2024版高中同步新教材選擇性必修第一冊（人教A版）數(shù)學 第三章 圓錐曲線的方程 第1課時 雙曲線的簡單幾何性質

第三章圓錐曲線的方程3.2.2雙曲線的簡單幾何性質第1課時雙曲線的簡單幾何性質基礎過關練題組一雙曲線的簡單幾何性質1.雙曲線x22-y2=1的右頂點坐標為(A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(2,0)2.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則m等于()A.-13.中心在原點,實軸在x軸上,一個焦點在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是()A.x2-y2=8B.x2-y2=4C.y2-x2=8D.y2-x2=44.(2023安徽合肥一六八中學月考)王老師在課堂中與學生探究某雙曲線的性質時,有四位同學分別給出了一個結論:甲:該雙曲線的實軸長是43;乙:該雙曲線的虛軸長是2;丙:該雙曲線的焦距為8;丁:該雙曲線的離心率為23如果只有一位同學的結論是錯誤的,那么這位同學是()A.甲B.乙C.丙D.丁5.(2023河南鄭州外國語學校期中)已知某雙曲線過點(2,3),它的一條漸近線方程為y=3x,則雙曲線的標準方程是()A.7xC.x2-y26.(2023重慶一中期中)已知雙曲線C的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點,則雙曲線CA.x2C.x27.(2023四川成都樹德中學期末)已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若C的右支上存在一點M,滿足2|MF1|=3|MF2|A.(0,26]B.[26,+∞)C.(0,5]D.[5,+∞)8.(2023湖北武漢華中師大一附中期中)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=3x,一個焦點為(29.已知雙曲線C與雙曲線x29?y216=1有共同的漸近線,且經(jīng)過點A(-3,2題組二求雙曲線的離心率的值或者范圍10.(2023湖南邵陽二中期中)雙曲線x24?y2A.311.(2022浙江杭州聯(lián)考)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的實軸長為4,A.512.若雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與直線y=2圍成了一個等邊三角形A.3213.(2023河南商丘月考)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,A是雙曲線C的左頂點,以F1,F2為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P,Q兩點,且∠PAQ=3πA.214.(2023湖南衡陽四中期中)已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的下、上焦點分別為F1,F2,點M在C的下支上,過點M作C的一條漸近線的垂線,垂足為D.若|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立A.1,C.(1,2)D.515.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1作一條漸近線的垂線,垂足為A,與另一條漸近線交于點B16.已知點P在雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右支上,F1,F2分別為其左、右焦點,|F1F2|=2能力提升練題組一求雙曲線的離心率或取值范圍1.(2023河南信陽質檢)已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F1且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線的另一條漸近線于P,若點P在以F1F2為直徑的圓外A.(2,+∞)B.(3,2)C.(2,3)D.(1,2.(2023陜西榆林五校期中聯(lián)考)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與圓x2+y2=a2相切,與C的左、右兩支分別交于點A,B,若|AB|=|BF2|A.5+2C.33.(2023浙江A9協(xié)作體期中)已知F1,F2分別是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,O為坐標原點,以F1O為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點A(A在第二象限),射線F1A與雙曲線的另一條漸近線相交于點4.(2023遼寧錦州期中)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),點P在雙曲線C的右支上,滿足PF1·PF2=0,|PF1|>2|PF2|,又直線l:25.(2023浙江湖州中學期中)過雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上的任意一點P作雙曲線兩條漸近線的平行線,分別交兩條漸近線于點M,N,若OM6.