2023人教版·文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)演練：第九章 平面解析幾何9-3高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)難點(diǎn)分析

9-3A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：45分鐘)1．“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圓”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示一個(gè)圓，則(－2)2＋22－4a>0，∴a<2，又a＝1?a<2，反之不成立，∴“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圓”的充分而不必要條件．【答案】A2．點(diǎn)P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，則AB的方程為()A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝0【解析】由題意可知圓心Q(1，0)，故kPQ＝－1.∴kAB＝1，∴AB的方程為y＋1＝1×(x－2)．即x－y－3＝0.【答案】C3．已知點(diǎn)A(－2，0)，B(0，2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是()A．3－eq\r(2)B．3＋eq\r(2)C．3－eq\f(\r(2),2)D.eq\f(3－\r(2),2)【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1.直線AB的方程為x－y＋2＝0，圓心(1，0)到直線AB的距離d＝eq\f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).則點(diǎn)C到直線AB的最短距離為eq\f(3\r(2),2)－1.又|AB|＝2eq\r(2).∴S△ABC的最小值為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－1))＝3－eq\r(2).【答案】A4．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4,2y＝y(tǒng)0－2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.【答案】A5．若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長(zhǎng)，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A．1B．5C．4eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)【解析】由題意知圓心C(2，1)在直線ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2－eq\r(2)，a＝eq\r(2)－1時(shí)，等號(hào)成立．∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為3＋2eq\r(2).【答案】D6．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝()A．2eq\r(6)B．8C．4eq\r(6)D．10【解析】由已知三點(diǎn)求出圓的方程，然后求出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出|MN|.設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2eq\r(6)或y＝－2－2eq\r(6)，∴M(0，－2＋2eq\r(6))，N(0，－2－2eq\r(6))或M(0，－2－2eq\r(6))，N(0，－2＋2eq\r(6))，∴|MN|＝4eq\r(6)，故選C.【答案】C7．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圓，則m的取值范圍是________；當(dāng)半徑最大時(shí)，圓的方程為_(kāi)_______．【解析】∵原方程可化為(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8，∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，∴2<m<4.當(dāng)m＝3時(shí)，r最大為1，圓的方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝1.【答案】2<m<4(x－1)2＋(y＋3)2＝18．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對(duì)稱(chēng)，則a－b的取值范圍是________．【解析】∵圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圓心為(－1，2)，且5－a>0，即a<5.又圓關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對(duì)稱(chēng)，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.【答案】(－∞，1)9．一圓經(jīng)過(guò)A(4，2)，B(－1，3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距的和為2，求此圓的方程．【解析】設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②1＋9－D＋3E＋F＝0.③解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.10．已知圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(diǎn)(4，－1)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9，6)，求圓C的方程．【解析】因?yàn)閳AC和直線x－6y－10＝0相切于點(diǎn)(4，－1)，所以過(guò)點(diǎn)(4，－1)的直徑所在直線的斜率為－eq\f(1,\f(1,6))＝－6，其方程為y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.又因?yàn)閳A心在以(4，－1)，(9，6)兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線y－eq\f(5,2)＝－eq\f(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(13,2)))，即5x＋7y－50＝0上，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－6x＋23，,5x＋7y－50＝0))解得圓心為(3，5)，所以半徑為eq\r(（9－3）2＋（6－5）2)＝eq\r(37)，故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－5)2＝37.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)11．過(guò)點(diǎn)P(1，1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0【解析】當(dāng)圓心與P的連線和過(guò)點(diǎn)P的直線垂直時(shí)，符合條件．圓心O與P點(diǎn)連線的斜率k＝1，∴過(guò)點(diǎn)P垂直于OP的直線方程為x＋y－2＝0.【答案】A12．(2014·山東)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________．【解析】設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b>0)，由題意得a＝2b>0，且a2＝(eq\r(3))2＋b2，解得a＝2，b＝1.∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝413．設(shè)P為直線3x＋4y＋3＝0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C；x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為_(kāi)_______．【解析】依題意，圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心是點(diǎn)C(1，1)，半徑是1，易知|PC|的最小值等于圓心C(1，1)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，即eq\f(10,5)＝2，而四邊形PACB的面積等于2S△PAC＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PA|·|AC|))＝|PA|·|AC|＝|PA|＝eq\r(|PC|2－1)，因此四邊形PACB的面積的最小值是eq\r(22－1)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)14．已知D是由不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y≥0，,x＋3y≥0))所確定的平面區(qū)域，則圓x2＋y2＝4在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_______．【解析】作出可行域D及圓x2＋y2＝4，如圖所示，圖中陰影部分所在圓心角θ＝α－β所對(duì)的弧長(zhǎng)即為所求．易知圖中兩直線的斜率分別為eq\f(1,2)、－eq\f(1,3)，得tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,3)，tanθ＝tan(α－β)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，得θ＝eq\f(π,4)，得弧長(zhǎng)l＝θ·R＝eq\f(π,4)×2＝eq\f(π,2)(R為圓的半徑)．【答案】eq\f(π,2)15．(2016·廣東廣州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2eq\r(2)，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2eq\r(3).(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程．【解析】(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.則y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P點(diǎn)的軌跡方程為y2－x2＝1.(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1.∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.①當(dāng)y0＝x0＋1時(shí)，由yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1得(x0＋1)2－xeq\o\al(2,0)＝1.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，))∴r2＝3.∴圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3.②當(dāng)y0＝x0－1時(shí)，由yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1得(x0－1)2－xeq\o\al(2,0)＝1.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1，))∴r2＝3.∴圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3.綜上所述，圓P的方程為x2＋(y±1)2＝3.16．在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4，－3)為△OAB的直角頂點(diǎn)，已知|AB|＝2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0.(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(2)求圓x2－6x＋y2＋2y＝0關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的圓的方程．【解析】(1)設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝100，,4x－3y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝8))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－8.))若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－6，－8)，則yB＝－11與yB＞0矛盾．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－8))舍去．即eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，8)．(2)圓x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝(eq\r(10))2，其圓心為C(3，－1)，半徑r＝eq\r(10)，∵eq\o(OB,