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文檔簡介
★啟用前注意保密
2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試
數(shù)學(xué)
本試卷共5頁,22小題,滿分150分??荚囉脮r120分鐘。
注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的市(縣、區(qū))、學(xué)校、班級、姓名、考場號、座
位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼
粘貼處”。
2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項(xiàng)
的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不
能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目
指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先畫掉原來的答案,然后再寫上新答案;
不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。
4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。
一.選擇題(共8小題,滿分40分,每小題5分)
1.(5分)z=窗為純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位),則|z|為()
A.1B.2C.3D.4
2.(5分)已知集合4={x|)=〉81-3FxGN},B={x\-\<x<4],則集合ACB中元素的
個數(shù)為()
A.2B.3C.4D.5
3.(5分)某高校組織若干名學(xué)生參加自主招生考試(滿分150分),學(xué)生成績的頻率分布
直方圖如圖所示,分組區(qū)間為[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),
[130,140),[140,150],其中mb,c成等差數(shù)列且c=2/該高校擬以成績的中位數(shù)
作為分?jǐn)?shù)線來確定進(jìn)入面試階段學(xué)生名單,根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)入該校面試的分?jǐn)?shù)線
為()
A.117B.118C.119D.120
4.(5分)已知單位向量%甘的夾角為60°,證一。與了垂直,則k的值為()
第1頁共20頁
n
5.(5分)將函數(shù)/(x)=2sin(3x+(p)的圖象向右平移石個單位長度,得到函數(shù)g(x)的
圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則<p的最小正值為()
7171TC57r
A.—B.-C?-D.—
124312
6.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線,=2),的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,則點(diǎn)尸到
準(zhǔn)線/的距離為()
1
A.-B.1C.2D.4
2
7.(5分)已知定義在R上的奇函數(shù)g(x),導(dǎo)函數(shù)為9(犬),且當(dāng)x20時,(%)>1,
若關(guān)于x的不等式g(仇》)-9(。一])>仇X-(〃一1)恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()
11
A.[0,1]B.(0,力C.g,+oo)D.(-8,1]
8.(5分)某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級,主要是軟件程序中的某序列A={m,。2,6/3,
…}進(jìn)行重新編輯,重新編輯后的新序列為A*=仔,¥,善,…},它的第幾項(xiàng)為
ala2a3
—.若序列(A*)*的所有項(xiàng)都是2,且45=1,46=32,則m等于()
而
1111
A.-----B.-----C.-------D.-------
51225620481024
二.多選題(共4小題,滿分20分,每小題5分)
9.(5分)若10"=4,10〃=25,則()
A.a+b=2B.b-a—1C.ab>Slg22D.b-a>lg6
10.(5分)給出下列四個關(guān)于圓錐曲線的命題,真命題的有()
A.設(shè)A,8為兩個定點(diǎn),%為非零常數(shù),||網(wǎng)-|P例=因,則動點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線
B.過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動弦AB,則弦A3的中點(diǎn)P的軌跡為橢圓
C.方程2?-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
y2
D.雙曲線f一二=1與橢圓:+尸=1有相同的焦點(diǎn)
25935?
II.(5分)如圖,在邊長為4的正三角形ABC中,D,E,尸分別為各邊的中點(diǎn),G,H分
別為QE,A尸的中點(diǎn),將△A8C沿。E,EF,QF折成正四面體P-QEF,則在此正四面
體中,下列說法正確的是()
第2頁共20頁
A
〃
2
A.PG與ZW所成的角的正弦值為§
B.。/與PE成角]
TC
C.G”與尸。所成的角為:
4
V3
D.PG與EF所成角余弦值為二
6
12.(5分)某校實(shí)行選課走班制度,張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科,且其所
選的生物課在8層上,該校周一上午選課走班的課程安排如表所示,張毅選擇三個科目
的課各上一節(jié),另外一節(jié)上自習(xí),則下列說法正確的是()
第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)
地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班
生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班
物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班
物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班
政治1班物理A層3班政治2班政治3班
A.此人有4種選課方式
B.此人有5種選課方式
C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)
D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)
三.填空題(共4小題,滿分20分,每小題5分)
_7LTT
13.(5分)己知a€(0,—),tana=2,貝Ucos(a—了)=.
