2021年廣東省清遠(yuǎn)市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

★啟用前注意保密

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級、姓名、考場號、座

位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先畫掉原來的答案,然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）z=窗為純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則|z|為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（5分）已知集合4={x|）=〉81-3FxGN},B={x\-\<x<4],則集合ACB中元素的

個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（5分）某高校組織若干名學(xué)生參加自主招生考試（滿分150分），學(xué)生成績的頻率分布

直方圖如圖所示，分組區(qū)間為[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,

[130,140）,[140,150],其中mb,c成等差數(shù)列且c=2/該高校擬以成績的中位數(shù)

作為分?jǐn)?shù)線來確定進(jìn)入面試階段學(xué)生名單，根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)入該校面試的分?jǐn)?shù)線

為（）

A.117B.118C.119D.120

4.（5分）已知單位向量％甘的夾角為60°,證一。與了垂直，則k的值為（）

第1頁共20頁

n

5.（5分）將函數(shù)/（x）=2sin（3x+（p）的圖象向右平移石個單位長度，得到函數(shù)g（x）的

圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則＜p的最小正值為（）

7171TC57r

A.—B.-C?-D.—

124312

6.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線，=2），的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,則點(diǎn)尸到

準(zhǔn)線/的距離為（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

7.（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)g（x）,導(dǎo)函數(shù)為9（犬），且當(dāng)x20時，（%）＞1,

若關(guān)于x的不等式g（仇》）-9（。一］）＞仇X-（〃一1）恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

11

A.[0,1]B.（0,力C.g,+oo）D.（-8,1]

8.（5分）某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級，主要是軟件程序中的某序列A=｛m,。2,6/3,

…｝進(jìn)行重新編輯，重新編輯后的新序列為A*=仔，￥，善，…｝，它的第幾項(xiàng)為

ala2a3

—.若序列（A*）*的所有項(xiàng)都是2,且45=1,46=32,則m等于（）

而

1111

A.-----B.-----C.-------D.-------

51225620481024

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）若10"=4,10〃=25,則（）

A.a+b=2B.b-a—1C.ab>Slg22D.b-a>lg6

10.（5分）給出下列四個關(guān)于圓錐曲線的命題，真命題的有（）

A.設(shè)A,8為兩個定點(diǎn)，%為非零常數(shù)，||網(wǎng)-|P例=因，則動點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

B.過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動弦AB,則弦A3的中點(diǎn)P的軌跡為橢圓

C.方程2?-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率

y2

D.雙曲線f一二=1與橢圓:+尸=1有相同的焦點(diǎn)

25935?

II.（5分）如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D,E,尸分別為各邊的中點(diǎn)，G,H分

別為QE,A尸的中點(diǎn)，將△A8C沿。E,EF,QF折成正四面體P-QEF,則在此正四面

體中，下列說法正確的是（）

第2頁共20頁

A

〃

2

A.PG與ZW所成的角的正弦值為§

B.。/與PE成角］

TC

C.G”與尸。所成的角為:

4

V3

D.PG與EF所成角余弦值為二

6

12.（5分）某校實(shí)行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，且其所

選的生物課在8層上，該校周一上午選課走班的課程安排如表所示，張毅選擇三個科目

的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說法正確的是（）

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)

地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班

生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.此人有4種選課方式

B.此人有5種選課方式

C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)

D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

_7LTT

13.（5分）己知a€（0,—）,tana=2,貝Ucos（a—了）=.

24------------

14.（5分）曲線y=2x（Zn.r+1）在x=l處的切線方程為.

15.（5分）“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中學(xué)

開展暑期社會實(shí)踐活動，學(xué)生通過測量繪制出月牙泉的平面圖，如圖所示.圖中，圓弧

第3頁共20頁

QRT是一個以。點(diǎn)為圓心、QT為直徑的半圓，Q7=60百米.圓弧QST的圓心為尸點(diǎn)，

「。=60米，圓弧QRT與圓弧QST所圍成的陰影部分為月牙泉的形狀，則該月牙泉的面

積為平方米.

16.(5分)已知球。是三棱錐P-ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=2,CP=2近，點(diǎn)。

是PB的中點(diǎn)，且CD=夕，則球。的表面積為

四.解答題(共6小題，滿分70分)

cosB+1

17.（10分）在①cos2B-VSsinB+2=0,②2/?cosC=2a-c,=而而三個條件中

任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.

已知△ABC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,若—，且a,b,c成等差數(shù)列,

則△ABC是否為等邊三角形？若是，寫出證明；若不是，說明理由.