設F1,F2為橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線C2:x2a22?y2b22=1(a2>b2>0)的公共焦點,C1與C2在第一象限內交于點M,∠F題組二雙曲線性質的綜合應用7.(2023吉林長春實驗中學期中)已知F1,F2是橢圓與雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且|PF1|>|PF2|,線段PF1的垂直平分線過F2,若橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,則2e1+e2A.6B.3C.6D.38.(2023江西臨川一中期中)已知雙曲線Γ:y2a2?x2b2=1(a>b>0)的上焦點為F(0,c)(c>0),M是雙曲線下支上的一點,線段MF與圓x2+y2-2c3y+a29=0相切于點A.4x±y=0B.x±4y=0C.2x±y=0D.x±2y=09.(多選題)(2023河南許平汝名校期中聯(lián)考)已知F1,F2分別是雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1作傾斜角為π3的直線分別交y軸、雙曲線的右支于點M,P,且|MP|=|A.∠F1PF2=πB.E的離心率等于2+3C.△PF1F2的內切圓半徑一定是3-1D.雙曲線漸近線的方程為y=±2x10.(多選題)(2023江蘇南通期中)已知雙曲線C:x2-y23=1,C的兩條漸近線分別為l1,l2,P為C右支上任意一點,它到l1,l2的距離分別為d1,d2,到右焦點F的距離為d3,則(A.d1的取值范圍為3B.d3的取值范圍為[2,+∞)C.d1+d2的取值范圍為[3,+∞)D.d1+d3的取值范圍為[3,+∞)11.已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的焦點在圓O:x2+y2=26上,圓O與雙曲線C的漸近線在第一、四象限分別交于P,Q兩點,點E(a,0)滿足EP+EQ=?答案與分層梯度式解析第三章圓錐曲線的方程3.2.2雙曲線的簡單幾何性質第1課時雙曲線的簡單幾何性質基礎過關練1.B2.A3.A4.B5.C6.C7.A10.C11.B12.D13.D14.A1.B2.A雙曲線方程化為標準形式為y2-x2?1m=1,則a2=1,b2=-1m.3.A設等軸雙曲線的方程為x2a2?y2a2=1(a>0).在直線3x-4y+12=0中,令y=0,得x=-4,∴等軸雙曲線的一個焦點坐標為(-4,0),∴c=4,∴a2=12c2=14.B甲:2a=43,故a=23;乙:2b=2,故b=1;丙:2c=8,故c=4;丁:e=ca=233,故c=233a.綜合四個結論,可知甲、丙、丁三者的結論同時成立,此時b5.C因為雙曲線的一條漸近線方程為y=3x,所以可以設此雙曲線的方程為y23-x2=λ,λ≠又雙曲線過點(2,3),故323-22=λ,解得λ=-1,所以雙曲線的方程為y23-x2=-1,即x2-6.C由題意設雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),因為雙曲線C的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x212+y27.A由題易得雙曲線C的漸近線方程為y=±bax,其中過第一、三象限的漸近線的方程為y=bax,其斜率為ba.設|MF1|=s,|MF2|=t,由2|MF1|=3|MF2|,可得2s=3因為M在雙曲線的右支上,所以根據(jù)雙曲線的定義可知s-t=2a②,由①②解得s=6a,t=4a.由于M在雙曲線的右支上,所以|MF1|=6a≥a+c,即5a≥c,兩邊平方得25a2≥c2,又c2=a2+b2,所以24a2≥b2,即b2a2≤24,所以ba∈(0,268.答案1解析由雙曲線方程x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)可得漸近線方程為y=±bax,所以ba=9.解析設雙曲線C的方程為x29?y216=將(-3,23)代入雙曲線方程,解得λ=14所以雙曲線的方程為4x2易得雙曲線4x29?y24=1的一個焦點坐標為52,0,一條漸近線方程為由雙曲線的對稱性知一個焦點到一條漸近線的距離是109+16=210.C由雙曲線x24?y23=1可知,a2=4,b2=3,所以c2=a2+b2=7,11.B由題意可得a=2,一條漸近線方程為bx+ay=0.設雙曲線的右焦點為F(c,0),則|bc|a2+b2=|bc|c=3,所以b=3,所以c12.D由題意得,漸近線y=bax與y軸的夾角為30°,則其傾斜角為60°,故其斜率為3,所以b所以C的離心率e=ca=1+13.D易得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,雙曲線的漸近線方程為y=±bax,不妨設漸近線PQ的方程為y=bax,其與圓在第一象限的交點為聯(lián)立y=bax,x2+y2=c2,解得x=a,y=b,或x=?a,y=?∴由∠PAQ=3π4得∠PAF2=π4,∴tan∠PAF2=1=kPA=b?0a+a,∴b=2a,∴c2-a2=b2=4a2,∴c2=5a2,14.A由題知|F1F2|=2c,點F1到漸近線y=±abx的距離d=bca2+b2=b.