24------------
14.(5分)曲線y=2x(Zn.r+1)在x=l處的切線方程為.
15.(5分)“一灣如月弦初上,半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中學(xué)
開展暑期社會實(shí)踐活動,學(xué)生通過測量繪制出月牙泉的平面圖,如圖所示.圖中,圓弧
第3頁共20頁
QRT是一個以。點(diǎn)為圓心、QT為直徑的半圓,Q7=60百米.圓弧QST的圓心為尸點(diǎn),
「。=60米,圓弧QRT與圓弧QST所圍成的陰影部分為月牙泉的形狀,則該月牙泉的面
積為平方米.
16.(5分)已知球。是三棱錐P-ABC的外接球,PA=AB=PB=AC=2,CP=2近,點(diǎn)。
是PB的中點(diǎn),且CD=夕,則球。的表面積為
四.解答題(共6小題,滿分70分)
cosB+1
17.(10分)在①cos2B-VSsinB+2=0,②2/?cosC=2a-c,=而而三個條件中
任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,并加以解答.
已知△ABC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,若—,且a,b,c成等差數(shù)列,
則△ABC是否為等邊三角形?若是,寫出證明;若不是,說明理由.
18.(12分)已知數(shù)列{〃”}(a,H0)滿足2(出+窄+第+…+警一粵=鳥(?GN*).
<2V3V九vnri
(1)求數(shù)列{〃”}的通項(xiàng)公式;
q▼1115V2
(2)求證:一+—+???+----<——.
a2a3an+i4
19.(12分)如圖,矩形ABC。中,AB=2,8c=1,E為C£)的中點(diǎn).把△?!£)£■沿AE翻折,
使得平面平面ABCE.
(I)求證:AD±BE;
(II)求BC所在直線與平面OEC所成角的正弦值.
20.(12分)某電子產(chǎn)品加工廠購買配件例并進(jìn)行甲、乙兩道工序處理,若這兩道工序均
處理成功,則該配件加工成型,可以直接進(jìn)入市場銷售;若這兩道工序均處理不成功,
第4頁共20頁
則該配件報(bào)廢;若這兩道工序只有一道工序處理成功,則該配件需要拿到丙部門檢修,
若檢修合格,則該配件可以進(jìn)入市場銷售,若檢修不合格,則該配件報(bào)廢.根據(jù)以往經(jīng)
3
驗(yàn),對于任一配件M,甲、乙兩道工序處理的結(jié)果相互獨(dú)立,且處理成功的概率分別為一,
4
|,丙部門檢修合格的概率為點(diǎn)
(1)求該工廠購買的任一配件M可以進(jìn)入市場銷售的概率;
(2)已知配件例的購買價(jià)格為80元/個,甲、乙兩道工序的處理成本均為8元/個,丙
部門的檢修成本為16元個,若配件M加工成型進(jìn)入市場銷售,售價(jià)可達(dá)200元/個;若
配件M報(bào)廢,則虧損購買成本以及加工成本.若市場大量需求配件M的成型產(chǎn)品,試估
計(jì)該工廠加工5000個配件M的利潤.(利潤=售價(jià)-購買價(jià)格-加工成本)
2X2
21.(12分)已知橢圓Cy^-4--=1(a>b>0)的離心率為5二/2,且橢圓上一點(diǎn)到兩個焦
a2b22
點(diǎn)的距離之和為2a.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)5(-/,0)的動直線/交橢圓C于4、B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存
在一個定點(diǎn)T,使得無論直線/如何轉(zhuǎn)動,以A5為直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在,求出點(diǎn)
7的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
22.(12分)已知函數(shù)/(x)=bvc,g(x)=".
(1)若h(x)=af(x)+|?久2_(〃+1)%求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)不等式向。血(%)+1]N2(%+1)/(x)對于>0恒成立,求實(shí)數(shù)"2的取值范圍.