18.(12分)已知數(shù)列｛〃”｝(a,H0)滿足2(出+窄+第+…+警一粵=鳥(?GN*).

<2V3V九vnri

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

q▼1115V2

(2)求證：一+—+???+----<——.

a2a3an+i4

19.(12分)如圖，矩形ABC。中，AB=2,8c=1,E為C￡)的中點(diǎn).把△?!￡)￡■沿AE翻折,

使得平面平面ABCE.

(I)求證：AD±BE；

(II)求BC所在直線與平面OEC所成角的正弦值.

20.(12分)某電子產(chǎn)品加工廠購買配件例并進(jìn)行甲、乙兩道工序處理，若這兩道工序均

處理成功，則該配件加工成型，可以直接進(jìn)入市場銷售；若這兩道工序均處理不成功，

第4頁共20頁

則該配件報(bào)廢；若這兩道工序只有一道工序處理成功，則該配件需要拿到丙部門檢修，

若檢修合格，則該配件可以進(jìn)入市場銷售，若檢修不合格，則該配件報(bào)廢.根據(jù)以往經(jīng)

3

驗(yàn)，對于任一配件M,甲、乙兩道工序處理的結(jié)果相互獨(dú)立，且處理成功的概率分別為一，

4

|,丙部門檢修合格的概率為點(diǎn)

(1)求該工廠購買的任一配件M可以進(jìn)入市場銷售的概率；

(2)已知配件例的購買價(jià)格為80元/個，甲、乙兩道工序的處理成本均為8元/個，丙

部門的檢修成本為16元個，若配件M加工成型進(jìn)入市場銷售，售價(jià)可達(dá)200元/個；若

配件M報(bào)廢，則虧損購買成本以及加工成本.若市場大量需求配件M的成型產(chǎn)品，試估

計(jì)該工廠加工5000個配件M的利潤.(利潤=售價(jià)-購買價(jià)格-加工成本)

2X2

21.(12分)已知橢圓Cy^-4--=1(a>b>0)的離心率為5二/2,且橢圓上一點(diǎn)到兩個焦

a2b22

點(diǎn)的距離之和為2a.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)5(-/，0)的動直線/交橢圓C于4、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存

在一個定點(diǎn)T，使得無論直線/如何轉(zhuǎn)動，以A5為直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在，求出點(diǎn)

7的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=bvc,g(x)=".

(1)若h(x)=af(x)+|?久2_(〃+1)%求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)不等式向。血(%)+1]N2(%+1)/(x)對于>0恒成立，求實(shí)數(shù)"2的取值范圍.

第5頁共20頁

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試

數(shù)學(xué)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）z=窗為純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則|z|為（）

A.1B.2C.3D.4

【解生】解.z-”=丘=（aT）QT）_aT—（a+l）ia^l_a+1.

[附口1晰.z-]+，l+j222￡,

?；z為純虛數(shù)，

a—1a+1

=0,H0,

2------2

故a=1,z=-i,

故|z|=l.

故選：A.

2.（5分）已知集合A={x|產(chǎn)〉81-3工,xGN）,B=（x\-l<x<4},則集合AAB中元素的

個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：；4={x|3XW81,xeN}=tr|xW4,x6N}={0,1,2,3,4},B={x|-l<x

<4},

...AnB={0,1,2,3},

???AC8中元素的個數(shù)為4.

故選：C.

3.（5分）某高校組織若干名學(xué)生參加自主招生考試（滿分150分），學(xué)生成績的頻率分布

直方圖如圖所示，分組區(qū)間為[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,

[130,140）,[140,150],其中a,b,c成等差數(shù)列且c=2a.該高校擬以成績的中位數(shù)

作為分?jǐn)?shù)線來確定進(jìn)入面試階段學(xué)生名單，根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)入該校面試的分?jǐn)?shù)線

為（）

第6頁共20頁

?win*

0（04

0030

b----------r-

4I..................■^I

a（XMI—

10B100IIO120IIO140150—at|

A.117B.118C.119D.120

【解答】解：由于〃+b+2c=0.052,a+c=2b,c=2a,

解得。=0.008,8=0.012,c=0.016,

前三個組的頻率之和為0.04+0.12+0.16=0.32,

第四個組的頻率為0.2,

故中位數(shù)為110+需x10=119.

故選：C.

