概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)報(bào)告

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)報(bào)告前言最近在學(xué)習(xí)概率論的內(nèi)容，決定做一下學(xué)習(xí)報(bào)告來(lái)總結(jié)一下的第一章的知識(shí)點(diǎn)。參考教材是浙大第四版的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》。思維導(dǎo)圖1.隨機(jī)試驗(yàn)主要是隨機(jī)試驗(yàn)的3個(gè)特點(diǎn)，即：相同條件重復(fù)?？赡艿慕Y(jié)果多種且已知。每次試驗(yàn)的結(jié)果的不確定。2.樣本空間、隨機(jī)事件2.1樣本空間樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合，即為S。樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)結(jié)果。2.2隨機(jī)事件定義：樣本空間S的子集?？珊?jiǎn)稱(chēng)為事件?；臼录河梢粋€(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集。必然事件：其實(shí)就是S，該事件包含所有的樣本點(diǎn)。不可能事件：不包含樣本點(diǎn)，為空集。2.3事件間的關(guān)系和事件的運(yùn)算關(guān)系包含，一個(gè)事件A包含在另一個(gè)事件B中，A就是B的子集A?B(特殊情況)A=BA\subsetB\\(特殊情況)A=BA?B(特殊情況)A=BA和B的和事件，邏輯上其實(shí)就是A或BA∪BA\cupBA∪B積事件，邏輯上就是A與B，或者說(shuō)是A且B，即A和B的公共部分，A和B的交集。A∩BA\capBA∩BA與B的差事件，下列指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，B不發(fā)生的事件A?BA-BA?B互不相容，或者稱(chēng)為互斥A∩B=?A\capB=\emptysetA∩B=?對(duì)立事件，互為逆事件，即A∩B=?A∪B=SA\capB=\emptyset\\A\cupB=SA∩B=?A∪B=S上面6個(gè)事件間的關(guān)系可以依照下圖（取自教材）運(yùn)算規(guī)律交換律A∪B=B∪AA∩B=B∩AA\cupB=B\cupA\\A\capB=B\capAA∪B=B∪AA∩B=B∩A結(jié)合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩CA\cup(B\cupC)=(A\cupB)\cupC\\A\cap(B\capC)=(A\capB)\capCA∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C。分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A\cup(B\capC)=(A\cupB)\cap(A\cupC)\\A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。德摩根律A∪B￣=A￣∩B￣A∩B￣=A￣∪B￣\overline{A\cupB}=\overline{A}\cap\overline{B}\\\overline{A\capB}=\overline{A}\cup\overline{B}A∪B=A∩BA∩B=A∪B。3.頻率與概率3.1頻率定義：相同條件下，n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)為A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)和n的比值，即為A發(fā)生的頻率?；拘再|(zhì)：0≤f≤10\leqf\leq10≤f≤1fn(S)=1f_n(S)=1fn?(S)=1Ai為基本事件，（兩兩互不相容）fn(A1∪A2∪...∪Ak)=fn(A1)+...+fn(Ak)f_n(A_1\cupA_2\cup...\cupA_k)=f_n(A_1)+...+fn(A_k)fn?(A1?∪A2?∪...∪Ak?)=fn?(A1?)+...+fn(Ak?)。3.2概率定義：對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A）。概率的滿足條件：非負(fù)性P(A)≥0P(A)\geq0P(A)≥0規(guī)范性（S為必然事件，其實(shí)也是樣本空間的所有元素）P(S)=1P(S)=1P(S)=1可列可加性（事件兩兩互不相容）P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...P(A_1\cupA_2\cup...)=P(A_1)+P(A_2)+...P(A1?∪A2?∪...)=P(A1?)+P(A2?)+...重要性質(zhì)P(?)=0P(\emptyset)=0P(?)=0有限可加性，其實(shí)就是可列可加性若A?B，則P(B?A)=P(B)?p(A)P(B)≥P(A)若A\subsetB，則\\P(B-A)=P(B)-p(A)\\P(B)\geqP(A)若A?B，則P(B?A)=P(B)?p(A)P(B)≥P(A)。逆事件概率P(A￣)=1?P(A)P(\overline{A})=1-P(A)P(A)=1?P(A)加法公式1=P(S)=P(A∪A￣)=P（A）+P(B￣)1=P(S)=P(A\cup\overline{A})=P（A）+P(\overline{B})1=P(S)=P(A∪A)=P（A）+P(B)。4.等可能概型（古典概型）特點(diǎn)樣本空間內(nèi)元素?cái)?shù)量有限?；臼录目赡苄韵嗤?。直觀、容易理解。關(guān)于放回和不放回抽樣的問(wèn)題，其實(shí)也很好理解，放回不會(huì)影響樣本空間的改變，所以對(duì)于相同事件每次抽樣概率不變；反之，不放回抽樣會(huì)改變樣本空間，概率改變。超幾何分布對(duì)于不放回抽樣的一種概率分布模型，書(shū)中的例子是：有N件產(chǎn)品，其中D件次品，任取n件產(chǎn)品，求其中k件次品的概率。p=CDk?CN?Dn?k/CNnp=C^k_D*C^{n-k}_{N-D}/C^n_Np=CDk??CN?Dn?k?/CNn?這里沒(méi)有使用課本中的大圓括號(hào)（原因很簡(jiǎn)單，哥們不會(huì)），這里的C是高中數(shù)學(xué)學(xué)的排列組合中的組合。實(shí)際推斷原理概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的。