畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)-線性方程組的解法討論

PAGE本科生畢業(yè)論文論文題目:線性方程組的解法討論作者、學(xué)號(hào)：XXX學(xué)院、年級(jí)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2010級(jí)學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：XXXX完成日期：2014年5月20日曲靖師范學(xué)院教務(wù)處線性方程組的解法討論摘要科學(xué)技術(shù)、工程和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的一些實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型時(shí)通常可以與線性方程組對應(yīng)起來，因此，AX=b的求解是科學(xué)計(jì)算的中心問題.本文介紹了線性方程組的概念及解的基本理論，針對齊次線性方程組和非齊次線性方程組，結(jié)合例題討論了它們的解法，主要有高斯消元法、克拉姆法、LU分解法、逆矩陣及廣義逆矩陣法，并對每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用性進(jìn)行了分析，得出線性方程組的解法雖多，但要根據(jù)線性方程組的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法，方能順利求解的結(jié)論.關(guān)鍵詞：線性方程組；高斯消元法；克拉姆法則；LU分解法；逆矩陣法DiscussionabouttheSolutionofLinearSystemofEquationsAbstract:Somepracticalproblemsofscienceandtechnology,engineeringandeconomicareasofthemathematicalmodelcanusuallycorrespondtolinearequations,andtherefore,thesolutionofAX=bisacentralprobleminscientificcomputing.Thispaperintroducestheconceptandthebasictheoryoflinearequationssolution,accordingtothesystemofhomogeneouslinearequationsandnonhomogeneouslinearequationscombinedwiththeexample,discussestheirsolution,mainlyGausseliminationmethod,LUdecompositionmethod,Crummethod,inversematrixandgeneralizedinversematrixmethod,andtheadvantagesanddisadvantagesofeachmethodandapplicabilityareanalyzed,thatalthoughthesolutionoflinearequations,buttochoosetheappropriatemethodaccordingtothelinearequationtheformofagroup,canbesolvedsmoothlyconclusions.Keywords:linearSystemofequations；Gausseliminationmethod；Cramerrule；LUdecomposition；inversematrix；目錄1引言 12文獻(xiàn)綜述 12.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 12.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) 22.3提出問題 23線性方程組的概念及解的基礎(chǔ)理論 23.1齊次線性方程組 33.2非齊次線性方程組 64線性方程組的解法 94.1高斯消元法 94.2用克拉默（Cramer）法則解線性方程組 104.3LU分解法 114.4逆矩陣法及廣義逆矩陣法 125結(jié)論 155.1主要發(fā)現(xiàn) 155.2啟示 155.3局限性 155.4努力方向 15參考文獻(xiàn) 16PAGE181引言求解線性方程組AX=b是科學(xué)計(jì)算的中心問題[1].對于系數(shù)矩陣為低階稠密矩陣的線性方程組可以用直接法進(jìn)行消元.對于大規(guī)模線性方程組的求解問題，特別是大規(guī)模稀疏線性方程組，直接法會(huì)顯得比較繁瑣.因此，探討線性方程組的解法就成了當(dāng)前數(shù)學(xué)計(jì)算中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).目前，求解線性方程組的主要方法有高斯消元法[2]，克拉姆法[4]，廣義逆矩陣法[3]，LU分解法[9]，如何選擇是大家關(guān)心的一個(gè)問題.在科技、工程、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域中，很多問題常常歸結(jié)為線性方程.有些問題的數(shù)學(xué)模型雖不直接表現(xiàn)為求解線性方程，但其數(shù)值解法中卻需將該問題“離散化”或“線性化”為線性方程組[10].