《全稱量詞和存在量詞》同步

全程量詞和存在量詞1含有量詞的命題2含量詞命題的否定目錄CONTENTS3習(xí)題1.24數(shù)學(xué)文化5小結(jié)與復(fù)習(xí)一

含有量詞的命題一含有量詞的命題前面看到，像x>0這樣帶有不確定變量的語(yǔ)句不是命題．但如果加上一個(gè)約束，例如“對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)x有x>0”或者“有一個(gè)實(shí)數(shù)x使x>0”，它們就是命題了．前者假而后者真，有了真假就是命題．這里的“每一個(gè)”和“有一個(gè)”叫作量詞，兩者分別叫作全稱量詞和存在量詞．涉及量詞的命題必須指出量詞的作用范圍，說(shuō)明“每一個(gè)”是哪個(gè)集合中的每一個(gè)，“有一個(gè)”是在哪個(gè)集合中有一個(gè)．一含有量詞的命題

一含有量詞的命題全稱量詞和存在量詞不但在數(shù)學(xué)里經(jīng)常被使用，在日常生活中也經(jīng)常被使用．例如，市場(chǎng)上賣雞蛋的老太太說(shuō)：“我籃子里的每一個(gè)雞蛋都是好的．”老太太表述了一個(gè)含有全稱量詞的命題．“每一個(gè)”是全稱量詞，并且指出了全稱量詞“每一個(gè)”的作用范圍是“我籃子里的雞蛋”，不是市場(chǎng)上的所有雞蛋．一含有量詞的命題

例6一含有量詞的命題一含有量詞的命題

例7一含有量詞的命題

一含有量詞的命題一含有量詞的命題

練習(xí)返回目錄二

含量詞命題的否定二含量詞命題的否定如何對(duì)含有量詞的命題進(jìn)行否定呢？先看下面兩個(gè)例子：

(1)這個(gè)籃子里的雞蛋都是好的；

(2)存在實(shí)數(shù)x，使得x2－3x－5=0.命題(1)的否定為“這個(gè)籃子里的雞蛋并非都是好的”，換言之，“這個(gè)籃子里有雞蛋是壞的”．命題否定后，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，“肯定”變?yōu)椤胺穸ā保}(2)的否定為“不存在實(shí)數(shù)x，使得x2－3x－5=0”，即“對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，x2－3x－5≠0”．命題否定后，存在量詞變?yōu)槿Q量詞，“肯定”變?yōu)椤胺穸ā保吭~命題的否定

二含量詞命題的否定要注意的是，在很多情形下，全稱量詞習(xí)慣上常常被省略．例如“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”“平行四邊形對(duì)角線互相平分”“直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊平方之和”等，這里分別指的是任意三角形、任意平行四邊形和任意直角三角形.平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)中，a和b指的是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)．存在量詞則不能省略，它常常用一個(gè)“有”字來(lái)表達(dá)，例如“一元二次方程的判別式非負(fù)時(shí)必有實(shí)根”“三角形必有外接圓”等等．二含量詞命題的否定

例8二含量詞命題的否定

例9二含量詞命題的否定

練習(xí)返回目錄三

習(xí)題1.2三習(xí)題1.2學(xué)而時(shí)習(xí)之

1.判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：

(1)菱形的兩條對(duì)角線相等；

(2)末位是5的整數(shù)可以被5整除；

(3)x=5是方程x2－4x－5=0的根；

(4)設(shè)a是整數(shù)，若a是2的倍數(shù)，則a3是16的倍數(shù)；

(5)設(shè)a，b，c為任意實(shí)數(shù)，若a=b，則ac=bc；

(6)到圓心的距離等于該圓半徑的直線是圓的切線．三習(xí)題1.2

2.寫出下列命題的否定，并判斷其真假．

(1)p：若△ABC三條邊的長(zhǎng)分別為5，12，13，則△ABC是直角三角形；

(2)q：面積相等的三角形都是全等三角形；

(3)r：一元二次方程至多有兩個(gè)解；

(4)s：若xy=0，則x=0或y=0．

3.判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：

(1)“a>b”是“ac2>bc2”的充分條件；

(2)“x2≠1”是“x≠1”的必要條件；

(3)“四邊形為正方形”是“四邊形為矩形”的充分而不必要條件；

(4)“a>b”是“a+c＞b+c”的充要條件；

(5)“x=1”是“(x－1)(x－2)=0”的充要條件；

(6)“x∈A∩B”的充要條件是“x∈A”．三習(xí)題1.2

4.從“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”與“既不充分又不必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：

(1)“a－1>0”是“a>1”的

；

(2)“a>0，b>0”是“a+b>1”的

；

(3)“兩個(gè)角是對(duì)頂角”是“兩個(gè)角相等”的

；

(4)設(shè)a，b，c都是實(shí)數(shù)，“a+b+c=0”是“x=1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根”的