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2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試
數(shù)學(xué)
參考答案與試題解析
一.選擇題(共8小題,滿分40分,每小題5分)
1.(5分)z=窗為純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位),則|z|為()
A.1B.2C.3D.4
【解生】解.z-”=丘=(aT)QT)_aT—(a+l)ia^l_a+1.
[附口1晰.z-]+,l+j222£,
?;z為純虛數(shù),
a—1a+1
=0,H0,
2------2
故a=1,z=-i,
故|z|=l.
故選:A.
2.(5分)已知集合A={x|產(chǎn)〉81-3工,xGN),B=(x\-l<x<4},則集合AAB中元素的
個數(shù)為()
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:;4={x|3XW81,xeN}=tr|xW4,x6N}={0,1,2,3,4},B={x|-l<x
<4},
...AnB={0,1,2,3},
???AC8中元素的個數(shù)為4.
故選:C.
3.(5分)某高校組織若干名學(xué)生參加自主招生考試(滿分150分),學(xué)生成績的頻率分布
直方圖如圖所示,分組區(qū)間為[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),
[130,140),[140,150],其中a,b,c成等差數(shù)列且c=2a.該高校擬以成績的中位數(shù)
作為分?jǐn)?shù)線來確定進(jìn)入面試階段學(xué)生名單,根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)入該校面試的分?jǐn)?shù)線
為()
第6頁共20頁
?win*
0(04
0030
b----------r-
4I..................■^I
a(XMI—
10B100IIO120IIO140150—at|
A.117B.118C.119D.120
【解答】解:由于〃+b+2c=0.052,a+c=2b,c=2a,
解得。=0.008,8=0.012,c=0.016,
前三個組的頻率之和為0.04+0.12+0.16=0.32,
第四個組的頻率為0.2,
故中位數(shù)為110+需x10=119.
故選:C.
4.(5分)已知單位向量乙,的夾角為60°,人友一%與7垂直,則上的值為()
V3V21
A.2B.—C.——D.—
222
TTT11
【解答】解:..?單位向量a,b的夾角為60°,=1X1XCOS60°=當(dāng)
—TTTIT—TT"
?.,/ca—b與匕垂直,*/Cka—b)?&=k9a-b—b2=—1—0,:?k=2,
故選:A.
7T
5.(5分)將函數(shù)/(x)=2sin(3x+(p)的圖象向右平移石個單位長度,得到函數(shù)g(x)的
圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則(P的最小正值為()
71Tl兀57r
A.—B?—C?—D.—
124312
7T
【解答】解:將函數(shù)/(x)=2sin(3x+(p)的圖象向右平移不個單位長度,
得g(x)=2sin[3(x—+①]=2sin(3x-4+叩),
由函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
T[7T
???一4-(p=Znr,kWZ,<p=Znr4"kWZ,
n
."-tp的最小正值是一.
4
故選:B.
6.(5分)在平面直角坐標(biāo)系X。),中,己知拋物線/=2y的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,則點(diǎn)尸到
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準(zhǔn)線/的距離為()
1
A.-B.1C.2D.4
2
【解答】解:由拋物線f=2y可得〃=1.
???焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離為p.
???焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離為1.
故選:B.
7.(5分)已知定義在R上的奇函數(shù)g(x),導(dǎo)函數(shù)為g1(x),且當(dāng)時,(x)>1,
若關(guān)于x的不等式g(仇%)-g(a-1)>2nx-(〃一》恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()
11
A.[0,1]B.(0,C.[尹+8)D.(-8,1]
【解答】解:令人(x)=g(x)-X,
因?yàn)楫?dāng)x20時,g'(x)>1,
貝!U'(x)=g'(x)-1>0,即力(%)在[0,+8)上單調(diào)遞增,
又g(-x)=-g(x),貝!J力(-x)=g(-x)+x=-g(x)+x=-h(x),即h(x)為
奇函數(shù),
:」7(X)在(-8,+oo)上單調(diào)遞增,
1111
由gUnx)-g(^―-)2和i-(a--)可得g(加x)-bvc2g(?--)-(tz--),
i
即h(Inx)2〃(〃—),
x
所以lnx>a—即a<Inx+-(x>0),
令/(x)=/〃x+13則八x)=Y—g1,
當(dāng)x>l時,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)0<x<l時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
故當(dāng)X=1時,函數(shù)./1(X)=/〃*+]取得最小值1)=1,
故aWL
故選:D.