隨著計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量的日益增大和計(jì)算機(jī)速度的迅速提高，使得求解線性代數(shù)方程組的直接求法如高斯消去法等在計(jì)算機(jī)上可以用來求解大規(guī)模線性代數(shù)方程組，并且由于處理稀疏矩陣存貯和計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，加之直接方法理論的日臻完善，進(jìn)一步斷定了直接方法的巨大使用價(jià)值和可靠性，因而在近三十年來直接法被廣泛地采用，在科學(xué)研究和大型工程設(shè)計(jì)中出現(xiàn)了越來越多的數(shù)學(xué)問題，而這些問題往往需要求數(shù)值解，在進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，經(jīng)離散后，常常歸結(jié)為求解行如Ax=b的大型線性方程組.許多源于工程技術(shù)的數(shù)學(xué)問題，都可以歸結(jié)為求解線性方程組.因此在各種數(shù)據(jù)處理中，線性方程組的求解是最常見的問題之一.因此，找到一種行之有效的方法來解線性方程組可以給計(jì)算帶來很大的便利，提高人們的工作效率.2文獻(xiàn)綜述2.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀目前，國內(nèi)外對線性方程組解法的研究已從各個(gè)方面進(jìn)行了一定的探討，得出了一系列的成果，文獻(xiàn)[1-2]中作者簡單地?cái)⑹隽司€性方程組的思想方法，文獻(xiàn)[3]中漫談了線性方程組的改革，文獻(xiàn)[4-5]中系統(tǒng)地介紹了線性方程組的基本理論，文獻(xiàn)[6]中系統(tǒng)地講述了線性方程組的各種解法，文獻(xiàn)[7-10]中介紹了一些線性方程組的典例與解法，文獻(xiàn)[11]中韓艷麗介紹了線性方程組在處理矩陣秩問題中的應(yīng)用，文獻(xiàn)[11-12]周均介紹了齊次與非齊次線性方程組重要理論的應(yīng)用舉例，文獻(xiàn)[13-14]花威談了線性方程組在高等代數(shù)中的應(yīng)用.2.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)國內(nèi)外對線性方程組的研究多偏重于計(jì)算方法和應(yīng)用方面的研究，分別從商品利潤問題、交通問題、在解析幾何中的應(yīng)用問題、解決高等代數(shù)等方面進(jìn)行研究，對線性方程組的系統(tǒng)討論及怎樣選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，給出的研究不多.2.3提出問題針對國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，本文把以上文章中的所有問題進(jìn)行了綜合，對線性方程組的解法作了歸納總結(jié)，彌補(bǔ)其中的一些不完善的地方，并例舉一些具有針對性、典范性的例題.3線性方程組的概念及解的基礎(chǔ)理論形如(1.1)的方程組，叫做線性方程組，其中1,2,…n代表n個(gè)未知量的系數(shù)，m是方程的個(gè)數(shù)；aij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)稱為方程組的系數(shù)bi(i=1,2,…,s)稱為常數(shù)項(xiàng).3.1齊次線性方程組若方程組(1.1)中全為0，即（1.2）形如（1.2）的方程組叫做齊次線性方程組[7].常記為矩陣形式:Ax=0其中系數(shù)矩陣的秩.且方程組(1.2)的解空間為.則可以得到下列結(jié)論,這里表示方程組(1.1)解空間的維數(shù)[9]．定理齊次線性方程組一定有解：(1)若齊次線性方程組，則只有零解；(2)齊次線性方程組有非零解的充要條件是.解的性質(zhì)：記,(1)如果，那么；(2)如果為任意常數(shù)，那么.(3)齊次線性方程組的通解為,是任意常數(shù)，其中是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例1[15]解線性方程組解方法一：將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣顯然有，則方程組僅有零解，即.方法二：由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)（即）（注意：方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)（即），不可以用行列式的方法來判斷），從而可計(jì)算系數(shù)矩陣A的行列式：，知方程組僅有零解，即.例2[2]解線性方程組解將系數(shù)矩陣A化為簡化階梯形矩陣可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為（其中，，為自由未知量）令，，，得；令，，，得；令，，，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，，.所以，原方程組的通解為（，，）.例3[3]求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并以該基礎(chǔ)解系表示方程組的全部解.