向量數(shù)乘運算及其幾何意義含答案

2.2.3 向量數(shù)乘運算及其幾何意義明目標、知重點 1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運算的幾何意義 .2.理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘運算律進行向量運算 .3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運用這些知識處理有關共線向量問題． 21·cn·jy·com1．向量數(shù)乘運算：實數(shù) λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作 λa，其長度與方向規(guī)定如下： 21·世紀*(1)|λa|＝|λ||a|.當λ>0時，與a方向相同，(2)λa(a≠0)的方向當λ<0時，與a方向相反；特別地，當 λ＝0或a＝0時，0a＝0或λ0＝0.2．向量數(shù)乘的運算律λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.3．共線向量定理：向量

a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)

λ，使

b＝λa.4．向量的線性運算： 向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量

a、b，以及任意實數(shù)

λ、μ、μ，恒有1 2

2-1-c-n-j-yλ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[情境導學] 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關系常常在物理公式中體現(xiàn)．如力與加速度的關系 F＝ma，位移與速度的關系s＝vt.這些公式都是實數(shù)與向量間的關系．

21教育名師原創(chuàng)作品師：我們已經(jīng)學習了向量的加法，請同學們作出

a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并請同學們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關？生：a＋a＋a的長度是a的長度的3倍，其方向與a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的長度是a長度的3倍，其方向與a的方向相反．師：很好！本節(jié)課我們就來討論實數(shù)與向量的乘積問題．探究點一 向量數(shù)乘運算的物理背景思考1 一物體作勻速直線運動，一秒鐘的位移對應向量 v，那么在同方向上 3秒鐘的位移對應的向量用 3v表示，試在直線 l上畫出3v向量，看看向量 3v與v的關系如何？答→ → → →3v＝OC＝OA＋AB＋BC＝v＋v＋v.3v與v的方向相同，|3v|＝3|v|.思考2 已知非零向量 a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能說明它們與向量 a之間的關系嗎？ 【版權所有：21教育】答→ → → →OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a＝3a；→ → → →O′C′＝O′A′＋A′B′＋B′C′＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考3 一般地，我們規(guī)定：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘．作λa，該向量的長度與方向與向量 a有什么關系？答 λa仍然是一個向量．

記(1)|λa|＝|λ||a|；λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ＝0時，λa＝0.方向任意．探究點二向量數(shù)乘的運算律思考1根據(jù)實數(shù)與向量積的定義，可以得哪些數(shù)乘運算律？答設λ，μ∈R，則有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2 向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義，既要證明等式兩邊的模相等，又要證明方向相同．你能根據(jù)這兩條證明其中的第①條運算律嗎？答 ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)．如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，則由向量數(shù)乘的定義有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與

a同向；如果 λ、μ異號，則①式兩邊向量的方向都與

a反向．因此，向量 λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以

λ(μa)＝(λμ)a.例

1

計算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解 (1)原式＝(－3×4)a＝－12a；原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.反思與感悟向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合并同類項”、“提取公因式”，但這里的“同類項”、“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．跟蹤訓練1計算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；127137(2)23a＋2b－3a－b－62a＋7b＋6a；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．解(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.1 2 71 1 3原式＝23a－3a＋2b－b－62a＋2a＋7b＝177323a＋b－6a＋7b7 1 7 16a＋2b－6a－2b＝0.原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.探究點三 共線向量定理及應用思考