．

5.設(shè)a，b∈R，下面式子中哪個(gè)是哪個(gè)的充分條件，哪個(gè)是哪個(gè)的必要條件？

(1)ab=0；(2)a2+b2=0；

(3)a2+b2>0；(4)a=0；

(5)ab<0；

(6)b≠0．三習(xí)題1.2

三習(xí)題1.2

三習(xí)題1.2上下而求索

10.參考1.2.2節(jié)的例3，梳理初中學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)中有哪些可以用充分必要條件來(lái)表述．返回目錄四

數(shù)學(xué)文化四數(shù)學(xué)文化從德·摩根到康托爾：邏輯與集合德?摩根(1806—1871)是英國(guó)數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家.他在微積分、代數(shù)、數(shù)學(xué)史及邏輯學(xué)等方面有重要的貢獻(xiàn)．在代數(shù)學(xué)方面，他認(rèn)為：“代數(shù)學(xué)實(shí)際上是一系列‘運(yùn)算’，這種‘運(yùn)算’能在任何符號(hào)(不一定是數(shù)字)的集合上，根據(jù)一定的公式來(lái)進(jìn)行．”這樣看問(wèn)題，實(shí)際上是把代數(shù)放在集合的基礎(chǔ)之上了．德·摩根在邏輯學(xué)方面，他發(fā)展了一套適合推理的符號(hào)，提出了論域概念，并以代數(shù)的方法研究邏輯的演算．他認(rèn)為，研究邏輯推理，先要有所討論的一些基本對(duì)象，這些對(duì)象組成了“論域”．論域本質(zhì)上也就是集合．這樣，實(shí)際上是把邏輯學(xué)也放到集合的基礎(chǔ)之上了．四數(shù)學(xué)文化

四數(shù)學(xué)文化

四數(shù)學(xué)文化集合論的創(chuàng)立者，是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(1845—1918)．康托爾的集合理論中最精彩的部分，是比較兩個(gè)無(wú)窮集合元素多少的理論與方法．長(zhǎng)期以來(lái)，哲學(xué)家和科學(xué)家們都認(rèn)為無(wú)窮多和無(wú)窮多無(wú)法比較多少．物理學(xué)家伽利略還具體思考過(guò)自然數(shù)多還是完全平方數(shù)多的問(wèn)題．

康托爾直觀地看，自然數(shù)多．但是每個(gè)自然數(shù)的右肩膀上標(biāo)注一個(gè)小小的“2”，就成了完全平方數(shù)，這不是表明它們一樣多嗎？伽利略由此認(rèn)為，無(wú)窮和無(wú)窮確實(shí)無(wú)法比較．四數(shù)學(xué)文化康托爾29歲(1874)時(shí)發(fā)表了關(guān)于集合論的第一篇論文，提出了比較無(wú)窮集合大小的基本概念和方法，引起了數(shù)學(xué)界的極大關(guān)注．康托爾通過(guò)深入思考，抓住了問(wèn)題的要害．問(wèn)題是要比較無(wú)窮之間的大小，要比較就要有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：什么叫大，什么叫小，什么叫一樣多？標(biāo)準(zhǔn)由人來(lái)制定，但不能隨心所欲，要訂得合理，訂得符合實(shí)際，訂得能夠自圓其說(shuō)，道理講得通．這就要參考我們的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)．比較無(wú)窮集大小，我們沒有經(jīng)驗(yàn)．而對(duì)于有窮集的比較，是有辦法的．大廳里有許多人，還有許多椅子，人多還是椅子多，可以數(shù)一數(shù)．更痛快的辦法，是請(qǐng)大家就座．