解將系數(shù)矩陣化成簡化階梯形矩陣可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為（其中,為自由未知量）令，，得；令，，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,所以，原方程組的通解為（其中,為任意實(shí)數(shù)）.注：基礎(chǔ)解系不唯一，但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)相同，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于n-r(A).由上面的定理可知，若是系數(shù)矩陣的行數(shù)（也即方程的個(gè)數(shù)），是未知量的個(gè)數(shù)，則有：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解；（2）當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式；（3）當(dāng)且時(shí)，此時(shí)系數(shù)矩陣的行列式，故齊次線性方程組只有零解；（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故存在齊次線性方程組的同解方程組，使“”.3.2非齊次線性方程組1．若方程組(1.1)中不全為0，即（1.3）形如（1.3）的方程組叫做非齊次線性方程組，常記為矩陣形式:Ax=b.其中系數(shù)矩陣的秩.且方程組(1.3)的解空間為.則可以得到下列結(jié)論,這里表示方程組(1.1)解空間的維數(shù)[9]．稱為方程組(1.3)的增廣矩陣，關(guān)于非齊次線性方程組，有以下理論：(1)唯一解：線性方程組有唯一解.(2)無解：線性方程組無解.(3)無窮多解：線性方程組有無窮多解.2.解的性質(zhì)：記,.(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)非齊次線性方程組的通解為,是任意常數(shù),其中是的一個(gè)解(稱為特解)，是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例4[7]解線性方程組解可見，則方程組有唯一解.所以方程組的解為例5[1]解線性方程組解，可見，所以原方程組無解.例6解線性方程組解可見，則方程組有無窮多解，其同解方程組為（其中,為自由未知量）令得原方程組的一個(gè)特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為（其中,為自由未知量）令，，得；令，，得，于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，.所以，原方程組的通解為（，）.4線性方程組的解法4.1高斯消元法高斯（Gauss)消元法是一種古老的方法[4]，基于高斯消元法的基本思想而改進(jìn)、變形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；（2）交換某兩個(gè)方程的位置；（3）用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程.這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換.高斯消元法的基本思想是：通過一系列的加減消元運(yùn)算，也就是代數(shù)中的加減消去法，將方程組化為上三角矩陣；然后，再逐一回代求解出x向量.現(xiàn)舉例說明如下：例7解線性方程組

解分別將第一個(gè)方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四個(gè)方程上，整理得將此方程組第二個(gè)方程加到第四個(gè)方程上，使該方程兩邊全為零，并將第三個(gè)方程的兩邊乘以，得再將第三個(gè)方程的7倍加到第二個(gè)方程上，消去第二個(gè)方程中的未知量，整理得最后解得.小結(jié)：高斯（Gauss)消元法的思想比較簡單，操作起來比較容易，但它只適用于未知數(shù)較少的線性方程組；當(dāng)方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)較多時(shí)，消元較為困難.4.2用克拉默（Cramer）法則解線性方程組定理1如果方程組Ax=b中D=|A|≠0，則Ax=b有解，且解是唯一的，解為是D中第i列換成列矩陣b所得的行列式.定理2如果方程組Ax=b中有非零解，那么必有D=|A|=0,Cramer法則解n元方程組有兩個(gè)前提條件：(1)未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù).(2)系數(shù)行列式不等于零定理3[3]當(dāng)齊次線性方程組，時(shí)該方程組有唯一的零解.定理4[4]齊次線性方程組有非零解.例8解線性方程組解所以，方程組有唯一解.，因此，線性方程組的解為：.小結(jié)：Cramer法則用于判斷具有n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)線性方程的方程組解的情況[12].當(dāng)方程組的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，方程組有解且解唯一.