高中數(shù)學(xué)人教A版選修22(課時(shí)訓(xùn)練)2.1 合情推理與演繹推理2.1.2

2.1.2演繹推理[學(xué)習(xí)目標(biāo)]理解演繹推理的意義．掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理．[]演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？答正確，其結(jié)論就一定正確．如何分清大前提、小前提和結(jié)論？答義．演繹推理一般是怎樣的模式？答“三段論”是演繹推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情況；(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．含義從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理特點(diǎn)由一般到特殊的推理[含義從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理特點(diǎn)由一般到特殊的推理2.三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷S是P要點(diǎn)一用三段論的形式表示演繹推理例1 把下列演繹推理寫成三段論的形式．在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100時(shí)，水會沸騰；2整除，2100＋12100＋12整除；αy＝tanα是周期函數(shù)．解(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃100℃，小前提水會沸騰．結(jié)論22100＋1是奇數(shù)，小前提2100＋1不能被2整除．結(jié)論y＝tanα是三角函數(shù)，小前提y＝tanα是周期函數(shù)．結(jié)論跟蹤演練1 試將下列演繹推理寫成三段論的形式：以橢圓軌道繞太陽運(yùn)行；所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，鐵是導(dǎo)體，所以鐵通電時(shí)發(fā)熱；y＝2x－1y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)；an＝pn＋q(p，q)，數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列，1,2,3，…，nan＝pn＋q的形式．解(1)小前提：海王星是太陽系里的大行星；結(jié)論：海王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行．小前提：鐵是導(dǎo)體；結(jié)論：鐵通電時(shí)發(fā)熱．大前提：一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；y＝2x－1結(jié)論：y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．大前提：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有形式1,2,3，…，n是等差數(shù)列；n結(jié)論：數(shù)列1,2,3，…，n的通項(xiàng)具有a＝pn＋q的形式．n要點(diǎn)二演繹推理的應(yīng)用例2 正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長均為、E分別為C1C與AB的中點(diǎn)交AB1于點(diǎn)G.求證：A1B⊥AD；求證：CEAB1D.證明BD.∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱，∴A1ABB1為正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C的中點(diǎn)，∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵GA1B的中點(diǎn)，∴A1B⊥DG，又∵DG∩AB1＝G，∴A1BAB1D.又∵AD?平面AB1D，∴A1B⊥AD.GE，∵EG∥A1A，∴GEABC.∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，1∵GE＝DC＝2a，∴四邊形GECD為平行四邊形，∴CE∥GD.又∵CE?平面AB1D，DG?平面AB1D，∴CE∥平面AB1D.規(guī)律方法(1)應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略．(2)數(shù)學(xué)問題的解決與證明都蘊(yùn)含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)——大前提、小前提，注意前一個(gè)推理的結(jié)論會作為下一個(gè)三段論的前提．2x－1跟蹤演練2 求證：函數(shù)

是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)．2x＋12x＋1－2 2證明y＝ ＝1－ ，2x＋1 2x＋1所以f(x)的定義域?yàn)镽.f(－x)＋f(x)＝1－

＋1－2 2－x＋ 2x＋＝2－ 2 ＋

＝2－

2 2·2x＋2x＋122x＋1

2－x＋ 2x1

2x＋1＝2－

2x＋1

＝2－2＝0.1 2 1 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．任取x，x∈R，且x<x1 2 1 則f(x

)－f(x

)＝1－

－1－2 1 2

2x 2x1 2 1 1

2x－2x＝22x＋－

＋1＝2·

1 2x

1.2 1 2x1

2x＋1 ＋2 12 1 2 1 x1<x2x<2x，2x－2x<0，f(x1)<f(x2)f(x)2 1 2 1 要點(diǎn)三合情推理、演繹推理的綜合應(yīng)用例3 如圖所示，三棱錐A－BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直為點(diǎn)A在底面BCD上的射影．求證：O為△BCD的垂心；(1)證明∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，又BC 平面ABC.∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可證CD⊥BO，∴O為△BCD的垂心．(2)解猜想：S2ABC＋S2ACD＋S2ABD△＝S2BCD.△

△ △ △DOBCE由(1)ADABC，AE ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED，1 1 1 ∴2BC·AE2＝2BC·EO·2BC·ED，S2

