中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理+單元突破練習(xí)專題18 平行四邊形（教師版）

專題18平行四邊形知識點(diǎn)1：平行四邊形平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的對邊相等；（2）平行四邊形的對角相等。（3）平行四邊形的對角線互相平分。3.平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（2）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

4.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

知識點(diǎn)2：特殊的平行四邊形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。2.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。（1）矩形的性質(zhì)：1）矩形的四個角都是直角；2）矩形的對角線平分且相等。

（2）矩形判定定理：eq\o\ac(○,1).有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。eq\o\ac(○,2).對角線相等的平行四邊形是矩形。

eq\o\ac(○,3).有三個角是直角的四邊形是矩形。菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

（1）菱形的性質(zhì)：1）菱形的四條邊都相等；2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

（2）菱形的判定定理：eq\o\ac(○,1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。eq\o\ac(○,2.)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

eq\o\ac(○,3.)四條邊相等的四邊形是菱形。（3）菱形的面積S=1/2×ab（a、b為兩條對角線）4.正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：1）四條邊都相等，四個角都是直角。2）正方形既是矩形，又是菱形。

（2）正方形判定定理：1）鄰邊相等的矩形是正方形。2）有一個角是直角的菱形是正方形。

1.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線；（2）過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形；（3）連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線；（4）連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形；（5）過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。2.四邊形中常用輔助線的添法順口溜平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片?！纠}1】（2020?綏化）如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB的中線，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，延長DE至點(diǎn)F，使EF＝DE，連接AF，CF，點(diǎn)G在線段CF上，連接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，F(xiàn)G＝2，GC＝3．下列結(jié)論：①DE=12BC；②四邊形③EF＝EG；④BC＝25．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】證出DE是△ABC的中位線，則DE=12BC；①正確；證出DF＝BC，則四邊形DBCF是平行四邊形；②正確；由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD=12AB＝BD，則CF＝CD，得出∠CFE＝∠CDE，證∠CDE＝∠EGF，則∠CFE＝∠EGF，得出EF＝EG，③正確；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性質(zhì)得出FH＝GH=12FG＝1，證△EFH∽△CEH，則EHCH=FHEH，求出EH【解答】解；∵CD為斜邊AB的中線，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位線，∴AE＝CE，DE=12BC；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四邊形DBCF是平行四邊形；②正確；∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD為斜邊AB的中線，∴CD=12AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正確；作EH⊥FG于H，如圖所示：則∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，F(xiàn)H＝GH=12∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴EHCH∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF=F∴BC＝2DE＝2EF＝25，④正確；【例題2】（2020?遼陽）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝8．BD＝6，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接OE，若OE＝CE，則OE的長是（）A．2 B．52 C．3 【答案】B【解析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解即可．∵菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OB=12BD=12×6＝3，OA＝OC=12由勾股定理得，BC=O∴AD＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位線，∴OE=12【例題3】（2020?泰安）如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④當(dāng)AO＝AD時，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】證△DNA≌△BMC（AAS），得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正確；證△ADE≌△CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正確；證四邊形NEMF是平行四邊形，得出EM∥FN，故②正確；證四邊形DEBF是平行四邊形，證出∠ODN＝∠ABD，則DE＝BE，得出四邊形DEBF是菱形；故④正確；即可得出結(jié)論．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90°，在△DNA和△BMC中，∠DAN=∠BCM∠DNA=∠BMC∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正確；在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝FC，DE＝BF，故③正確；∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，∵DE∥BF，∴四邊形NEMF是平行四邊形，∴EM∥FN，故②正確；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN＝ODN＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴四邊形DEBF是菱形；故④正確；正確結(jié)論的個數(shù)是4個.《平行四邊形》單元精品檢測試卷本套試卷滿分120分，答題時間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（2020?臺州）下列是關(guān)于某個四邊形的三個結(jié)論：①它的對角線相等；②它是一個正方形；③它是一個矩形．下列推理過程正確的是（）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②【答案】A【解析】根據(jù)對角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形即可判斷．對角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③錯誤，故選項(xiàng)B，C，D錯誤.2．（2020?菏澤）如果順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對角線一定滿足的條件是（）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分【答案】C【解析】由于順次連接四邊各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，有對應(yīng)邊與原對角線平行，由矩形的性質(zhì)可知，應(yīng)為對角線互相垂直的四邊形．