中等數(shù)學(xué)奧林匹克問題

數(shù)數(shù) 問初213如圖1,△ABCAB=ACADBC,D,EAD的DF⊥BE,F,CFAD于點G.求證:EG<(呂建恒陜西省興 初 已知abc是三角形的三條

,a2+b2+c2=2008.求該三角(省羅田縣涼亭河中學(xué),高 已知銳角△ABC,AB>AC,N求證∠BND=∠CND(黃全福 省懷寧縣江學(xué),高 設(shè)正數(shù)列{an}滿石子,游戲終止 必存在a2∈N+,a2>a1,使

fa2-

(m)<(A+2)a 且f(m)≥(A+2)k,aAk≤m<(A+1)k(A∈N+) m=

+b,f

(

=

+b+A

(A+2)ka2a

(m)<(A+1)+(A+2)k 若仍有Ak≤f(m)<(A+1)k, 設(shè)fa(m)=(A+2)k+q(q∈N) f2(m)=Ak+b+2Af2(m)-f1(m)=A,若正整數(shù)m滿足Ak≤mf1(m)<A

q0,則命題獲證q≠00<qA1f1迭代的增量為A+1,有k, fa(m)≡f

(m)(mod(A+1))f1(f1(m))-f1(m)=A fi+1(m)-fi(m)=A≥1

即A2)k+q≡A1)k+p(modA1q≡p-1(modA10<pq<A1,p-1=,a1∈N+,

(m)=(A+2)+(p-1)kaf(m)≥(A+1)ka1

,fa(m)=A1)k+pf

(且 (m)<(A+1)k, a1-f(A+1)kf

(m)<A+(A+1)k

A2)k+p-1),A11(A2-2f

(m)=(A+1)k+p(p∈N) g1(x)=fa-a(x),gn(x)=g1(gn-1(x))(n≥2)1若p=0,則命題獲證 則g1(fa(m))=(A+2)k+(p-1)1若p≠0,則由式②知0<p<A, g2(f1

(m))=(A+3)k+(p-2)a(A+1)ka1

(m)<(A+2)k 再對fa(m)反復(fù)進行f1迭代,利用式①可知 gp(fa(m))=(A+p+1)k+(p-p)=(A+p+1)k 在式③的限定下每次f1迭代的增量為A+1,于是 (省市高級中學(xué)2007年第11 a1=9

,

=23

-3<m<1Ζ55m≠-5+55且且8n+

+4an+an-

=3(n≥2) Ζ-3<m<-5+ 或-5+ <m<1(m≠0)5求該數(shù)列的通項 綜上所述,m的取值范圍是-3≤m<-5+55(浙江省余姚市余姚中學(xué)高 或-5+ <m<0或0<m<5(13211m,滿足存在兩個實數(shù)ab,使得a≤0,b≠0,且

(,廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,510006).212,且這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和是2008求這個四位數(shù),并說明理由.1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=2008a-bma+3b

=1m

即1001a+101b+11c+2d=2 :,m≠0.a分情況討論a0-b=1m≠0

,a≥3,1001a30002008a3不可能a1a101b+11c+2d=1b≠0,-3

=1,m

m=-

11c2d11×92×9117101b≥1007-117ba≠0,則由a≤0a<0b=tat≠0因為等式中出現(xiàn)了ab,t =| =-att

,b9成立,11c2d1007-909,7<c<9.故c=8.c8,11c+2d=11×8+2d=98,d,題給等式變?yōu)閍-ta-ma+3ta

=1,m

1-tm+3t

=1m

101b+11c+2d=,b0c0d3時才成立m(1-t-t)=m+3t故1-t Ζt(m+3)=t(1-m)t -1

(m≠0)1- 證

(省羅田縣涼亭河中學(xué)211設(shè)abc是正數(shù),且a+b+c=1.ttttm(m+ =1-m, =m+3 1 a1 b1ttttm

tcΖt -1 -1± tc1-

21

t=m+3

m+3>0

G(x)=ln1+1+x-148x

- t≠-1+

-

≠-1+

+3 m+ (m+3)(1-m)>0

G(x)

(1+x+x3)(1+x

-Ζ1-m≠-1+5(m+2(m+3)(m-1)<0 -3<m<1

(3x-1)(-11x3+84x2+165x+=148(1+x+x3)(1+=(3x-1)[11x2(1-x)+73x2+165x+33]148(1+x+x3)(1+ 5 +3

≠5-Ζm≠5-3+

(1-x)+73x∈]時x等數(shù)學(xué)》2008年第1期繼續(xù)推出服務(wù)于初中數(shù)賽的專,屆時仍聘請多名員為專提供模擬試題(有詳細的解答)。頁碼(1648頁,價格(3元:個人訂閱每冊3190元(含郵費);集體訂閱請與編輯部李老師聯(lián)系。訂閱地址:市河西區(qū)衛(wèi)津路241《中等數(shù)學(xué)編輯:022 :300074本本165x330(1+x+x3)(1+x)0.G(,x∈[3,1),3x-10,G(則33a2+b2+c2)-11(a+b+c)(a+b+c)≥ln.故1+1+ 1+1+ 1+1+ c≥.因此,函數(shù)G(x)在(0,1)上有最小 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時,等號成立1311313 ,且 =(黑龍江省大慶實驗中學(xué)+.xa1313++1313+ +cln37+.xa1313++1313+ +cln37ln1+1+

x-3

0N=n2=A1A2A3A4,A1A2A3A4xln1+1+

≥33

找一個由兩個平方數(shù)組成的數(shù)(不要求這個數(shù)也是aln1

1+

完全平方數(shù)),且這個數(shù)是偶數(shù)(4的倍數(shù))bln1+1+

≥33bb-

abm,N=n2=(a×10m+b)cln1

cc1+

,2ab436ab2182182×109a2= m,,并考慮aln1+1+a+bln1+1+b+cln1+1+≥33(a2+b2+c2)-11(a+b+c)

b2的位數(shù)b2118815位m5,(a+b+c)

a2+b2+a2+b2+3