由雙曲線的定義可得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF2|=|MF1|+2a,則|MD|+|MF2|=|MD|+|MF1|+2a的最小值為d+2a=2a+b,由|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,得|MD|+|MF2|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c,即b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-815.解析不妨設過F1的直線AB與漸近線y=-bax垂直,則直線AB:y=ab(x+聯(lián)立y=?聯(lián)立y所以Ba2又F1B=3AF1,所以yB=-3所以3(a2-b2)=c2,又b2=c2-a2,所以3a2=2c2,所以e=ca16.解析在△PF1F2中,由正弦定理得PF2|sin∠所以3c·|PF2|=a·|PF1|,又|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a又P為雙曲線右支上一點,所以|PF2|>c-a,即2a23c?a>c-a,化簡可得3c2-4即3e2-4e-1<0,解得2?73<e<2+73.又e>1,能力提升練1.A2.A7.C8.D9.AB10.CD1.A由題得F1(-c,0),雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax,不妨設過點F1且與雙曲線的一條漸近線平行的直線方程為y=ba(x+c),與漸近線方程y=-bax聯(lián)立,可得P?c2,bc2a,由點P在以線段F1F2為直徑的圓外,可得?c22+bc2a2>c2,所以b2.A不妨設A,B在x軸上方,由|AB|=|BF2|,得|AF1|=|BF1|-|BA|=|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF2|=|AF1|+2a=4a,因為直線BF1與圓x2+y2=a2相切,所以sin∠AF1O=ac,所以cos∠AF1O=b在△AF1F2中,由余弦定理的推論得cos∠AF1O=(2a化簡得c2-3a2=2ab,所以b2-2a2-2ab=0,即ba2?2b于是e=ca3.答案2解析由題意得F1A⊥AO,過點A作AM⊥x軸于點M,過點B作BN⊥x軸于點N,如圖.因為S△BOF2=2S△AOF1,|OF1|=|OF2|,所以|BN|=2|AM|,故|F1B|=2|F1易得△OBF1是等腰三角形,所以|OB|=|OF1|=c,點F1(-c,0)到漸近線y=-bax的距離為|F1A|=bca1+?ba2=b,由漸近線的對稱性可知∠AOM=∠BON,又AM⊥x軸,BN⊥x軸,所以△AOM∽△BON,故|OA||OB|=|AM||BN|=12,即a4.答案13解析因為PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,由題意及雙曲線的定義可得|PF1在△PF1F2中,由勾股定理知(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,整理得,(|PF2|+a)2=2c2-a2,又|PF1|>2|PF2|,故2a+|PF2|>2|PF2|,即|PF2|<2a,故|PF2|+a<3a,故2c2-a2<9a2,可得-5<由直線l:2x+3y-2c=0與雙曲線C的左、右兩支各交于一點,得直線l的斜率-23所以e=ca=1+b5.答案1,解析易得雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為bx±ay=0設點P(x0,y0),則過點P且與兩條漸近線平行的直線方程為y-y0=±ba(x-x0聯(lián)立y聯(lián)立y不妨設Mbx0+a所以OM·因為x02a2?y02b2=1,所以OM·ON=a2?所以b2a2≤12,故離心率e=ca=1+所以雙曲線離心率的取值范圍為1,66.解析由橢圓及雙曲線的定義得|MF1|+|MF2|=2a1,|MF1|-|MF2|=2a2,解得|MF1|=a1+a2,|MF2|=a1-a2.因為∠F1MF2=90°,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即a12+a22=2c因為e1∈34,223,所以e12∈916,89,1e因為a2>b2,所以b2a2<1,所以e2=ca2=1+b2a22<故雙曲線C2的離心率e2的取值范圍為2147.C設橢圓的長軸長為2a1(a1>0),雙曲線的實軸長為2a2(a2>0),由題意可知|F1F2|=|F2P|=2c,不妨設點P在第一象限,如圖,由橢圓及雙曲線的定義得|F1P|+|F2P|=2a1,|F1P|-|F2P|=2a2,∴|F1P|+2c=2a1,|F1P|-2c=2a2,兩式相減,可得a1-a2=2c,∵2e∴2e1+e22=4(2c+a2)a2+c22ca2=8.D由x2+y2-2c則該圓的圓心坐標為0,c3,半徑為b3,記設切點D(x0,y0)(y0>0),可知DF⊥CD,則x解得x0=b3由|MF|=3|DF|,得MF=3即0?故Mb3將M的坐標代入雙曲線方程y2a2?x2b2=1(a>0,b>0),結合c2=a2+∴雙曲線Γ的漸近線方程為x±2y=0,故選D.9.AB由題易知M,O(坐標原點)分別是PF1,F1F2的中點,所以在△PF1F2中,PF2∥MO,所以PF2⊥x軸.對于A,因為直線PF1的傾斜角為π3,所以∠F1PF2=π6,對于B,在Rt△PF1F2中,|F1