2020年全國(guó)碩士研究生考試《數(shù)學(xué)一》試題（網(wǎng)友回憶版）

2020年全國(guó)碩士研究生考試《數(shù)學(xué)一》試題（網(wǎng)友回憶版）[單選題]1.x→0＋時(shí)，下列無(wú)窮小階數(shù)最高的是（）。A.INCLU（江南博哥）DEPICTURE\d"/huixue_img/importSubject/27f132efbef44caa9d47e2e5457789e6.png"INETB.C.D.參考答案：D參考解析：A項(xiàng)，B項(xiàng)，C項(xiàng)，D項(xiàng)，故選D項(xiàng)。[單選題]2.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）內(nèi)有定義，且，則（）A.當(dāng)，f（x）在x＝0處可導(dǎo)B.當(dāng)，f（x）在x＝0處可導(dǎo)C.當(dāng)f（x）在x＝0處可導(dǎo)時(shí)，D.當(dāng)f（x）在x＝0處可導(dǎo)時(shí)，參考答案：C參考解析：當(dāng)f（x）在x＝0處可導(dǎo)時(shí)，由可知，，且也即存在，從而。故選C項(xiàng)。[單選題]3.設(shè)函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（0，0）處可微，f（0，0）＝0，，且非零向量與垂直，則（）。A.存在B.存在C.存在D.存在參考答案：A參考解析：∵f（x，y）在（0，0）處可微，f（0，0）＝0，∴；即。∵，∴存在?！噙xA項(xiàng)。[單選題]4.設(shè)R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，r是實(shí)數(shù)，則（）。A.發(fā)散時(shí)，｜r｜≥RB.發(fā)散時(shí)，｜r｜≤RC.｜r｜≥R時(shí)，發(fā)散D.｜r｜≤R時(shí)，發(fā)散參考答案：A參考解析：∵R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，∴在（－R，R）內(nèi)必收斂?！喟l(fā)散時(shí)，r≥R?！噙xA項(xiàng)。[單選題]5.若矩陣A經(jīng)初等列變換化成B，則（）。A.存在矩陣P，使得PA＝BB.存在矩陣P，使得BP＝AC.存在矩陣P，使得PB＝AD.方程組Ax＝0與Bx＝0同解參考答案：B參考解析：∵A經(jīng)初等列變換化成B，∴存在可逆矩陣P1使得AP1＝B；∴A＝BP1－1，令P＝P<sub>1－1，則A＝BP?！噙xB項(xiàng)。[單選題]6.已知直線L1：（x－a2）/a1＝（y－b2）/b1＝（z－c2）/c1與直線L2：（x－a3）/a2＝（y－b3）/b2＝（z－c3）/c2相交于一點(diǎn)，設(shè)向量，i＝1，2，3，則（）。A.1可由2，3線性表示B.2可由1，3線性表示C.3可由1，2線性表示D.1，2，3線性無(wú)關(guān)參考答案：C參考解析：令L1的方程（x－a2）/a1＝（y－b2）/b1＝（z－c2）/c1＝t，即有由L2的方程得由直線L1與L2相交得存在t使2＋t1＝3＋t2，即3＝t1＋（1－t）2，3可由1，2線性表示，故應(yīng)選C項(xiàng)。[單選題]7.設(shè)A，B，C為三個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，則A，B，C中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率為A.3/4B.2/3C.1/2D.5/12參考答案：D參考解析：只發(fā)生A事件的概率：只發(fā)生B事件的概率：只發(fā)生C事件的概率：A，B，C中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率：故選擇D項(xiàng)。[單選題]8.設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中P（X＝0）＝P（X＝1）＝1/2，Φ（x）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則利用中心極限定理可得的近似值為（）。A.1－Φ（1）B.Φ（1）C.1－Φ（2）D.Φ（2）參考答案：B參考解析：E（X）＝1/2，D（X）＝1/4，，，將標(biāo)準(zhǔn)化可得，由中心極限定理可知近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故選B項(xiàng)。[問(wèn)答題]1.（本題滿分10分）求函數(shù)f（x，y）＝x3＋8y3－xy的極值。參考答案：先求一階偏導(dǎo)數(shù)得到駐點(diǎn)：解得駐點(diǎn)有（0，0），（1/6，1/12）。再求二階偏導(dǎo)數(shù)：對(duì)于（0，0）點(diǎn)：A＝0，B＝－1，C＝0，由于AC－B2＜0，可知（0，0）點(diǎn)不是極值點(diǎn)；對(duì)于（1/6，1/12）點(diǎn)：A＝1，B＝－1，C＝4，由于AC－B2＞0且A＞0，可知（1/6，1/12）點(diǎn)為極小值點(diǎn)，極小值f（1/6，1/12）＝－1/216。[問(wèn)答題]2.（本題滿分10分）計(jì)算曲線積分，其中L是x2＋y2＝2，方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉⒖即鸢福涸O(shè)P＝（4x－y）/（4x2＋y2），Q＝（x＋y）/（4x2＋y2），則取路徑Lε：4x2＋y2＝ε2，方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍珼_ε為L(zhǎng)ε所圍曲面，則[問(wèn)答題]3.