8.(5分)某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級,主要是軟件程序中的某序列4={例,“2,a3,
…}進(jìn)行重新編輯,重新編輯后的新序列為A*={?,*,察,…},它的第n項(xiàng)為
—.若序列(A*)*的所有項(xiàng)都是2,且45=1,46=32,則ai等于()
an
第8頁共20頁
1111
A.---B.---C.----D.
51225620481024
【解答】解:設(shè)%=q,則序列T={q,2g,2q,23(y,???}
Qi
所以第n項(xiàng)'=2〃%,
an
aa
當(dāng)〃22時,_即...味.].?????3?■2■?
an-l與-2a2al
2q?r3q~..、2q?q?s
=2(〃-2)+(/??3)+…+1+0.0?-1??]
(n-2)(n-l)
n-1
=22?g?a19
將“5=1,46=32,代入上式解得,?[%=盛.
((7=2
故選:D.
二.多選題(共4小題,滿分20分,每小題5分)
9.(5分)若10。=4,106=25,貝IJ()
A.a+h=2B.h-a=\C.ab>SIg22D.h-a>lg6
【解答】解:由10"=4,10。=25,得a=1g4,b=lg25,
則a+b=/gl00=2,b-a=lg=^->lg6,ab=4lg2lg5>4lg2lg4=Slg22,
故選:ACD.
10.(5分)給出下列四個關(guān)于圓錐曲線的命題,真命題的有()
A.設(shè)A,8為兩個定點(diǎn),發(fā)為非零常數(shù),\\PA\-|PB||=W,則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線
B.過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動弦48,則弦AB的中點(diǎn)P的軌跡為橢圓
C.方程2?-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
2V22X乙3
D.雙曲線茜-3=1與橢圓正+尸=1有相同的焦點(diǎn)
【解答】解:對于A:設(shè)A,8為兩個定點(diǎn),設(shè)|AB|=2c,k為非零常數(shù),當(dāng)||別-|P8||
=因,且依8|>因時,則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線,故4錯誤;
對于B:設(shè)定圓的半徑為R,設(shè)點(diǎn)P(x,y),所以點(diǎn)P的軌跡滿足|APF+|OP|2=R2,由
于符合橢圓的定義,故正確;
11
對于C:方程2r2-5x+2=0的兩根為2和一,即橢圓的離心率為一,雙曲線的離心率為2,
22
故C正確;
第9頁共20頁
對于。:雙曲線五一手?=1與橢圓病+尸=1有相同的焦點(diǎn)都為(、國,0)和(一序,0),
故。正確.
故選:BCD.