由矩形的性質(zhì)知，矩形的四角為直角，即每組鄰邊互相垂直，故原四邊形的對角線應(yīng)互相垂直．3．（2020?連云港）如圖，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，使點(diǎn)A落在對角線BD上的A'處．若∠DBC＝24°，則∠A'EB等于（）A．66° B．60° C．57° D．48°【答案】C【解析】由矩形的性質(zhì)得∠A＝∠ABC＝90°，由折疊的性質(zhì)得∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE=12（90°﹣∠DBC）＝33∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折疊的性質(zhì)得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE=12（90°﹣∠DBC）=12（90°﹣24∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°；4．（2020?黑龍江）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動（不與點(diǎn)A，B重合），∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF=2BE，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EF、EG①∠ECF＝45°；②△AEG的周長為（1+22）③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面積的最大值是18a2⑤當(dāng)BE=13a時，G是線段其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤【答案】D【解析】①正確．如圖1中，在BC上截取BH＝BE，連接EH．證明△FAE≌△EHC（SAS）即可解決問題．②③錯誤．如圖2中，延長AD到H，使得DH＝BE，則△CBE≌△CDH（SAS），再證明△GCE≌△GCH（SAS）即可解決問題．④正確．設(shè)BE＝x，則AE＝a﹣x，AF=2x⑤正確．當(dāng)BE=13a時，設(shè)DG＝x，則EG＝x+13a如圖1中，在BC上截取BH＝BE，連接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH=2BE∵AF=2BE∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正確，如圖2中，延長AD到H，使得DH＝BE，則△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③錯誤，∴△AEG的周長＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②錯誤，設(shè)BE＝x，則AE＝a﹣x，AF=2x∴S△AEF=12?（a﹣x）×x=?12x2+12ax=?12（x2﹣ax+14a2?14a2∵?1∴x=12a時，△AEF的面積的最大值為18a2當(dāng)BE=13a時，設(shè)DG＝x，則EG＝x+在Rt△AEG中，則有（x+13a）2＝（a﹣x）2+（23a解得x=a∴AG＝GD，故⑤正確.5．（2020?黑龍江）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝6，OH＝4，則菱形ABCD的面積為（）A．72 B．24 C．48 D．96【答案】C【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得O為BD的中點(diǎn)，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得BD的長度，最后由菱形的面積公式求得面積．∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面積=16．（2020?綏化）如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F分別是BC、CD兩邊上的點(diǎn)，不能保證△ABE和△ADF一定全等的條件是（）A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF【答案】C【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB＝AD，∠B＝∠D，再根據(jù)所添加條件，與這個兩個條件是否能最終得到全等三角形的判定條件，進(jìn)而得出結(jié)論．A．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ADF（AAS），故選項(xiàng)A不符合題意；B..∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，∵EC＝FC，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），故選項(xiàng)B不符合題意；C..∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵AE＝AF，∴△ABE和△ADF只滿足兩邊和一邊的對角相等，兩個三角形不一定全等，故選項(xiàng)C符合題意；D..∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DE，∴△ABE≌△ADF（SAS），故選項(xiàng)D不符合題意．7．（2020?貴陽）菱形的兩條對角線長分別是6和8，則此菱形的周長是（）A．5 B．20 C．24 D．32【答案】B【解析】根據(jù)題意畫出圖形，由菱形的性質(zhì)求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得邊長，繼而求得此菱形的周長．如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA=12AC＝4，OB=12BD＝3，∴AB=O∴此菱形的周長＝4×5＝208．（2020?南充）如圖，面積為S的菱形ABCD中，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，則四邊形EFOG的面積為（）A．14S B．18S C．112S 【答案】B【解析】由菱形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S=12AC×BD，證出四邊形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位線，則EF=12OC=14AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S=12AC×∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四邊形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，∴EF、EG都是△OBC的中位線，∴EF=12OC=14AC，EG=∴矩形EFOG的面積＝EF×EG=14AC×149．（2020?黑龍江）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，則OH的長為（）A．4 B．8 C．13 D．6【答案】A【解析】由菱形的性質(zhì)得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，則AC＝12，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OH=12BD，再由菱形的面積求出∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH=12∵菱形ABCD的面積=12×AC×BD=1∴BD＝8，∴OH=1210．（2020?荊門）如圖所示，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點(diǎn)，若EF＝5，則菱形ABCD的周長為（）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【解析】由三角形中位線定理可求AB＝10，由菱形的性質(zhì)即可求解．∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF=12∴AB＝10，∵四邊形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周長＝4AB＝40二、填空題（每空3分，共30分）11．（2020?甘孜州）如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，若∠EAD＝40°，則∠BCE的度數(shù)為．【答案】50°．【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余關(guān)系得出∠BCE＝90°﹣∠B＝50°即可．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°12．（2020?無錫）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝50°，點(diǎn)E在CD上，若AE＝AC，則∠BAE＝°．【答案】115．