自動控制原理 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

自動控制原理線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第一頁，共十頁，編輯于2023年，星期三3.3.5

高階系統(tǒng)的時域分析-0.75-5

p2

p3

p1

j

j1.2-j1.20(a)閉環(huán)極點分布圖(b)單位階躍響應曲線

c(t)

t特點：1)

高階系統(tǒng)時間響應由簡單函數組成。

2)

如果閉環(huán)極點都具有負實部，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3)

時間響應的類型取決于閉環(huán)極點的性質和大小，形狀與閉環(huán)零點有關。分析方法：1)

可由系統(tǒng)主導極點估算高階系統(tǒng)性能。

2)

忽略偶極子的影響。第二頁，共十頁，編輯于2023年，星期三設初始條件為零時，作用一理想脈沖信號到一線性系統(tǒng)，這相當于給系統(tǒng)加了一擾動信號。若，則系統(tǒng)穩(wěn)定。3.4穩(wěn)定性分析

j0穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域[S平面]判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本方法：

(1)

勞斯—古爾維茨判據

(2)

根軌跡法

(3)

奈奎斯特判據

(4)

李雅普諾夫第二方法

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部.3.4.1

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念系統(tǒng)工作在平衡狀態(tài),受到擾動偏離了平衡狀態(tài)，擾動消失之后，系統(tǒng)又恢復到平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性只由結構、參數決定，與初始條件及外作用無關。第三頁，共十頁，編輯于2023年，星期三勞斯判據采用表格形式，即勞斯表：

當勞斯表中第一列的所有數都大于零時，系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，如果第一列出現小于零的數時，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。第一列各系數符號的改變次數，代表特征方程的正實部根的個數。2.勞斯判據第四頁，共十頁，編輯于2023年，星期三判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。例3.4

設系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0;試用勞斯穩(wěn)定判據1234500注意兩種特殊情況的處理：

1）某行的第一列項為0，而其余各項不為0或不全為0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a為任意正數），或用很小的正數代替零元素，然后對新特征方程應用勞斯判據。

2）當勞斯表中出現全零行時，用上一行的系數構成一個輔助方程，對輔助方程求導，用所得方程的系數代替全零行。解：列出勞斯表第一列數據不同號，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。第五頁，共十頁，編輯于2023年，星期三設系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8

412勞斯表特點及第一種特殊情況勞斯表特點4

每兩行個數相等1

右移一位降兩階2

行列式第一列不動3

次對角線減主對角線5

分母總是上一行第一個元素7

第一列出現零元素時，用正無窮小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正數ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε第六頁，共十頁，編輯于2023年，星期三勞斯判據系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負一定不穩(wěn)定!缺項一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號!若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號的次數為特征根在s右半平面的個數!特征方程各項系數均大于零!-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？第七頁，共十頁，編輯于2023年，星期三勞斯表出現零行設系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時會出現零行?2出現零行怎么辦?3如何求對稱的根?②由零行的上一行構成輔助方程:①

有大小相等符號相反的特征根時會出現零行s2+1=0對其求導得零行系數:2s1211繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯啦!!!由綜合除法可得另兩個根為s3,4=-2,-3解輔助方程得對稱根:s1,2=±j勞斯表出現零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定第八頁，共十頁，編輯于2023年，星期三判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3.5

設系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+s2+2s+2=0；試用勞斯穩(wěn)定判據

例3.6

設系統(tǒng)特征方程為s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；試用勞斯穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表s4112s3220s2

(取代0)2

s12-4/s02可見第一列元素的符號改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在S右半平面上有兩個極點。解：列出勞斯表

s616104s5284s4284輔助多項式A(s)的系數

s3000第九頁，共十頁，編輯于2023年，星期三

A(s)=2s4+8s2+4dA(s)/ds=8s3+16s第一列元素全為正，系統(tǒng)并非不穩(wěn)定；陣列出現全零行，系統(tǒng)不是穩(wěn)定的；綜合可見，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（存在有共軛純虛根）。

解輔助方程可得共軛純虛根：令s2=y，

A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以導數的系數取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表：

s616104s5284s4284s38