一個(gè)人只能坐一把椅子，一把椅子也只能坐一個(gè)人．如果沒有椅子空著，又沒有人站著，就可以肯定椅子和人一樣多．這叫作建立兩個(gè)集合之間的“一一對(duì)應(yīng)”．四數(shù)學(xué)文化其實(shí)所謂的“數(shù)一數(shù)”，也是一一對(duì)應(yīng)的辦法．?dāng)?shù)椅子時(shí)，指著一把椅子說(shuō)1，再指著另一把說(shuō)2，就是把椅子編了號(hào)碼，也就是把椅子的集合和前若干個(gè)正整數(shù)組成的集合建立了一一對(duì)應(yīng)．因此，比較兩個(gè)有窮集合的大小，我們只有一種辦法，就是看能不能建立一一對(duì)應(yīng)，能建立一一對(duì)應(yīng)，就是一樣多．這是人類認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系的最基本的辦法，也是最古老的辦法．于是，比較無(wú)窮集的元素多少，也只有用這種辦法．不管是有窮還是無(wú)窮，只要能夠在A和B兩個(gè)集合的元素之間建立某種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就應(yīng)當(dāng)承認(rèn)A和B兩個(gè)集合的元素一樣多．如果A和B的某個(gè)子集能建立一一對(duì)應(yīng)，但B不能和A的任何子集建立一一對(duì)應(yīng)，就應(yīng)當(dāng)承認(rèn)B比A的元素多．這就是康托爾提出的觀點(diǎn)，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)界公認(rèn)的觀點(diǎn)．四數(shù)學(xué)文化按照這樣的觀點(diǎn)，自然數(shù)就和完全平方數(shù)一樣多，因?yàn)閮蓚€(gè)集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)．但是如何解釋完全平方數(shù)僅僅是自然數(shù)的一小部分這個(gè)事實(shí)呢？這沒有難倒康托爾．他主張既然有了定義，就按定義辦事，不能因?yàn)槌霈F(xiàn)了某些不符合習(xí)慣思維的現(xiàn)象而動(dòng)搖．對(duì)于有窮集，整體比部分多；對(duì)于無(wú)窮集，整體完全可能和它的某些部分一樣多．這正是無(wú)窮集與有窮集的不同之處．進(jìn)一步思考，這可以作為無(wú)窮集的定義！什么叫無(wú)窮集？可以和自己的某個(gè)真子集建立一一對(duì)應(yīng)的集合就叫無(wú)窮集．這樣的定義跳出了“無(wú)窮就是取之不盡，就是非有窮，就是沒完沒了……”這種同語(yǔ)反復(fù)的圈子．這是更合理的定義．四數(shù)學(xué)文化按此定義，康托爾證明了一批令人難以置信的結(jié)論：有理數(shù)和自然數(shù)一樣多，線段上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)一樣多；直線上的點(diǎn)和平面上的點(diǎn)一樣多，也和空間的點(diǎn)一樣多．

是不是所有無(wú)窮集的元素都一樣多呢？康托爾證明，區(qū)間(0，1］上的實(shí)數(shù)比自然數(shù)多，即一條線段上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)要比自然數(shù)多．也就是說(shuō)，不可能把一條線段上的所有點(diǎn)像自然數(shù)那樣一個(gè)接一個(gè)地排成一條無(wú)窮的長(zhǎng)龍！但有理數(shù)可以．這說(shuō)明無(wú)理數(shù)比有理數(shù)要多．這確實(shí)是一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)．四數(shù)學(xué)文化為了敘述康托爾的論證,先將區(qū)間(0，1］中每個(gè)實(shí)數(shù)x用無(wú)窮小數(shù)0.a1a2a3…表示．由于x≠0，各位數(shù)字a1，a2，…不全為0．如x=1寫成1=0.99999….為了避免不同數(shù)字組成同一個(gè)無(wú)窮小數(shù)的情況，如0.50000…=0.49999…，約定將有限小數(shù)都寫成有無(wú)窮多個(gè)非零數(shù)字的無(wú)窮小數(shù)，如0.105=0.104999….假定區(qū)間(0，1］中的實(shí)數(shù)能夠像自然數(shù)那樣一個(gè)接一個(gè)排成無(wú)窮的長(zhǎng)龍A1，A2，…，An，…，我們證明：區(qū)間(0，1］中一定能找到實(shí)數(shù)B=0.b1b2…bn…與排進(jìn)去的所有的數(shù)An都不同，這就能說(shuō)明區(qū)間(0，1］中的實(shí)數(shù)不可能全部裝進(jìn)一條無(wú)窮的長(zhǎng)龍．

四數(shù)學(xué)文化怎樣找到這樣的B與所有的A1，A2，…，An，…都不同?我們選B的小數(shù)部分所有數(shù)字bn都不為0，并且B與每個(gè)An至少有一位數(shù)字不同．比如，選B的小數(shù)第1位b1與A1=0.a11a12…的小數(shù)第1位a11不同，B的小數(shù)第2位b2與A2=0.a21a22…的小數(shù)第2位a22不同．一般地，選B的小數(shù)第n位bn與An=0.an1…ann…的小數(shù)第n位ann不同．比如，當(dāng)ann=2時(shí)取bn=3，當(dāng)ann≠2時(shí)取bn=2．這就得到一個(gè)B與排進(jìn)長(zhǎng)龍A1，A2，…，An，…中的所有的實(shí)數(shù)都不同，從而證明了無(wú)論哪一條長(zhǎng)龍都不能將區(qū)間(0，1］中的實(shí)數(shù)全部容納進(jìn)去．四數(shù)學(xué)文化康托爾的工作給數(shù)學(xué)發(fā)展帶來(lái)了一場(chǎng)革命．由于他的理論超越直觀，所以曾受到當(dāng)時(shí)一些大數(shù)學(xué)家的反對(duì)，著名數(shù)學(xué)家龐加萊和康托爾的老師克羅內(nèi)克都對(duì)康托爾進(jìn)行非難和指責(zé)．雙方爭(zhēng)辯持續(xù)了十年之久．康托爾由于經(jīng)常處于精神壓抑之中，1884年患了精神分裂癥，1918年在精神病院逝世．更多卓越的數(shù)學(xué)家支持康托爾．1897年舉行的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，他的成就得到承認(rèn)．大數(shù)學(xué)家希爾伯特大聲疾呼，“沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕走”；著名哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家羅素稱康托爾的工作為“可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”．四數(shù)學(xué)文化現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展表明，康托爾的集合論在人類認(rèn)識(shí)史上第一次從本質(zhì)上揭示了無(wú)窮的特性，使無(wú)窮的概念發(fā)生了革命性的變化，并滲透到所有的數(shù)學(xué)分支，也給邏輯學(xué)和哲學(xué)帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響．返回目錄五