II.(5分)如圖,在邊長為4的正三角形ABC中,D,E,P分別為各邊的中點(diǎn),G,H,分
別為OE,A尸的中點(diǎn),將△ABC沿DE,EF,。尸折成正四面體P-DEF,則在此正四面
體中,下列說法正確的是()
2
A.PG與。"所成的角的正弦值為,
71
B.DF與PE成角一
2
n
C.G”與PO所成的角為一
4
D.PG與EF所成角余弦值為F
【解答】解:對于A,ZVIBC的邊長為4,折成正四面體P-OEF后,如圖,
':D,E,尸分別為各邊的中點(diǎn),G,,分別為OE,4尸的中點(diǎn),
:.DH1FP,DELGP,
連結(jié)FG,取GF中點(diǎn)M,則HM〃GP,
.?.異面直線PG與DH所成角為NDHM,
■:GP=娼,坐,連結(jié)MO,得。M=春,DH=V3,
(西)2+(劣2一(務(wù)22
cosNDHM=----------------7=-^—=亍,
2xV3x^§
;.PG與QH所成的角的正弦值為:J1—(|)2=亭,故A錯誤;
對于3,正四面體P-OEF中,取QF中點(diǎn)M連結(jié)PN,EN,
則PNJ_DF,ENLDF,,Z)F_L平面PEN,
n
J.DFVPE,...O尸與PE成角5,故B正確;
第10頁共20頁
對于C,連結(jié)GN,HN,則N”〃CP,
.,.異面直線GH與尸。所成的角為NGHM
GH=JGP2-(務(wù)2==V2,GH=HN=1,
cosZGHN=2+,l=噂,/GHN=J,
2x72x124
TT
.??G”與P。所成的角為一,故C正確;
4
對于£>,異面直線PG與EF所成角為/PGM
/“浦PG2+GN2-PN23+1-373.八市旅
cosNPGN=石渤賴”=要反1=行'故。正確.
故選:BCD.
12.(5分)某校實(shí)行選課走班制度,張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科,且其所
選的生物課在8層上,該校周一上午選課走班的課程安排如表所示,張毅選擇三個科目
的課各上一節(jié),另外一節(jié)上自習(xí),則下列說法正確的是()
第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)
地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)4層4班
生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史8層1班
物理4層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班
物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理4層4班
政治1班物理A層3班政治2班政治3班
A.此人有4種選課方式
第11頁共20頁
B.此人有5種選課方式
C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)
D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)
【解答】解:由于生物在B層,只有第2、3節(jié)有課,故分兩類進(jìn)行討論:
若生物選第2節(jié),則地理可選第1節(jié)或第3節(jié),有2種選法,其它兩節(jié)政治、自習(xí)任意
選,故有2X2=4種(此種情況自習(xí)可安排在第1、3、4節(jié)中的某節(jié));
若生物選第3節(jié),則地理只能選第1節(jié),政治只能選第4節(jié),自習(xí)只能選第2節(jié),故有1
種.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得選課方式有4+1=5種,
綜上所述,自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任意一節(jié).
故選:BD.
三.填空題(共4小題,滿分20分,每小題5分)
_7TTT3、10
13.(5分)已知ae(0>一),tana=2,貝!]cos(a—彳)=----.
24—10—
71
【解答】解:VaG(0,—),tana=2,
:.sina=2cosa,
Vsina+cos-a=l,
解得sina=^cosa=電,
TtnV5V22V5V23V10
cos(a—彳)=cosacos-+sinasin-=-x—+x—=----,
444525210
故答案為:察
10
14.(5分)曲線y=2x(阮什1)在x=l處的切線方程為y=4x-2.
【解答】解:y—2x(lnx+1)的導(dǎo)數(shù)為y'—2(X+lnx)+2,
可得曲線y=2x(歷x+1)在x=l處的切線斜率為&=4,切點(diǎn)為(1,2),
則曲線y=2x(lnx+1)在x=l處的切線方程為y-2=4(x-1),即為y=4x-2.
故答案為:y—4.r-2.
15.(5分)“一灣如月弦初上,半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中學(xué)
開展暑期社會實(shí)踐活動,學(xué)生通過測量繪制出月牙泉的平面圖,如圖所示.圖中,圓弧
QRT是一個以。點(diǎn)為圓心、QT為直徑的半圓,QT=60百米.圓弧Q5T的圓心為P點(diǎn),
PQ=60米,圓弧。RT與圓弧QST所圍成的陰影部分為月牙泉的形狀,則該月牙泉的面
第12頁共20頁
積為1507r+9008平方米.
0
【解答】解:連接PO,可得
因?yàn)閟in/QPO=^,
所以NQPO=5,NQPT=等,
所以月牙泉的面積為S=2x兀x(30V3)2-(-x602-^x602x*)
150TT+900V3(¥
2322
方米).
故答案為:l50n+90()V3.