如果方程組無解或者有兩個(gè)不同的解時(shí)，則系數(shù)行列式必為零.如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則沒有非零解.如果齊次線性方程組有非零解，則系數(shù)行列式必為零.用克拉默（Cramer）法則解線性方程組比較簡單，操作起來也比較容易，但它只適用于解未知數(shù)的個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)相同的線性方程組，而且通常是解非齊次線性方程組，對齊次線性方程組，只能求出零解，非零解無法求出.4.3LU分解法LU分解法是直接分解法中的一種算法[10]，將方程組Ax=b中的稀疏矩陣A分解為一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)下三角矩陣，其中A=LU,令y=Ux,那么在方程租的運(yùn)算中可以先解Ly=b,再解Ux=y在編程過程中分兩步進(jìn)行，先對矩陣A進(jìn)行LU分解，然后再解方程組.例9用LU分解法解方程組 解由LU分解 小結(jié)：LU分解法的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)方程組左端系數(shù)矩陣不變[13]，僅僅是方程組右端列向量改變，即外加激勵(lì)信號(hào)變化時(shí)，能夠方便地求解方程組.設(shè)n階線性方程組Ax=b.將方程組左端系數(shù)矩陣A，分解成兩個(gè)三角陣的乘積[14]，即A=LU，式中，L為主對角線以上的元素均為零的下三角矩陣,且主對角線元素均為1的上三角矩陣；U為主對角線以下的元素均為零.4.4逆矩陣法及廣義逆矩陣法1.線性方程組AX=b,當(dāng)A可逆時(shí)，(注：A是方陣).例10解線性方程組Ax=b,其中，b=(1，-2，4).解,所以，系數(shù)矩陣A可逆.，方程組變形為x=A-1b因此，線性方程組的解為：.注：針對線性方程組AX=b,上述解法只適用于A是方陣且可逆的線性方程組.下面主要討論如何將上述方法加以推廣，使之能運(yùn)用到一般的線性方程組的求解中.2.設(shè).如果存在，使得，則稱為矩陣的一個(gè){1}-廣義逆矩陣，記作.矩陣的{1}-逆總是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩陣的{1}-逆的全體記為.若，為的一個(gè){1}-廣義逆矩陣[2]，則對為任意的矩陣，矩陣的一個(gè){1}-廣義逆矩陣為,同時(shí)還可以表示為.廣義逆矩陣的計(jì)算：(1)設(shè)，且有和階置換矩陣使得則對任意的，矩陣是的一個(gè){1}-廣義逆矩陣.若存在使得則矩陣的{1}-逆的全體(2)設(shè)，則有惟一{1}逆的充分必要條件是，且，即可逆.這個(gè)惟一的{1}逆就是.定理1[12]設(shè)，,則是線性方程組有解的充要條件,其中.如果線性方程組有解，其通解可表示為，其中是任意的維列向量.定理2[14]設(shè)線性方程組有解，是矩陣的一{1}-廣義逆矩陣，并且，則為線性方程組的最小范數(shù)解.定理3[15]設(shè)為矩陣的一個(gè){1}-廣義逆矩陣，且，則對任意的維列向量,一定是線性方程組的最小二乘解.例11解線性方程組解令，.通過行初等變換得到.取，再令，，得.可以驗(yàn)證所以，線性方程組有解，且通解為(任意)[7].小結(jié)：該方法對線性方程組解的討論更加完整，表達(dá)形式也更加簡潔系統(tǒng).在無窮多個(gè)解向量中，此法可求出一個(gè)長度最短解向量，當(dāng)方程組無解時(shí)，又可求出其最優(yōu)近似解，而且該方法在概率統(tǒng)計(jì)、線性規(guī)劃等領(lǐng)域中應(yīng)用比較廣泛.5結(jié)論5.1主要發(fā)現(xiàn)線性方程組有多種解法，每種解法都有它的優(yōu)越性和局限性.線性方程組是線性代數(shù)的心臟，它可以應(yīng)用到很多方面，根據(jù)其重要理論可以解決很多問題，使得一些問題得到意想不到的簡單解法.5.2啟示線性方程組的解法雖多，要選擇一種適合的并不容易，我們需要先對線性方程組進(jìn)行分類：齊次線性方程組和非齊次線性方程組.根據(jù)不同的線性方程組的不同特征，進(jìn)而采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?5.3局限性線性方程組的解法還有多，由于本人的能力和時(shí)間有限，只對其中的幾種方法進(jìn)行討論和分析.5.4努力方向除了文章所述線性方程組的理論知識(shí)和求解方法外，由于線性方程組的解法相當(dāng)多，在今后的學(xué)習(xí)中將不斷的深入研究，以彌補(bǔ)文章中許多不足之處.參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1988:25-50.[2]張禾瑞.,郝鈵新.高等代數(shù)[M].第四版.北京:高等教育出版社,1999:35-68.[3]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1996:32-65.[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].第二版.北京:高等教育出版社,1988:20-55.

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