小結(jié)與復(fù)習(xí)五小結(jié)與復(fù)習(xí)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖集合常用邏輯用語(yǔ)集合與元素集合的表示法集合之間的關(guān)系集合的基本運(yùn)算交集、并集、補(bǔ)集真命題、假命題命題的否定命題充分條件、必要條件、充要條件全稱量詞和存在量詞（含否定）表達(dá)五小結(jié)與復(fù)習(xí)二、回顧與思考

1.集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念．用集合的語(yǔ)言和符號(hào)表述數(shù)學(xué)事實(shí)，比起自然語(yǔ)言來(lái)更為嚴(yán)謹(jǐn)和簡(jiǎn)潔，而且世界通用．試結(jié)合生活中、數(shù)學(xué)中以及其他學(xué)科中的集合實(shí)例，用集合語(yǔ)言來(lái)描述它們，并交流用集合語(yǔ)言來(lái)表達(dá)的優(yōu)勢(shì)．

2.集合的基本概念，可以濃縮為一個(gè)符號(hào)“∈”，有關(guān)集合的其他概念和符號(hào)都可以用符號(hào)∈來(lái)刻畫．試結(jié)合集合的包含關(guān)系和集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，體會(huì)如何用∈來(lái)刻畫這些關(guān)系與運(yùn)算．

3.集合是數(shù)學(xué)的基本概念．?dāng)?shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，需要用邏輯用語(yǔ)來(lái)表達(dá)．學(xué)習(xí)常用邏輯用語(yǔ)可以更深刻地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，更嚴(yán)密地進(jìn)行數(shù)學(xué)推理以及更正確地表達(dá)數(shù)學(xué)思想．五小結(jié)與復(fù)習(xí)

4.舉例說(shuō)明什么叫作命題，如何對(duì)一個(gè)命題作否定？

5.數(shù)學(xué)中的大量命題具有“若p，則q”的形式，試通過(guò)對(duì)這些命題的梳理，說(shuō)明充分條件、必要條件以及充要條件的意義．

6.當(dāng)陳述語(yǔ)句中涉及不確定的對(duì)象時(shí)，其真假往往難以確定．使用全稱量詞和存在量詞可以對(duì)不確定的對(duì)象進(jìn)行約束，從而使語(yǔ)句具有確定的真假．試結(jié)合實(shí)例討論，如何對(duì)含有量詞的命題判斷其真假，如何對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定？五小結(jié)與復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)題一學(xué)而時(shí)習(xí)之

1.記E為平面上所有點(diǎn)組成的集合并且A∈E，B∈E，說(shuō)明下列集合的幾何意義：

(1){P∈E|PA<5}；(2){P∈E|PA=PB}．

2.用描述法寫出下面這些區(qū)間的含義：［－2，7］；［a，b)；(123，+∞)；(－∞，－9］．

3.設(shè)集合A={2，3，a2+4a+2}，集合B={0，7，a2+4a－2，2－a}，這里a是某個(gè)正數(shù)，且7∈A，求集合B．五小結(jié)與復(fù)習(xí)

4.已知集合A={x|x是平行四邊形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，求集合A，B，C，D之間的關(guān)系．

5.已知全集為U，集合A，B，C都是U的子集，用集合U，A，B，C表示圖中的陰影部分．（第5題）五小結(jié)與復(fù)習(xí)

6.判斷下列命題的真假：

(1)a=b是|a|=|b|的必要條件；

(2)a>b是a2>b2的充分條件；

(3)兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角分別相等是兩個(gè)三角形相似的充要條件；

(4)(2x－1)x=0是x=0的充分而不必要條件．

7.下列命題中，哪些命題是“四邊形是正方形”的充分條件？

(1)對(duì)角線相等的菱形；(2)對(duì)角線互相垂直的矩形；

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形；(4)有一個(gè)角是直角的菱形．五小結(jié)與復(fù)習(xí)

8.