16.(5分)已知球。是三棱錐P-A8C的外接球,PA=AB=PB=AC=2,CP=2V2,點(diǎn)D
287r
是PB的中點(diǎn),且CD=?,則球。的表面積為一.
—3-
【解答】解:由PA=AB=PB=AC=2,CP=2?得PAVAC.
由點(diǎn)。是尸8的中點(diǎn)及%=AB=PB,
求得4£>=我,XCD=V7,
:.AD2+AC2=CD2,WADLAC,
又A。。A尸=A且A。,APu平面必B,
;.AC_L平面PAB.
球心O到底面△以8的距離d=夕C=1,
由正弦定理得△以B的外接圓半徑片忐幣=W=竽,
第13頁共20頁
,球0的半徑為R-Vd2+r2=Jl+,=J1,
.?.球O的表面積為S=4TTR2=4兀x,=竽.
四.解答題(共6小題,滿分70分)
cosB+1
17.(10分)在①cos2B—WsiMB+2=0,(2)2bcosC—2a-c,(3)—=三個條件中
>/3sinA
任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,并加以解答.
已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是小b,c,若,且a,b,c成等差數(shù)列,
則aABC是否為等邊三角形?若是,寫出證明;若不是,說明理由.
【解答】解:選①
Vcos2B=1-2sin2B,
.,.2sin2B+V3sinB-3=0,
即(2sinB-V3)(sinB+V3)=0,解得sinB=-百(舍去)或sinB=
TT27r
V0<B<n,.,?B=縈或-p
又?:a,b,c成等差數(shù)列,.,.2Z?=4+c,不是三角形中最大的邊,
即8=J,
由b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2-2ac=0,即a=c,
故AABC是等邊三角形.
選②
由正弦定理可得2sinBcosC=2sirb4-sinC,
故2sinBcosC=2sin(3+C)-sinC,
整理得2cosBsinC-sinC=0.
第14頁共20頁
VO<C<IT,AsinOO,即cosB=子
V0<B<TT,:.B=1,
又':a,b,c成等差數(shù)列,?,.ZhuQ+c,
由余弦定理房=。2+。2-2accos8,可得。2+c?-2ac=0,即。=c,
故△ABC是等邊三角形.
選③
sinBcosB+1
由正弦定理得
sinAy[3sinA
VsinA^O,/.V3sinB-cosB=1,
即sin(B—看)=2,
V0<B<n,/.-1<S-1
即8_左=l,可得B
ooJ=3,
由余弦定理即b2=cr+c2-2accosB,可得a2+c2-24c=0,可得a=c,
故△48。是等邊三角形.
故答案為:①.
18.(12分)已知數(shù)列{即}1K0)滿足2(%+患+患+…+微一用=詈(?GN*).
(1)求數(shù)列{念}的通項(xiàng)公式;
八―1115>/2
(2)求證:——+——+…+----V----.
a2a3an+i4
【解答】解:(1)數(shù)列{a〃}(〃"W0)滿足2(%+黃+患+…+瑞)—留①,
2
當(dāng)〃》2時,2a+貴+詈+.??+招)—相=蜉②,
22
①-②,得誓+隼3—%!-=(隼)2—(萼)2,
1y/riTi7i_1y/nVn-T
化簡,得隼一萼=1(常數(shù)),
7nVn-1
當(dāng)n=\時,解得m=l,
所以數(shù)列{里}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
7n
所以an=nVn.
,,曰11221
(2)由(1)得----=-------=------------,<—,------------產(chǎn)=2(-7=-
an+1(n+l)yn+l2(n+l)Vn+lnyjri+l+(n+l)y/ny/n
第15頁共20頁
1
.)>
yjn+1
1111111111
所以—+-+…+---V南+2(/飛+石—赤+…+赤一幅)
。2a3an+l
__二』逗
4+M-4.
19.(12分)如圖,矩形A3CQ中,AB=2,BC=\,E為CO的中點(diǎn).把△AOE沿AE翻折,
使得平面AQE_L平面ABCE.