BOC·S

BCD.△ △ △同理可證：S2ACD＝S

COD·S

BCD，S2ABD＝S

△BOD·S

△ △BCD.△ △ △∴S2ABC＋S2ACD＋S2ABD＝S

BCD·(S

BOC＋S

COD＋S

BOD)＝S

BCD·S

BCD＝S2BCD.△ △ △ △ △ △ △ △ △ △規(guī)律方法合情推理僅是“”確()．n n 1跟蹤演練3 已知命題：“若數(shù){a是等比數(shù)列，且a>0，則數(shù)列b＝nn n 1

a…an(n∈N22解類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)a＋a＋…＋an列b＝1 2n

n也是等差數(shù)列．證明如下：

a＋a

＋…＋a

nn－1dna1＋ 2 d設(shè)等差數(shù)列{a

}的公差為d，則b＝1 2

n＝ ＝a＋(n－1)，n n n n 1 2所以數(shù)列{b

d為公差的等差數(shù)列．n 1下面幾種推理過程是演繹推理的( )∠B＝180°155人，254人，35250人由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)

}中，a

＝1，a

1a

1(n≥2)，由此歸納出{a

}的通項(xiàng)公式n 1答案A

n＝2

n－1

n－1 n解析A是演繹推理，B、D是歸納推理，C是類比推理．因?yàn)閷?shù)函數(shù)y＝logx是增函(大前)，又y＝

是對數(shù)函數(shù)(小前提)，所以ya log3x1＝log

3x是增函結(jié)論)．”下列說法正確的( )大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤D答案A解析y＝logax是增函數(shù)錯(cuò)誤．故大前提錯(cuò)．把“函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線”恢復(fù)成三段論，則大前提；前提；結(jié)論.答案二次函數(shù)的圖象是一條拋物線函數(shù)y＝x2＋x＋1是二次函數(shù)函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線AB證明：在△ABC中，因?yàn)镃D⊥AB，AC>BC， ①所以AD>BD， ②于是∠ACD>∠BCD. ③則在上面證明的過程中錯(cuò)誤的．(只填序)答案 ③解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提應(yīng)是“在同一三角形中，大邊對大角”，小前提是“AD>BD”，而AD與BD不在同一三角形中，故③錯(cuò)誤．1．演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況的推理方法；只要前提和推理形式正確，通過演繹推理得到的結(jié)論一定正確．2.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)下列表述正確的( )①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③C．②④⑤答案D

B．②③④D．①③⑤解析根據(jù)歸納推理，演繹推理，類比推理的概念特征可以知道①③⑤正確．·學(xué)路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興()C．演繹推理答案C

歸納推理D解析這是一個(gè)復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運(yùn)用五次三段論，屬演繹推理形式．正弦函數(shù)是奇函數(shù)＝2＋1是正弦函數(shù)因此n1是奇函數(shù)以上推理( )結(jié)論正確C答案C解析由于函數(shù)f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)．故小前提不正確．

D．全不正確“∵四邊形ABCD是矩形四邊形ABCD的對角線相等以上推理的大前提( A．正方形都是對角線相等的四邊形矩形都是對角線相等的四邊形CD．矩形都是對邊平行且相等的四邊形答案B解析利用三段論分析：大前提：矩形都是對角線相等的四邊形；小前提：四邊形ABCD是矩形；結(jié)論：四邊形ABCD的對角線相等．三段論：“①小宏在2013年的高考中考入了重點(diǎn)本科院校；②小宏在2013年的高考只要正常發(fā)揮就能考入重點(diǎn)本科院校③小宏在2013年的高考中正常發(fā)揮”中“小前提是 填序)．答案③解析在這個(gè)推理中，②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論．在求函數(shù)y＝log2x－2的定義域時(shí)，第一步推理中大前提是當(dāng)a有意義時(shí)小前提是log2x－2有意義；結(jié)論．答案y＝log2x－2[4，＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.7．用三段論證明：直角三角形兩銳角之和為證明因?yàn)槿我馊切蝺?nèi)角之和為180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形內(nèi)角之和為180°(結(jié)論)．等()，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)結(jié)論)．二、能力提升“所有9的倍都是3的倍(P)，某奇是9的倍(M)，故某奇(S)是3的倍數(shù)(P)．”上述推理( )小前提錯(cuò)C．正確的答案C解析由三段論推理概念知推理正確．

B．結(jié)論錯(cuò)D．大前提錯(cuò)m、、lαβ，有下列命題：①若m∥n，n?α，則m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，則α∥β；③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，則n⊥α.其中正確的命題個(gè)數(shù)( )B．2C．3答案B

D．4解析①中，m還可能在平面α內(nèi)，①錯(cuò)誤；②正確；③中，m與n相交時(shí)才成立，③錯(cuò)誤；④正確．故選B.