（本題滿分10分）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，（n＋1）an＋1＝（n＋1/2）an，證明：當(dāng)x＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂，并求其和函數(shù)。參考答案：（1）由（n＋1）an＋1＝（n＋1/2）an，a1＝1知an＞0，則an＋1/an＝（n＋1/2）/（n＋1）＜1，即an＋1＜an。故{an}單調(diào)遞減，且0＜an＜1，故anxn＜xn。當(dāng)x＜1時(shí)，絕對(duì)收斂，故收斂。（2）則即解得又S（0）＝0，故c＝2，因此。[問(wèn)答題]4.（本題滿分10分）設(shè)∑為曲面的下側(cè)，f（x）是連續(xù)函數(shù)，計(jì)算參考答案：由得，。方向余弦為，，。于是[問(wèn)答題]5.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f（0）＝f（2）＝0，，證明：（1）存在ξ∈（0，2），使得f′（ξ）≥M。（2）若對(duì)任意的x∈（0，2），f′（x）≤M，則M＝0。參考答案：證明：（1）由，x∈（0，2），知存在c∈（0，2），使f（c）＝M，若c∈[0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，c），使從而。若c∈（1，2]，同理存在ξ∈（c，2）使從而。綜上，存在ξ∈（0，2），使f′（ξ）≥M。（2）若M＞0，則c≠2。由f（0）＝f（2）＝0及羅爾定理知，存在η∈（0，2），使f′（η）＝0，當(dāng)η∈（0，c]時(shí)，，又，于是2M＜Mc＋M（2－c）＝2M，矛盾。故M＝0。[問(wèn)答題]6.（本題滿分11分）設(shè)二次型f（x1，x2）＝x12＋4x1x2＋4x<sub>22經(jīng)正交變換化為二次型g（y1，y2）＝ay12＋4y1y2＋by<sub>22，其中a≥b。（1）求a，b的值。（2）求正交矩陣Q。參考答案：（1）設(shè)，，由題意可知QTAQ＝Q－1AQ＝B?！郃合同、相似于B，∴，a≥b，∴a＝4，b＝1。（2）A的特征值為0.5，則當(dāng)λ＝0時(shí)，解（0E－A）x＝0，得基礎(chǔ)解為；當(dāng)λ＝5時(shí)，解（5E－A）x＝0，得基礎(chǔ)解為；又B的特征值也為0.5，則當(dāng)λ＝0時(shí)，解（0E－B）x＝0，得；當(dāng)λ＝5時(shí)，解（5E－B）x＝0，得；對(duì)α1，α2單位化，則令Q1＝（γ1，γ2），Q2＝（γ2，γ1），則故?？闪頪問(wèn)答題]7.（本題滿分11分）設(shè)A為2階矩陣，P＝（，A），其中是非零向量，且不是A的特征向量，（1）證明P為可逆矩陣。（2）若A2＋A－6＝0，求P－1AP，并判斷A是否相似于對(duì)角矩陣。參考答案：（1）由于不是A的特征向量，可知，A線性無(wú)關(guān)，也即P＝（，A）可逆。（2）由于A2＝6－A，可知?jiǎng)t，令，可知A相似于B。則B有兩個(gè)不同的特征值2，－3，也即A有兩個(gè)不同的特征值2，－3，故A可相似對(duì)角化。[問(wèn)答題]8.（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，其中X1與X2均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X3的概率分布為P{X3＝0}＝P{X3＝1}＝1/2，Y＝X3X1＋（1－X3）X2。（1）求二維隨機(jī)變量（X1，Y）的分布函數(shù)，結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ（x）表示。（2）證明隨機(jī)變量Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。參考答案：（1）若x≤y，則若x＞y，則故（2）因此，隨機(jī)變量Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。[問(wèn)答題]9.（本題滿分11分）設(shè)某種元件的使用壽命T的分布函數(shù)為其中θ，m為參數(shù)且大于零。（1）求概率P{T＞t}與P{T＞s＋tT＞s}，其中s＞0，t＞0。（2）任取n個(gè)這種元件做壽命試驗(yàn)，測(cè)得它們的壽命分別為t1，t2…，tn，若m已知，求θ的最大似然估計(jì)值。參考答案：（1）（2）T的密度函數(shù)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)則令，可得θ的最大似然估計(jì)值。[填空題]1.（）。參考答案：－1參考解析：[填空題]2.設(shè)，則（）。參考答案：參考解析：得。[填空題]3.若函數(shù)f（x）滿足f″（x）＋af′（x）＋f（x）＝0（a＞0），且f（0）＝m，f′（0）＝n，則（）。參考答案：am＋n參考解析：特征方程λ2＋aλ＋1＝0，其根有三種情況：當(dāng)a＞2時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根：，方程通解為，其中r1，r2為方程的兩個(gè)實(shí)根，容易驗(yàn)證r1，r2＜0，則；當(dāng)a＝2時(shí)，有兩個(gè)相同實(shí)根－1，方程通解為，容易驗(yàn)證