1

請觀察

a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答

a、b有何關系？答 因為

b＝－2a，所以

a、b是平行向量．思考

2

若a、b是平行向量

(a≠0)能否得出

b＝λa？為什么？答 可以．因為 a、b平行，它們的方向相同或相反．小結(jié) 由向量數(shù)乘的含義，我們?nèi)菀椎玫较蛄抗簿€的等價條件：如果 a(a≠0)與b共線，當且僅當存在唯一一個實數(shù) λ，使b＝λa.對此定理的證明，是兩層來說明的：其一，若存在實數(shù) λ，使b＝λa，則由實數(shù)與向量乘積定義可知 b與λa平行，即b與a平行．其二，若 b與a平行，且不妨令 a≠0，設|b|＝μ(這是實數(shù)概念 )．接下來看 a、b方向如何：|a|①a、b同向，則 b＝μa，②若a、b反向，則記 b＝－μa，總而言之，存在實數(shù) λ(λ＝μ或λ＝－μ)使b＝λa.例2 已知e1，e2是不共線的向量， a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，則a與b是否共線？解 若a與b共線，則存在 λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，因為e1與e2不共線，所以3－6λ＝0，所以λ不存在，4＋8λ＝0，所以a與b不共線．反思與感悟(1)本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，因此用它既可以證明點共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值．向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，從而判斷共線．跟蹤訓練2已知非零向量e1，e2不共線．→→→→→(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求證：AB，BD共線；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．解→→→→→(1)∵AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB.→→∴AB，BD共線．∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，k－λ＝0，只能有 ∴k＝±1.λk－1＝0，探究點四 三點共線的判定思考1→→若存在實數(shù)λ，使AB＝λBC，則A、B、C三點的位置關系如何？→→答由共線向量定理可得，A，B，C三點共線?存在λ∈R，使AB＝λBC.思考2已知O為平面ABC內(nèi)任一點，若A、B、C三點共線，是否存在→α、β∈R，使OC＝→→αOA＋βOB，其中α＋β＝1?答存在，因A、B、C三點共線，則存在→→λ∈R，使AC＝λAB.→→→→∴OC－OA＝λ(OB－OA)，→→→∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.令1－λ＝α，λ＝β，則→→→OC＝αOA＋βOB，且α＋β＝1.思考3已知O為平面ABC內(nèi)任一點，若存在→→→α，β∈R，使OC＝αOA＋βOB，α＋β＝1，那么A、B、C三點是否共線？答共線，因為存在→→→α、β∈R，使OC＝αOA＋βOB，且α＋β＝1.→→→∴β＝1－α，∴OC＝αOA＋(1－α)OB，→→→→∴OC＝αOA＋OB－αOB→→→→∴OC－OB＝α(OA－OB)→→∴BC＝αBA，∴A、B、C三點共線．例3已知任意兩個非零向量→→→a，b，作OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b.試判斷A、B、三點之間的位置關系，并說明理由．解→→→作直線AC(如圖)．分別作向量OA、OB、OC，過點A、C觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點共線．→→→因為AB＝OB－OA＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，→→→AC＝OC－OA＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，→→→→三點共線．故有AC＝2AB.因為AC∥AB，且有公共點A，所以A、B、C反思與感悟本題給出了證明三點共線的方法，利用向量共線定理，關鍵是找到唯一實數(shù)λ，使a＝λb，先證向量共線，再證三點共線．21*cnjy*com跟蹤訓練3已知兩個非零向量e1和e2不共線，如果→→→AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝1－8e2，求證：A、B、D三點共線．【來源：21cnj*y.co*m】4e→→證明∵BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，→→→∴BD＝BC＋CD＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)10e1＋15e2.→→→，又∵AB＝2e1＋3e2，∴BD＝5AB→→B.∴A、B、D三點共線．∴AB、BD共線，且有公共點1．化簡：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；11322a＋8b－4a－2b.解(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.1(2)原式＝3[(a＋4b)－(4a－2b)]13(－3a＋6b)＝2b－a.1→→1→2.如圖，AM＝3AB，AN＝3AC.→1→求證：MN＝BC.3→1→→1→證明∵AM＝AB，AN＝AC，33→→→1→1→1→→1→∴MN＝AN－AM＝AC－AB＝(AC－AB)＝BC.3333→→→－e2)，求證：A、B、D三點3．已知e1與e2不共線，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1共線．【來源：】證明→∵AB＝e1＋e2，→→→BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)→→→＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5AB.