材料力學(xué)梁彎曲時的位移

第五章梁彎曲時的位移§5-1

梁的位移——撓度和轉(zhuǎn)角§5-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分§5-3

按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角§5-6

梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能§5-5

梁的剛度校核·提高梁的剛度的措施*§5-4

梁撓曲線的初參數(shù)方程1當(dāng)前第1頁\共有56頁\編于星期三\2點§5-1梁的位移——撓度和轉(zhuǎn)角直梁在對稱平面xy內(nèi)彎曲時其原來的軸線AB將彎曲成平面曲線AC1B。梁的橫截面形心(即軸線AB上的點)在垂直于x軸方向的線位移w稱為撓度(deflection)，橫截面對其原來位置的角位移q稱為橫截面的轉(zhuǎn)角(angleofrotation)。第五章梁彎曲時的位移2當(dāng)前第2頁\共有56頁\編于星期三\2點彎曲后梁的軸線——撓曲線(deflectioncurve)為一平坦而光滑的曲線，它可以表達(dá)為w=f(x)，此式稱為撓曲線方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故橫截面的轉(zhuǎn)角q也就是撓曲線在該相應(yīng)點的切線與x軸之間的夾角，從而有轉(zhuǎn)角方程：第五章梁彎曲時的位移3當(dāng)前第3頁\共有56頁\編于星期三\2點直梁彎曲時的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線曲率的大小)有關(guān)，也與支座約束的條件有關(guān)。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同。第五章梁彎曲時的位移(a)(b)4當(dāng)前第4頁\共有56頁\編于星期三\2點在圖示坐標(biāo)系中，撓度w向下為正，向上為負(fù)；

順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。第五章梁彎曲時的位移5當(dāng)前第5頁\共有56頁\編于星期三\2點§5-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分Ⅰ.撓曲線近似微分方程的導(dǎo)出在§4-4中曾得到等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲情況下中性層的曲率為這也就是位于中性層內(nèi)的撓曲線的曲率的表達(dá)式。第五章梁彎曲時的位移6當(dāng)前第6頁\共有56頁\編于星期三\2點在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還有剪力FS=FS(x)，剪力產(chǎn)生的剪切變形對梁的變形也會產(chǎn)生影響。但工程上常用的梁其跨長l往往大于橫截面高度h的10倍，此時剪力FS對梁的變形的影響可略去不計，而有注意：對于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核電站中會遇到的那樣，梁的翼緣由不銹鋼制作，而主要承受剪力的腹板則由價廉但切變模量較小的復(fù)合材料制作，此時剪切變形對梁的變形的影響是不可忽略的。第五章梁彎曲時的位移7當(dāng)前第7頁\共有56頁\編于星期三\2點從幾何方面來看，平面曲線的曲率可寫作式中，等號右邊有正負(fù)號是因為曲率1/r為度量平面曲線(撓曲線)彎曲變形程度的非負(fù)值的量，而w"是q=w'沿x方向的變化率，是有正負(fù)的。第五章梁彎曲時的位移8當(dāng)前第8頁\共有56頁\編于星期三\2點第五章梁彎曲時的位移再注意到在圖示坐標(biāo)系中，負(fù)彎矩對應(yīng)于正值w"

，正彎矩對應(yīng)于負(fù)值的w"

，故從上列兩式應(yīng)有由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的w2與1相比可略去，于是得撓曲線近似微分方程9當(dāng)前第9頁\共有56頁\編于星期三\2點Ⅱ.撓曲線近似微分方程的積分及邊界條件求等直梁的撓曲線方程時可將上式改寫為后進行積分，再利用邊界條件(boundarycondition)確定積分常數(shù)。第五章梁彎曲時的位移10當(dāng)前第10頁\共有56頁\編于星期三\2點當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩可用一個彎矩方程表示時(例如圖中所示情況)有第五章梁彎曲時的位移以上兩式中的積分常數(shù)C1，C2由邊界條件確定后即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。11當(dāng)前第11頁\共有56頁\編于星期三\2點邊界條件(這里也就是支座處的約束條件)的示例如下圖所示。第五章梁彎曲時的位移12當(dāng)前第12頁\共有56頁\編于星期三\2點若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程需分段寫出時，各段梁的撓曲線近似微分方程也就不同。而對各段梁的近似微分方程積分時，都將出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的約束條件(constraintcondition)外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條件(continuitycondition)。這兩類條件統(tǒng)稱為邊界條件。第五章梁彎曲時的位移13當(dāng)前第13頁\共有56頁\編于星期三\2點

例題5-1試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時的位移14當(dāng)前第14頁\共有56頁\編于星期三\2點解：該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為以x為自變量進行積分得于是得該梁的邊界條件為：在x=0處

