向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義含答案

2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義明目標(biāo)、知重點(diǎn) 1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義 .2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算 .3.理解并掌握兩向量共線(xiàn)的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線(xiàn)向量問(wèn)題． 21·cn·jy·com1．向量數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù) λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作 λa，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： 21·世紀(jì)*(1)|λa|＝|λ||a|.當(dāng)λ>0時(shí)，與a方向相同，(2)λa(a≠0)的方向當(dāng)λ<0時(shí)，與a方向相反；特別地，當(dāng) λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝0或λ0＝0.2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.3．共線(xiàn)向量定理：向量

a(a≠0)與b共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)

λ，使

b＝λa.4．向量的線(xiàn)性運(yùn)算： 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算，對(duì)于任意向量

a、b，以及任意實(shí)數(shù)

λ、μ、μ，恒有1 2

2-1-c-n-j-yλ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[情境導(dǎo)學(xué)] 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而時(shí)間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn)．如力與加速度的關(guān)系 F＝ma，位移與速度的關(guān)系s＝vt.這些公式都是實(shí)數(shù)與向量間的關(guān)系．

21教育名師原創(chuàng)作品師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請(qǐng)同學(xué)們作出

a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并請(qǐng)同學(xué)們指出相加后，和的長(zhǎng)度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？生：a＋a＋a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，其方向與a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的長(zhǎng)度是a長(zhǎng)度的3倍，其方向與a的方向相反．師：很好！本節(jié)課我們就來(lái)討論實(shí)數(shù)與向量的乘積問(wèn)題．探究點(diǎn)一 向量數(shù)乘運(yùn)算的物理背景思考1 一物體作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)向量 v，那么在同方向上 3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量用 3v表示，試在直線(xiàn) l上畫(huà)出3v向量，看看向量 3v與v的關(guān)系如何？答→ → → →3v＝OC＝OA＋AB＋BC＝v＋v＋v.3v與v的方向相同，|3v|＝3|v|.思考2 已知非零向量 a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能說(shuō)明它們與向量 a之間的關(guān)系嗎？ 【版權(quán)所有：21教育】答→ → → →OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a＝3a；→ → → →O′C′＝O′A′＋A′B′＋B′C′＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考3 一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘．作λa，該向量的長(zhǎng)度與方向與向量 a有什么關(guān)系？答 λa仍然是一個(gè)向量．

記(1)|λa|＝|λ||a|；λ>0時(shí)，λa與a方向相同；λ<0時(shí)，λa與a方向相反；λ＝0時(shí)，λa＝0.方向任意．探究點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考1根據(jù)實(shí)數(shù)與向量積的定義，可以得哪些數(shù)乘運(yùn)算律？答設(shè)λ，μ∈R，則有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2 向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義，既要證明等式兩邊的模相等，又要證明方向相同．你能根據(jù)這兩條證明其中的第①條運(yùn)算律嗎？答 ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)．如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，則由向量數(shù)乘的定義有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同號(hào)，則①式兩邊向量的方向都與

a同向；如果 λ、μ異號(hào)，則①式兩邊向量的方向都與

a反向．因此，向量 λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以

λ(μa)＝(λμ)a.例

1

計(jì)算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解 (1)原式＝(－3×4)a＝－12a；原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.反思與感悟向量的線(xiàn)性運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類(lèi)項(xiàng)”、“提取公因式”，但這里的“同類(lèi)項(xiàng)”、“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；127137(2)23a＋2b－3a－b－62a＋7b＋6a；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．解(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.1 2 71 1 3原式＝23a－3a＋2b－b－62a＋2a＋7b＝177323a＋b－6a＋7b7 1 7 16a＋2b－6a－2b＝0.原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.探究點(diǎn)三 共線(xiàn)向量定理及應(yīng)用思考