1 則f(2010)＝ .1答案2

＝4，解析令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ①令x取x＋1則f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，即f(x－1)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，∴f(x)＝f(x＋6)，f(x)∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)對4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得4f(1)f(0)＝2f(1)，1 1∴f(0)＝2，即f(2010)＝2.f(x)＝|sinx|是周期函數(shù)．證明y＝f(x)對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值滿足f(x＋T)＝f(x)(T為它的一個(gè)周期．小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)．f(x)＝|sinx|是周期函數(shù)．12．S為△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC.證明如圖，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB.AE?平面SAB.∴AE⊥平面SBC，又BC?平面SBC.∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB?平面SAB.∴AB⊥BC.三、探究與創(chuàng)新13

ax－a－x(其中a＞0且a≠1)．2 ＝ 2(1)5＝2＋3請你推測g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示；(2)如果(1)中獲得了一個(gè)結(jié)論，請你推測能否將其推廣．a(chǎn)3＋a－3a2－a－2 a3－a－3a2＋a－2 a5－a－5解(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝ 2 2 ＋ 2 2 ＝ 2 ，a5－a－5又g(5)＝ 2 因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推測g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．a(chǎn)x＋a－x ax－a－x證明因f(x)＝ 2 ，g(x)＝ 2 (大前)，ax＋y－a－x＋y ay－a－y ay＋a－y所以g(x＋y)＝ 2 ，g(y)＝ 2 ，f(y)＝ 2 (小前提及結(jié)ax＋a－xay－a－yf(x)g(y)＋g(x)f(y)＝

2 · 2 ＋ax－a－xay＋a－y ax＋y－a－x＋y2 2

2 ＝g(x＋y).小課堂：如何培養(yǎng)中學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力？堂：如何培養(yǎng)中學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力？自主學(xué)習(xí)是與傳統(tǒng)的接受學(xué)習(xí)相對應(yīng)的一種現(xiàn)代化學(xué)習(xí)方式。在中學(xué)階段，至關(guān)重要??！以學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生自己做主，不受別人支配，不受外界干擾通過閱讀、聽講、研究、觀察、實(shí)踐等手段使個(gè)體可以得到持續(xù)變化（知識與技能，方法與過程，情感與價(jià)值的改善和升華）的行為方式。如何培養(yǎng)中學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力？0101學(xué)習(xí)內(nèi)容的自主性1、以一個(gè)成績比自己好的同學(xué)作為目標(biāo)，努力超過他。2、有一個(gè)關(guān)于以后的人生設(shè)想。3、每學(xué)期開學(xué)時(shí)，都根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況設(shè)立一個(gè)學(xué)期目標(biāo)。4、如果沒有達(dá)到自己的目標(biāo)，會分析原因，再加把勁。5、學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定之后，會自己思考或讓別人幫助分析是否符合自己的情況。6、會針對自己的弱項(xiàng)設(shè)定學(xué)習(xí)目標(biāo)。7、常常看一些有意義的課外書或自己找(課外題)習(xí)題做。8、自習(xí)課上，不必老師要求，自己知道該學(xué)什么。9、總是能很快選擇好對自己有用的學(xué)習(xí)資料。10、自己不感興趣的學(xué)科也好好學(xué)。11、課堂上很在意老師提出的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題。12、會花很多時(shí)間專攻自己的學(xué)習(xí)弱項(xiàng)。0202時(shí)間管理13、常常為自己制定學(xué)習(xí)計(jì)劃。14、為準(zhǔn)備考試，會制定一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃。15、會給假期作業(yè)制定一個(gè)完成計(jì)劃，而不會臨近開學(xué)才做。16、常自己尋找沒有干擾的地方學(xué)習(xí)。17、課堂上會把精力集中到老師講的重點(diǎn)內(nèi)容上面。18、做作業(yè)時(shí)，先選重要的和難一點(diǎn)的來完成。19、作業(yè)總是在自己規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成。20、作業(yè)少時(shí)，會多自學(xué)一些課本上的知識。0303學(xué)習(xí)策略21、預(yù)習(xí)時(shí)，先從頭到尾大致瀏覽一遍抓住要點(diǎn)。22、根據(jù)課后習(xí)題來預(yù)習(xí)，以求抓住重點(diǎn)。23、預(yù)習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)前面知識沒有掌握的，回過頭去補(bǔ)上來。24、常常歸納學(xué)習(xí)內(nèi)容的要點(diǎn)并想辦法記住。25、閱讀時(shí)，常做標(biāo)注，并多問幾個(gè)為什么。26、讀完一篇文章，會想一想它主要講了哪幾個(gè)問題。27、常尋找同一道題的幾種解法。28、采用一些巧妙的記憶方法，幫助自己記住學(xué)習(xí)內(nèi)容。29、閱讀