∴AB，BD共線．→→有公共點B，∴A、B、D三點共線．又AB與BD4．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問是否存在這樣的實數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？21*cnjy*com解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應有實數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，2λ＋2μ＝2k，即 得λ＝－2μ.－3λ＋3μ＝－9k，故存在這樣的實數(shù)λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]1．實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．2．λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小為原來的|λ|倍．向量a表|a|示與向量 a同向的單位向量．3．共線向量定理是證明三點共線的重要工具，即三點共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題．一、基礎過關1．設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量 m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則()1A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝2答案D11解析當k＝時，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.22∴n＝2m，此時，m，n共線．2．下列各式計算正確的有 ( )(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1個B．2個C．3個D．4個答案C3．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內(nèi)一點→→→→)P，且PA＋PB＋PC＝AB，則(A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊上或其延長線上D．P在AC邊上答案D解析→→→→→PA＋PB＋PC＝PB－PA，→→在AC邊上．∴PC＝－2PA，∴P→→)4．設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則EB＋FC等于(→1→A.BCB.2AD→1→C.ADD.2BC答案C解析→→如圖，EB＋FC→→→→＝EC＋CB＋FB＋BC→→1→→＝EC＋FB＝(AC＋AB)21→→＝·2AD＝AD.2→→→5．已知向量a，b，設AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，那么下列各組中三點一定共線的是()A．A，B，CB．A，C，DC．A，B，DD．B，C，D答案C解析由向量的加法法則知→→→→，又兩線段BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2AB均過點B，故A，B，D三點一定共線． → 1→ 1→ → 2→ 1→6.如圖所示，設 M，N為△ABC內(nèi)的兩點，且AM＝4AB＋3AC，AN＝5AB＋2AC，則△ABM的面積與△ABN的面積之比為 ________．www-2-1-cnjy-com答案 2∶3解析如圖所示，設→1→→1→AP＝AB，AQ＝AC，43→→→則AM＝AP＋AQ.由平行四邊形法則知，MQ∥AB，∴S△ABM＝→|AQ|＝1.S△ABC→3|AC|同理S△ABN＝1.∴S△ABM＝2S△ABC 2 S△ABN 37.如圖，ABCD為一個四邊形， E、F、G、H分別為BD、AB、AC和CD的中點，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．證明 ∵F、G分別是AB、AC的中點．→ 1→∴FG＝2BC.→ 1→同理，EH＝2BC.→ →∴FG＝EH.∴四邊形EFGH為平行四邊形．二、能力提升8．已知m，n是實數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為 ( )m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na，則m＝n.A．①④ B．①②C．①③ D．③④答案 B解析①和②屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，正確；③中，若m＝0，則不能推出a＝b，錯誤；④中，若a＝0，則m，n沒有關系，錯誤．【出處：21教育名師】→→→→→→9．已知△ABC和點M滿足MA＋MB＋MC＝0.若存在實數(shù)m使得AB＋AC＝mAM成立，則m的值為()A．2B．3C．4D．5答案B解析→→→∵MA＋MB＋MC＝0，∴點M是△ABC的重心．→→→∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.10．已知O是平面內(nèi)一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點→→P滿足OP＝OA＋→→ABACλ→＋→(λ∈[0，＋∞))，則點P的軌跡一定通過△ABC的()|AB||AC|A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心答案B→→→→→→ABACABAC解析→為AB上的單位向量，→為AC上的單位向量，則→＋→的方向為∠BAC的角|AB||AC||AB||AC|→平分線AD的方向．→→→→→→→→又λ∈[0，＋∞)，∴λAB＋AC的方向與ABAB＋AC，→→＋AC的方向相同．而OP＝OA＋λ→→→→|AB||AC||AB||AC||AB||AC|→上移動．∴點P在AD∴點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心．11．已知e1，e2是兩