.由平行四邊形法則知,MQ∥AB,∴S△ABM=→|AQ|=1.S△ABC→3|AC|同理S△ABN=1.∴S△ABM=2S△ABC 2 S△ABN 37.如圖,ABCD為一個(gè)四邊形, E、F、G、H分別為BD、AB、AC和CD的中點(diǎn),求證:四邊形EFGH為平行四邊形.證明 ∵F、G分別是AB、AC的中點(diǎn).→ 1→∴FG=2BC.→ 1→同理,EH=2BC.→ →∴FG=EH.∴四邊形EFGH為平行四邊形.二、能力提升8.已知m,n是實(shí)數(shù),a,b是向量,則下列命題中正確的為 ( )m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,則a=b;④若ma=na,則m=n.A.①④ B.①②C.①③ D.③④答案 B解析①和②屬于數(shù)乘對(duì)向量與實(shí)數(shù)的分配律,正確;③中,若m=0,則不能推出a=b,錯(cuò)誤;④中,若a=0,則m,n沒(méi)有關(guān)系,錯(cuò)誤.【出處:21教育名師】→→→→→→9.已知△ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足MA+MB+MC=0.若存在實(shí)數(shù)m使得AB+AC=mAM成立,則m的值為()A.2B.3C.4D.5答案B解析→→→∵M(jìn)A+MB+MC=0,∴點(diǎn)M是△ABC的重心.→→→∴AB+AC=3AM,∴m=3.10.已知O是平面內(nèi)一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)→→P滿(mǎn)足OP=OA+→→ABACλ→+→(λ∈[0,+∞)),則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()|AB||AC|A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心答案B→→→→→→ABACABAC解析→為AB上的單位向量,→為AC上的單位向量,則→+→的方向?yàn)椤螧AC的角|AB||AC||AB||AC|→平分線(xiàn)AD的方向.→→→→→→→→又λ∈[0,+∞),∴λAB+AC的方向與ABAB+AC,→→+AC的方向相同.而OP=OA+λ→→→→|AB||AC||AB||AC||AB||AC|→上移動(dòng).∴點(diǎn)P在AD∴點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心.11.已知e1,e2是兩
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