【解析】由菱形的性質(zhì)得出AC平分∠BCD，AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，求出∠BCD＝130°，則∠ACE=12∠BCD＝65°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AEC＝∠ACE＝65∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACE=12∠BCD＝65∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°13．（2020?淮安）菱形的兩條對角線長分別為6和8，則這個菱形的邊長為．【答案】5【解析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，即可得AC⊥BD，OA=12AC＝3，OB=∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，OA=12AC＝3，OB=∴AB=O即這個菱形的邊長為：5．14．（2020?棗莊）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AC＝8，AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長是．【答案】85．【解析】連接BD交AC于點(diǎn)O，則可證得OE＝OF，OD＝OB，可證四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，可證得四邊形BEDF為菱形；根據(jù)勾股定理計算DE的長，可得結(jié)論．如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，∴四邊形BEDF為菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF=8?4由勾股定理得：DE=OD2∴四邊形BEDF的周長＝4DE＝4×25=15．（2019湖南婁底）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，△BCD的周長為18，則△DEO的周長是．【答案】9．【解析】∵E為AD中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE=SKIPIF1<0AD=SKIPIF1<0BC，DO=SKIPIF1<0BD，AO=CO，∴OE=SKIPIF1<0CD，∵△BCD的周長為18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO的周長是DE+OE+DO=SKIPIF1<0（BC+DC+BD）=SKIPIF1<0×18=916.（2019貴州省安順市）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D為斜邊BC上的一個動點(diǎn)，過D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為.BBDMNCA【答案】SKIPIF1<0【解析】連接AD，即可證明四邊形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MN＝AD，再由三角形的面積關(guān)系求出AD的最小值，即可得出結(jié)果．連接AD，如圖所示：BBDMNCA∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴四邊形AMDN是矩形；∴MN＝AD，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，當(dāng)AD⊥BC時，AD最短，此時△ABC的面積＝SKIPIF1<0BC?AD＝SKIPIF1<0AB?AC，∴AD的最小值＝SKIPIF1<0，∴線段MN的最小值為SKIPIF1<0。17．（2019湖南張家界）如圖：正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接PD，則tan∠APD＝．【答案】2．【解析】解：連接AF，∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，∴CF＝BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BPE＝∠APF＝90°，∵∠ADF＝90°，∴∠ADF+∠APF＝180°，∴A、P、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案為：2．18.（2019?四川省涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動（不與B、C重合），過點(diǎn)P作PQ⊥EP，交CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為．【答案】4【解析】先證明△BPE∽△CQP，得到與CQ有關(guān)的比例式，設(shè)CQ＝y(tǒng)，BP＝x，則CP＝12﹣x，代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值．∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．設(shè)CQ＝y(tǒng)，BP＝x，則CP＝12﹣x．∴，化簡得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以當(dāng)x＝6時，y有最大值為4．19．（2020?黔東南州）以?ABCD對角線的交點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于BC邊的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．若A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），則C點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】（2，﹣1）．【解析】根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，再根據(jù)?ABCD對角線的交點(diǎn)O為原點(diǎn)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．∵?ABCD對角線的交點(diǎn)O為原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，﹣1）20．（2020?金華）如圖，平移圖形M，與圖形N可以拼成一個平行四邊形，則圖中α的度數(shù)是°．【答案】30．【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°三、解答題（6個小題，共60分）21．（8分）（2020?黃岡）已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長，交BC的延長線于點(diǎn)E，求證：AD＝CE．【答案】見解析。【解析】只要證明△AOD≌△EOC（ASA）即可解決問題；證明：∵O是CD的中點(diǎn)，∴OD＝CO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．22．（8分）（2020?孝感）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，滿足BE＝DF．連接EF，分別與BC，AD交于點(diǎn)G，H．求證：EG＝FH．【答案】見解析。【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，在△BEG與△DFH中，∠E=∠FBE=DF∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．23．（10分）（2020?鄂州）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為OA、OC的中點(diǎn)，延長BM至點(diǎn)E，使EM＝BM，連接DE．（1）求證：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四邊形DEMN的面積．【答案】見解析?！痉治觥浚?）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到△AMB≌△CND；（2）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出四邊形DEMN是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到∠EMN是直角，進(jìn)而得到四邊形DEMN是矩形，即可得出四邊形DEMN的面積．【解析】（1）∵平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴AO＝CO，又∵點(diǎn)M，N分別為OA、OC的中點(diǎn)，∴AM＝CN，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四邊形DEMN是平行四邊形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M(jìn)是AO的中點(diǎn)，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四邊形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面積＝6×4＝24．24．（10分）（2020?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，交對角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的