1

請(qǐng)觀察

a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答

a、b有何關(guān)系？答 因?yàn)?/p>

b＝－2a，所以

a、b是平行向量．思考

2

若a、b是平行向量

(a≠0)能否得出

b＝λa？為什么？答 可以．因?yàn)?a、b平行，它們的方向相同或相反．小結(jié) 由向量數(shù)乘的含義，我們?nèi)菀椎玫较蛄抗簿€(xiàn)的等價(jià)條件：如果 a(a≠0)與b共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使b＝λa.對(duì)此定理的證明，是兩層來(lái)說(shuō)明的：其一，若存在實(shí)數(shù) λ，使b＝λa，則由實(shí)數(shù)與向量乘積定義可知 b與λa平行，即b與a平行．其二，若 b與a平行，且不妨令 a≠0，設(shè)|b|＝μ(這是實(shí)數(shù)概念 )．接下來(lái)看 a、b方向如何：|a|①a、b同向，則 b＝μa，②若a、b反向，則記 b＝－μa，總而言之，存在實(shí)數(shù) λ(λ＝μ或λ＝－μ)使b＝λa.例2 已知e1，e2是不共線(xiàn)的向量， a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，則a與b是否共線(xiàn)？解 若a與b共線(xiàn)，則存在 λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，因?yàn)閑1與e2不共線(xiàn)，所以3－6λ＝0，所以λ不存在，4＋8λ＝0，所以a與b不共線(xiàn)．反思與感悟(1)本題充分利用了向量共線(xiàn)定理，即b與a(a≠0)共線(xiàn)?b＝λa，因此用它既可以證明點(diǎn)共線(xiàn)或線(xiàn)共線(xiàn)問(wèn)題，也可以根據(jù)共線(xiàn)求參數(shù)的值．向量共線(xiàn)的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線(xiàn)．跟蹤訓(xùn)練2已知非零向量e1，e2不共線(xiàn)．→→→→→(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求證：AB，BD共線(xiàn)；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線(xiàn)，試確定實(shí)數(shù)k的值．解→→→→→(1)∵AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB.→→∴AB，BD共線(xiàn)．∵ke1＋e2與e1＋ke2共線(xiàn)，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線(xiàn)，k－λ＝0，只能有 ∴k＝±1.λk－1＝0，探究點(diǎn)四 三點(diǎn)共線(xiàn)的判定思考1→→若存在實(shí)數(shù)λ，使AB＝λBC，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？→→答由共線(xiàn)向量定理可得，A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)?存在λ∈R，使AB＝λBC.思考2已知O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，是否存在→α、β∈R，使OC＝→→αOA＋βOB，其中α＋β＝1?答存在，因A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，則存在→→λ∈R，使AC＝λAB.→→→→∴OC－OA＝λ(OB－OA)，→→→∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.令1－λ＝α，λ＝β，則→→→OC＝αOA＋βOB，且α＋β＝1.思考3已知O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若存在→→→α，β∈R，使OC＝αOA＋βOB，α＋β＝1，那么A、B、C三點(diǎn)是否共線(xiàn)？答共線(xiàn)，因?yàn)榇嬖凇?、β∈R，使OC＝αOA＋βOB，且α＋β＝1.→→→∴β＝1－α，∴OC＝αOA＋(1－α)OB，→→→→∴OC＝αOA＋OB－αOB→→→→∴OC－OB＝α(OA－OB)→→∴BC＝αBA，∴A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)．例3已知任意兩個(gè)非零向量→→→a，b，作OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b.試判斷A、B、三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．解→→→作直線(xiàn)AC(如圖)．分別作向量OA、OB、OC，過(guò)點(diǎn)A、C觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點(diǎn)B始終在直線(xiàn)AC上，猜想A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)．→→→因?yàn)锳B＝OB－OA＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，→→→AC＝OC－OA＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，→→→→三點(diǎn)共線(xiàn)．故有AC＝2AB.因?yàn)锳C∥AB，且有公共點(diǎn)A，所以A、B、C反思與感悟本題給出了證明三點(diǎn)共線(xiàn)的方法，利用向量共線(xiàn)定理，關(guān)鍵是找到唯一實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，先證向量共線(xiàn)，再證三點(diǎn)共線(xiàn)．21*cnjy*com跟蹤訓(xùn)練3已知兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(xiàn)，如果→→→AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝1－8e2，求證：A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)．【來(lái)源：21cnj*y.co*m】4e→→證明∵BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，→→→∴BD＝BC＋CD＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)10e1＋15e2.→→→，又∵AB＝2e1＋3e2，∴BD＝5AB→→B.∴A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)．∴AB、BD共線(xiàn)，且有公共點(diǎn)1．化簡(jiǎn)：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；11322a＋8b－4a－2b.解(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.1(2)原式＝3[(a＋4b)－(4a－2b)]13(－3a＋6b)＝2b－a.1→→1→2.如圖，AM＝3AB，AN＝3AC.