行列式的定義和性質(zhì)

行列式的定義和性質(zhì)第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第一章行列式

行列式是線性代數(shù)的一個重要組成部分.它是研究矩陣、線性方程組、特征多項式的重要工具.本章介紹了n階行列式的定義、性質(zhì)及計算方法，最后給出了它的一個簡單應(yīng)用——克萊姆法則.第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)行列式的定義用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表即第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三則二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例1解第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

我們想當(dāng)然的會考慮，通過行列式把n元線性方程組的解表示出來.二、n階行列式的定義第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三在

階行列式中，把元素

所在的第

行和第

列劃去后，留下來的

階行列式叫做元素

的余子式，記作叫做元素

的代數(shù)余子式．例如定義1

第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三定義2

則有注：因上式中使用了行列式的第一列元素，故上式也稱為D依第一列的展開式.第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例1計算下列行列式第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三解:這是一個n階行列式,按第一列展開得第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三定理1.1

行列式等于它的任一列的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即注：若行列式中某一列只有一個非零元素，則該行列式等于該元素乘以它的代數(shù)余子式．第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例2：計算下列行列式提示：按第一列展開即可.第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例3第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三下三角行列式重要結(jié)論上、下三角形行列式都等于主對角線上元素的乘積。第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)行列式的性質(zhì)與計算性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式

稱為行列式

的轉(zhuǎn)置行列式.

記一、行列式的性質(zhì)第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)1的意義何在呀？行列式的行與列地位平等，因而后面對行成立的性質(zhì)，對列也成立。推論

行列式等于它的任一行的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即例：第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)2

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)

乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．性質(zhì)2中k＝0的情況?第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)3

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.推論1

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.例如推論2行列式任一行（列）的所有元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三注：行列式的重要展開定理定理1.2第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例1

計算行列式解方法一：按第一行展開，得方法二:按第二行展開,得第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例2第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例3第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三思考題:若第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例4第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三解第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例１二、行列式的計算計算行列式常用方法：利用運(yùn)算

把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三解第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三★例2

計算

階行列式解將第

都加到第一列得當(dāng)每一行（列）元素之和都相等時，這是經(jīng)常采用的方法.第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三上（下）三角行列式等于主對角線上元素的乘積，因此計算行列式常利用行列式的性質(zhì)，把行列式化成上（下）三角行列式。這是計算行列式最基本的方法必須掌握第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例3

計算行列式的值,其中解

降階法第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三證用數(shù)學(xué)歸納法★例4證明范德蒙德(Vandermonde)行列式稱為n階范德蒙德行列式P417第四十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第四十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三n-1階范德蒙德行列式范德蒙德行列式是一類重要的行列式，結(jié)果要記住哦第四十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.三、小結(jié)第四十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三計算行列式常用方法:(1)降階法:利用行列式的性質(zhì),將它的某一行(列)元素盡可能多地化為0,然后按該行(列)展開(2)化為上(下)三角形行列式,直接給出結(jié)果(3)拆項法

第四十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三