，w=0第五章梁彎曲時的位移15當(dāng)前第15頁\共有56頁\編于星期三\2點從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程根據(jù)該梁邊界條件和全梁橫截面上彎矩均為負(fù)值，以及撓曲線應(yīng)光滑連續(xù)描出了撓曲線的示意圖。第五章梁彎曲時的位移16當(dāng)前第16頁\共有56頁\編于星期三\2點可見該梁的qmax和wmax均在x=l的自由端處。于是有第五章梁彎曲時的位移17當(dāng)前第17頁\共有56頁\編于星期三\2點由此題可見，當(dāng)以x為自變量對撓曲線近似微分方程進行積分時，所得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程中的積分常數(shù)是有其幾何意義的：此例題所示的懸臂梁，q0=0，w0=0，

因而也有C1=0，C2=0。第五章梁彎曲時的位移18當(dāng)前第18頁\共有56頁\編于星期三\2點兩式中的積分在坐標(biāo)原點處(即x=0處)總是等于零，從而有事實上，當(dāng)以x為自變量時第五章梁彎曲時的位移19當(dāng)前第19頁\共有56頁\編于星期三\2點思考:試求圖示等截面懸臂梁在所示坐標(biāo)系中的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。積分常數(shù)C1和C2等于零嗎？第五章梁彎曲時的位移20當(dāng)前第20頁\共有56頁\編于星期三\2點

例題5-2試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時的位移21當(dāng)前第21頁\共有56頁\編于星期三\2點解：該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為以x為自變量進行積分得：第五章梁彎曲時的位移22當(dāng)前第22頁\共有56頁\編于星期三\2點該梁的邊界條件為在x=0處w=0，在x=l處w=0于是有即從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程第五章梁彎曲時的位移23當(dāng)前第23頁\共有56頁\編于星期三\2點根據(jù)對稱性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角qA及qB的絕對值相等，且均為最大值，故最大撓度在跨中，其值為第五章梁彎曲時的位移24當(dāng)前第24頁\共有56頁\編于星期三\2點

例題5-3試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時的位移25當(dāng)前第25頁\共有56頁\編于星期三\2點解：約束力為兩段梁的彎矩方程分別為為了后面確定積分常數(shù)的方便，右邊那段梁的彎矩方程M2(x)仍取x截面左邊的梁為分離體，使方程M2(x)中的第一項與方程M1(x)中的項相同。第五章梁彎曲時的位移26當(dāng)前第26頁\共有56頁\編于星期三\2點兩段梁的撓曲線近似微分方程亦需分段列出，并分別進行積分：撓曲線近似微分方程積分得左段梁右段梁第五章梁彎曲時的位移27當(dāng)前第27頁\共有56頁\編于星期三\2點值得注意的是，在對右段梁進行積分運算時，對于含有(x-a)的項沒有以x為自變量而是以(x-a)作為自變量進行積分的，因為這樣可在運用連續(xù)條件w1'|x=a=w2'|x=a及w1|x=a=w2|x=a確定積分常數(shù)時含有(x-a)2和(x-a)3的項為零而使工作量減少。又，在對左段梁進行積分運算時仍以x為自變量進行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章梁彎曲時的位移28當(dāng)前第28頁\共有56頁\編于星期三\2點該梁的兩類邊界條件為支座約束條件：在x=0處w1=0，在x=l處w2=0連續(xù)條件：在x=a處

，w1=w2第五章梁彎曲時的位移由兩個連續(xù)條件得：由支座約束條件w1|x=0=0得從而也有29當(dāng)前第29頁\共有56頁\編于星期三\2點由另一支座約束條件w2|x=l=0有即從而也有第五章梁彎曲時的位移30當(dāng)前第30頁\共有56頁\編于星期三\2點從而得兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程如下：左段梁右段梁第五章梁彎曲時的位移31當(dāng)前第31頁\共有56頁\編于星期三\2點左、右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為當(dāng)a>b時有第五章梁彎曲時的位移32當(dāng)前第32頁\共有56頁\編于星期三\2點顯然，由于現(xiàn)在a>b，故上式表明x1<a，從而證實wmax確實在左段梁內(nèi)。將上列x1的表達(dá)式代入左段梁的撓曲線方程得根據(jù)圖中所示撓曲線的大致形狀可知，最大撓度wmax所在