5.條件概率5.1條件概率我對(duì)定義的理解就是事件B發(fā)生對(duì)事件A的發(fā)生了影響（可以為0，即無(wú)影響），在這種影響的情況下，A發(fā)生的概率。P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB)?條件概率也是概率，所以也滿足概率定義的三個(gè)條件。5.2乘法定理設(shè)P(A)>0P(AB)=P(B∣A)P(A)P(AB)=P(B|A)P(A)P(AB)=P(B∣A)P(A)可以拓展到多個(gè)事件的積事件P(ABC)=P(C∣AB)P(B∣A)P(A)P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)P(ABC)=P(C∣AB)P(B∣A)P(A)。5.3全概率公式和貝葉斯公式樣本空間的劃分S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn為E的一組事件，若(i)BiBj=?,i≠j,i,j=1,2,...,n.(ii)B1∪B2∪...∪Bn=S(i)B_iB_j=\emptyset,i\neqj,i,j=1,2,...,n.\\(ii)B_1\cupB_2\cup...\cupB_n=S(i)Bi?Bj?=?,i?=j,i,j=1,2,...,n.(ii)B1?∪B2?∪...∪Bn?=S則稱(chēng)Bi為樣本空間的劃分。全概率公式根據(jù)Bi為S的一個(gè)劃分，對(duì)于A為E的一個(gè)事件，有P(A)=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)P(A)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)P(A)=i=1∑n?P(A∣Bi?)P(Bi?)。貝葉斯公式P(Bi∣A)=P(A∣Bi)P(Bi)∑j=1nP(A∣Bj)P(Bj)P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum^n_{j=1}P(A|B_j)P(B_j)}P(Bi?∣A)=∑j=1n?P(A∣Bj?)P(Bj?)P(A∣Bi?)P(Bi?)?。貝葉斯公式在機(jī)器學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，我曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)的小demo，使用的對(duì)數(shù)據(jù)的分類(lèi)方法正是基于貝葉斯的分類(lèi)器，更多細(xì)節(jié)可以參考下列我當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)的兩個(gè)案例的blog6.獨(dú)立性前面在條件概率中提到的一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生可能會(huì)有影響，而獨(dú)立性就是指沒(méi)有這種影響。即P(B∣A)=P(B)P(AB)=P(B∣A)P(A)=P(A)P(B)P(B|A)=P(B)\\P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)P(B∣A)=P(B)P(AB)=P(B∣A)P(A)=P(A)P(B)此時(shí)A，B相互獨(dú)立。同理，獨(dú)立也可以拓展到多個(gè)事件的情況。定理如果A和B相互獨(dú)立，則A￣與B￣，A與B￣，B與A￣相互獨(dú)立\overline{A}與\overline{B}，A與\overline{B}，B與\overline{A}相互獨(dú)立A與B，A與B，B與A相互獨(dú)立。題目在寫(xiě)習(xí)題的時(shí)候（寫(xiě)的比較少，就20題，后面的還沒(méi)寫(xiě)）所以不能覆蓋所有的知識(shí)點(diǎn)，但是對(duì)于我自己還是有比較的針對(duì)性（自己太菜了），下面帶來(lái)這兩道題目。1.鉚釘題（繞圈）第一章習(xí)題的第12題，這題是有50個(gè)鉚釘，隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件，每個(gè)部件用3個(gè)鉚釘，50個(gè)中有3個(gè)強(qiáng)度太弱，如果3只弱鉚釘都給一個(gè)部件，那這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱了。然后我們需要求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率。讀完上面的題目，整個(gè)人都有點(diǎn)被繞暈了，這題其實(shí)在例題中有原型古典概型那一節(jié)的例題3和4，只不過(guò)這個(gè)太能繞了，我第一次讀的時(shí)候直接懵了。首先一個(gè)個(gè)分析：50個(gè)中有3個(gè)太弱10個(gè)部件3個(gè)鉚釘都給一個(gè)部件，部件就太弱求一個(gè)部件太弱的概率重點(diǎn)是4，求的是一個(gè)部件太弱的概率，$$設(shè)A_i(1\leqi\leq10)為第i個(gè)部件太弱的事件\P(A_i)=\frac{1}{C^3_{50}}$$而我們有10個(gè)部件設(shè)發(fā)生一個(gè)部件太弱的事件為A,有P(A)=C101?P(Ai)P(A)=C_{10}^1*P(A_i)P(A)=C101??P(Ai?)2.取球放球問(wèn)題，條件概率是第19題，主要是第二小問(wèn)，計(jì)算量小大，別算錯(cuò)兩個(gè)盒子，第一個(gè)5紅4白，第二個(gè)4紅5白，先從第一個(gè)取2個(gè)給第二個(gè)，然后從第二個(gè)取一個(gè)，求第二個(gè)取出白的概率不繞，就是容易算錯(cuò)?？梢栽O(shè)Ai為第一個(gè)取出白，i為白的數(shù)量，設(shè)B為從第二個(gè)取出白。P(B)=∑i=02P(BAi)=∑i=02P(B∣Ai)P(Ai)P(B)=\sum^2_{i=0}P(BA_i)=\sum^2_{i=0}P(B|A_i)P(A_i)P(B)=i=0∑2?P(BAi?)=i=0∑2?P(B∣Ai?)P(Ai?)。別算錯(cuò)，別算錯(cuò)，別算錯(cuò)?。?！后話{1}{C^3_{50}}$$而我們有10個(gè)部件設(shè)發(fā)生一個(gè)部件太弱的事件為A,有P(A)=C101?P(Ai)P(A)=C_{10}^1*P(A_i)P(A)=C101??P(Ai?)2.取球放球問(wèn)題，條件概率是第19題，主要是第二小問(wèn)，計(jì)算量小大，別算錯(cuò)兩個(gè)盒子，第一個(gè)5紅4白，第二個(gè)4紅5白，先從第