(I)求證:AD±BE;
(II)求所在直線與平面。EC所成角的正弦值.
【解答】(I)證明:因?yàn)槠矫鍭OE1.平面A8CE,平面AOEA平面A8CE=AE,
又因?yàn)锽E_LAE,所以BELL平面D4E,
因?yàn)锳Ou平面DAE,所以BEA.AD,
故AD_L8£
(H)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,各點(diǎn)坐標(biāo)如下:
11
E(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D(-,),
22'
11V2T1_3
EC=(0,1,0),ED=(-,二,),BD=(—2,),
222~2,
設(shè)平面DEC的法向量為蔡=(X,y,z)
EC-n=y=0
,令x=-V2,n=(—V2,0,1),
ED-n=^x+^y+^-z=0
TT___
\BD-n\V2V2
所以BD所在直線與平面OEC所成角的正弦值為二二=寸行=—
|BD||n|73733
第16頁共20頁
20.(12分)某電子產(chǎn)品加工廠購買配件M并進(jìn)行甲、乙兩道工序處理,若這兩道工序均
處理成功,則該配件加工成型,可以直接進(jìn)入市場銷售;若這兩道工序均處理不成功,
則該配件報(bào)廢;若這兩道工序只有一道工序處理成功,則該配件需要拿到丙部門檢修,
若檢修合格,則該配件可以進(jìn)入市場銷售,若檢修不合格,則該配件報(bào)廢.根據(jù)以往經(jīng)
驗(yàn),對于任一配件M,甲、乙兩道工序處理的結(jié)果相互獨(dú)立,且處理成功的概率分別為之,
4
21
丙部門檢修合格的概率為1
(1)求該工廠購買的任一配件M可以進(jìn)入市場銷售的概率;
(2)已知配件歷的購買價(jià)格為80元/個,甲、乙兩道工序的處理成本均為8元/個,丙
部門的檢修成本為16元個,若配件M加工成型進(jìn)入市場銷售,售價(jià)可達(dá)200元/個;若
配件M報(bào)廢,則虧損購買成本以及加工成本.若市場大量需求配件M的成型產(chǎn)品,試估
計(jì)該工廠加工5000個配件M的利潤.(利潤=售價(jià)-購買價(jià)格-加工成本)
【解答】解:(1)記任一配件M加工成型可進(jìn)入市場銷售為事件A,甲、乙兩道工序分
別處理成功為事件B,C,丙部門檢修合格為事件/),
P(A)=P(BC)+P(BCD)+P(BCO)=/告+(1—標(biāo))x^x5+^x(1—金x/務(wù)
(2)設(shè)加工5000個配件M的利潤為匕加工一個配件M的利潤為X,則y=5000X,
由題意可知X的取值為104,8,-96,-112,
321
P(X=104)=7X3=4,
175
P(X=88)=去一尸(X=104)=8,
391
P(X=-96)=(1-4)乂(1一子=豆,
3213215
P(X=-112)+=
所以X的分布列為:
X10488-96-112
第17頁共20頁
1515
P,一’
2241224
E(/X)、=104x?1+88x/5-96x式1一112x^5=39,
E(H=E(5000X)=5000E(X)=195000.
估計(jì)該工廠加工5000個配件M的利潤為195000元.
V”好M2
21.(12分)已知橢圓C+—=1(a>b>0)的離心率為7且橢圓上一點(diǎn)到兩個焦
a2b22
點(diǎn)的距離之和為2位.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)S(-土0)的動直線/交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存
在一個定點(diǎn)T,使得無論直線/如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)7?若存在,求出點(diǎn)
7的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【解答】解:(1)由橢圓定義可得2a=2戊,貝ija=&
又橢圓C的離心率為e=:=¥,...c=l,
則b=y/a2—c2—1
y2
因此,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+x29=1
2
(2)當(dāng)直線/不與x軸重合時,可設(shè)直線/的方程為x=my-
設(shè)點(diǎn)A(xi,y\),B(32,yi)
考慮直線
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