→1→求證：MN＝BC.3→1→→1→證明∵AM＝AB，AN＝AC，33→→→1→1→1→→1→∴MN＝AN－AM＝AC－AB＝(AC－AB)＝BC.3333→→→－e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)3．已知e1與e2不共線(xiàn)，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1共線(xiàn)．【來(lái)源：】證明→∵AB＝e1＋e2，→→→BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)→→→＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5AB.∴AB，BD共線(xiàn)．→→有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)．又AB與BD4．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線(xiàn)，向量c＝2e1－9e2.問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線(xiàn)？21*cnjy*com解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線(xiàn)，則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，2λ＋2μ＝2k，即 得λ＝－2μ.－3λ＋3μ＝－9k，故存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線(xiàn)．[呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]1．實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ－a是沒(méi)有意義的．2．λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來(lái)的|λ|倍．向量a表|a|示與向量 a同向的單位向量．3．共線(xiàn)向量定理是證明三點(diǎn)共線(xiàn)的重要工具，即三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為向量共線(xiàn)問(wèn)題．一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若向量 m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線(xiàn)，則()1A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝2答案D11解析當(dāng)k＝時(shí)，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.22∴n＝2m，此時(shí)，m，n共線(xiàn)．2．下列各式計(jì)算正確的有 ( )(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案C3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)→→→→)P，且PA＋PB＋PC＝AB，則(A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊上或其延長(zhǎng)線(xiàn)上D．P在AC邊上答案D解析→→→→→PA＋PB＋PC＝PB－PA，→→在AC邊上．∴PC＝－2PA，∴P→→)4．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則EB＋FC等于(→1→A.BCB.2AD→1→C.ADD.2BC答案C解析→→如圖，EB＋FC→→→→＝EC＋CB＋FB＋BC→→1→→＝EC＋FB＝(AC＋AB)21→→＝·2AD＝AD.2→→→5．已知向量a，b，設(shè)AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，那么下列各組中三點(diǎn)一定共線(xiàn)的是()A．A，B，CB．A，C，DC．A，B，DD．B，C，D答案C解析由向量的加法法則知→→→→，又兩線(xiàn)段BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2AB均過(guò)點(diǎn)B，故A，B，D三點(diǎn)一定共線(xiàn)． → 1→ 1→ → 2→ 1→6.如圖所示，設(shè) M，N為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且AM＝4AB＋3AC，AN＝5AB＋2AC，則△ABM的面積與△ABN的面積之比為 ________．www-2-1-cnjy-com答案 2∶3解析如圖所示，設(shè)→1→→1→AP＝AB，AQ＝AC，43→→→則AM＝AP＋AQ.由平行四邊形法則知，MQ∥AB，∴S△ABM＝→|AQ|＝1.S△ABC→3|AC|同理S△ABN＝1.∴S△ABM＝2S△ABC 2 S△ABN 37.如圖，ABCD為一個(gè)四邊形， E、F、G、H分別為BD、AB、AC和CD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．證明 ∵F、G分別是AB、AC的中點(diǎn)．→ 1→∴FG＝2BC.→ 1→同理，EH＝2BC.→ →∴FG＝EH.∴四邊形EFGH為平行四邊形．二、能力提升8．已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為 ( )m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na，則m＝n.A．①④ B．①②C．①③ D．③④答案 B解析①和②屬于數(shù)乘對(duì)向量與實(shí)數(shù)的分配律，正確；③中，若m＝0，則不能推出a＝b，錯(cuò)誤；④中，若a＝0，則m，n沒(méi)有關(guān)系，錯(cuò)誤．【出處：21教育名師】→→→→→→9．已知△ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足MA＋MB＋MC＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得AB＋AC＝mAM成立，則m的值為()A．2B．3C．4D．5答案B解析→→→∵M(jìn)A＋MB＋MC＝0，∴點(diǎn)M是△ABC的重心．→→→∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.10．已知O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)→→P滿(mǎn)足OP＝OA＋→→ABACλ→＋→(λ∈[0，＋∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()|AB||AC|A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心答案B→→→→→→ABACABAC解析→為AB上的單位向量，→為AC上的單位向量，則→＋→的方向?yàn)椤螧AC的角|AB||AC||AB||AC|→平分線(xiàn)AD的方向．→→→→→→→→又λ∈[0，＋∞)，∴λAB＋AC的方向與ABAB＋AC，→→＋AC的方向相同．而OP＝OA＋λ→→→→|AB||AC||AB||AC||AB||AC|→上移動(dòng)．∴點(diǎn)P在AD∴點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心．11．已知e1，e2是兩