處在現(xiàn)在的情況下應(yīng)在左段梁內(nèi)。令左段梁的轉(zhuǎn)角方程

等于零，得第五章梁彎曲時的位移33當(dāng)前第33頁\共有56頁\編于星期三\2點由上式還可知，當(dāng)集中荷載F作用在右支座附近因而b值甚小，以致

b2和

l2相比可略去不計時有它發(fā)生在處。而此時處(跨中點C)的撓度wC為第五章梁彎曲時的位移34當(dāng)前第34頁\共有56頁\編于星期三\2點當(dāng)集中荷載F作用于簡支梁的跨中時(b=l/2)，最大轉(zhuǎn)角qmax和最大撓度wmax為可見在集中荷載作用于右支座附近這種極端情況下，跨中撓度與最大撓度也只相差不到3%。因此在工程計算中，只要簡支梁的撓曲線上沒有拐點都可以跨中撓度代替最大撓度。第五章梁彎曲時的位移35當(dāng)前第35頁\共有56頁\編于星期三\2點思考:試?yán)L出圖示兩根簡支梁的彎矩圖，并描出它們的撓曲線。并指出：(1)跨中撓度是否最大？(2)跨中撓度的值是否接近最大撓度值？第五章梁彎曲時的位移l/4l/236當(dāng)前第36頁\共有56頁\編于星期三\2點§5-3按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角當(dāng)梁的變形微小，且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作時，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與梁上的荷載成線性關(guān)系。在此情況下，當(dāng)梁上有若干荷載或若干種荷載作用時，梁的某個截面處的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個荷載或每種荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算梁的位移時的疊加原理(principleofsuperposition)。第五章梁彎曲時的位移37當(dāng)前第37頁\共有56頁\編于星期三\2點懸臂梁和簡支梁在簡單荷載(集中荷載，集中力偶，分布荷載)作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式，以及簡支梁跨中撓度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式已在本教材的附錄Ⅳ中以及一些手冊中給出。根據(jù)這些資料靈活運用疊加原理，往往可較方便地計算復(fù)雜荷載情況下梁的指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。第五章梁彎曲時的位移38當(dāng)前第38頁\共有56頁\編于星期三\2點

例題5-5試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面撓度

wC和兩支座截面的轉(zhuǎn)角qA及qB。第五章梁彎曲時的位移(a)

解：此梁

wC及qA，qB實際上可不按疊加原理而直接利用本教材附錄Ⅳ表中序號13情況下的公式得出。這里是作為靈活運用疊加原理的例子，假設(shè)沒有可直接利用的現(xiàn)成公式來講述的。39當(dāng)前第39頁\共有56頁\編于星期三\2點作用在該簡支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面C正對稱和反對稱荷載的疊加(圖b)。第五章梁彎曲時的位移(b)(a)40當(dāng)前第40頁\共有56頁\編于星期三\2點在集度為q/2的正對稱均布荷載作用下，利用本教材附錄Ⅳ表中序號8的公式有第五章梁彎曲時的位移C41當(dāng)前第41頁\共有56頁\編于星期三\2點注意到反對稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁

AC和右半跨梁

CB分別視為受集度為

q/2的均布荷載作用而跨長為

l/2的簡支梁。于是利用附錄Ⅳ表中序號8情況下的公式有第五章梁彎曲時的位移在集度為q/2的反對稱均布荷載作用下，由于撓曲線也是與跨中截面反對稱的，故有C42當(dāng)前第42頁\共有56頁\編于星期三\2點按疊加原理得第五章梁彎曲時的位移43當(dāng)前第43頁\共有56頁\編于星期三\2點

例題5-6試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面B的轉(zhuǎn)角qB，以及A端和BC段中點D的撓度wA和wD。第五章梁彎曲時的位移44當(dāng)前第44頁\共有56頁\編于星期三\2點第五章梁彎曲時的位移

解：為利用本教材附錄Ⅳ中簡支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角資料，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁(圖b)和簡支梁(圖c)連接而成。原來的外伸梁在支座B左側(cè)截面上的剪力和彎矩應(yīng)當(dāng)作為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡支梁上，它們的指向和轉(zhuǎn)向也應(yīng)與的正負(fù)相對應(yīng)，如圖b及圖c中所示。45當(dāng)前第45頁\共有56頁\編于星期三\2點圖c中所示簡支梁BC的受力情況以及支座約束情況與原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到簡支梁B支座左側(cè)的外力2qa將直接傳遞給支座B而不會引起彎曲后，便可知道按圖d和圖e所示情況由本教材附錄Ⅳ中的資料求Bq，

BM和wDq，wDM并疊加后得到的就是原外伸梁的

B和wD。第五章梁彎曲時的位移46當(dāng)前第46頁\共有56頁\編于星期三\2點第五章梁彎曲時的位移47當(dāng)前第47頁\共有56頁\編于星期三\2點圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以轉(zhuǎn)動的，其轉(zhuǎn)角就是上面求得的qB，由此引起的A端撓度w1=|qB|·a應(yīng)疊加到圖b所示懸臂梁的A端撓度w2上去才是原外伸梁的A端撓度wA：第五章梁彎曲時的位移48當(dāng)前第48頁\共有56頁\編于星期三\2點§5-6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能在本教材的§3-6中曾講述了等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能，并利用功能原理導(dǎo)出了密圈圓柱螺旋彈簧受壓(拉)時彈簧高度變化量的計算公式。本節(jié)研究等直梁在線彈性范圍內(nèi)工作時，由于作用在梁上的外力作功而在梁內(nèi)蓄積的彎曲應(yīng)變能Ve，并利用功能原理來求梁在簡單荷載情況下的位移。第五章梁彎曲時的位移49當(dāng)前第49頁\共有56頁\編于星期三\2點等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲時(圖a)，其曲率為常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個端面在梁彎曲后對應(yīng)的圓心角為第五章梁彎曲時的位移(a)50當(dāng)前第50頁\共有56頁\編于星期三\2點(b)圖