4.（5分）已知單位向量乙，的夾角為60°,人友一%與7垂直，則上的值為（）

V3V21

A.2B.—C.——D.—

222

TTT11

【解答】解：..?單位向量a,b的夾角為60°,=1X1XCOS60°=當(dāng)

—TTTIT—TT"

?.,/ca—b與匕垂直，*/Cka—b）?&=k9a-b—b2=—1—0,:?k=2,

故選：A.

7T

5.(5分)將函數(shù)/(x)=2sin(3x+(p)的圖象向右平移石個單位長度，得到函數(shù)g(x)的

圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則(P的最小正值為()

71Tl兀57r

A.—B?—C?—D.—

124312

7T

【解答】解：將函數(shù)/(x)=2sin(3x+(p)的圖象向右平移不個單位長度，

得g(x)=2sin[3(x—+①]=2sin(3x-4+叩)，

由函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

T[7T

???一4-(p=Znr,kWZ,<p=Znr4"kWZ,

n

."-tp的最小正值是一.

4

故選：B.

6.(5分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，己知拋物線/=2y的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,則點(diǎn)尸到

第7頁共20頁

準(zhǔn)線/的距離為()

1

A.-B.1C.2D.4

2

【解答】解：由拋物線f=2y可得〃=1.

???焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離為p.

???焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離為1.

故選：B.

7.(5分)已知定義在R上的奇函數(shù)g(x),導(dǎo)函數(shù)為g1(x),且當(dāng)時，(x)>1,

若關(guān)于x的不等式g(仇%)-g(a-1)>2nx-(〃一》恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

11

A.[0,1]B.(0,C.[尹+8)D.(-8,1]

【解答】解：令人(x)=g(x)-X,

因?yàn)楫?dāng)x20時，g'(x)>1,

貝!U'(x)=g'(x)-1>0,即力(%)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(-x)=-g(x),貝！J力(-x)=g(-x)+x=-g(x)+x=-h(x),即h(x)為

奇函數(shù)，

：」7(X)在(-8,+oo)上單調(diào)遞增，

1111

由gUnx)-g(^―-)2和i-(a--)可得g(加x)-bvc2g(?--)-(tz--),

i

即h(Inx)2〃(〃—)，

x

所以lnx>a—即a<Inx+-(x>0),

令/(x)=/〃x+13則八x)=Y—g1，

當(dāng)x>l時，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<l時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)X=1時，函數(shù)./1(X)=/〃*+]取得最小值1)=1,

故aWL

故選：D.

8.(5分)某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級，主要是軟件程序中的某序列4=｛例，“2,a3,

…｝進(jìn)行重新編輯，重新編輯后的新序列為A*=｛?，*，察，…｝，它的第n項(xiàng)為

—.若序列(A*)*的所有項(xiàng)都是2,且45=1,46=32,則ai等于()

an

第8頁共20頁

1111

A.---B.---C.----D.

51225620481024

【解答】解：設(shè)%=q,則序列T={q,2g,2q,23(y,???}

Qi

所以第n項(xiàng)'=2〃％,

an

aa

當(dāng)〃22時,_即...味.].?????3?■2■?

an-l與-2a2al

2q?r3q~..、2q?q?s

=2(〃-2)+(/??3)+…+1+0.0?-1??]

(n-2)(n-l)

n-1

=22?g?a19

將“5=1,46=32,代入上式解得，?[%=盛.

((7=2

故選：D.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)若10。=4,106=25,貝IJ()

A.a+h=2B.h-a=\C.ab>SIg22D.h-a>lg6

【解答】解：由10"=4,10。=25,得a=1g4,b=lg25,

則a+b=/gl00=2,b-a=lg=^->lg6,ab=4lg2lg5>4lg2lg4=Slg22,

故選：ACD.

10.（5分）給出下列四個關(guān)于圓錐曲線的命題，真命題的有（）

A.設(shè)A,8為兩個定點(diǎn)，發(fā)為非零常數(shù)，\\PA\-|PB||=W，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

B.過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動弦48,則弦AB的中點(diǎn)P的軌跡為橢圓

C.方程2?-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率

2V22X乙3

D.雙曲線茜-3=1與橢圓正+尸=1有相同的焦點(diǎn)

【解答】解：對于A：設(shè)A,8為兩個定點(diǎn)，設(shè)|AB|=2c,k為非零常數(shù)，當(dāng)||別-|P8||

=因，且依8|＞因時，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，故4錯誤；

對于B：設(shè)定圓的半徑為R,設(shè)點(diǎn)P（x,y）,所以點(diǎn)P的軌跡滿足|APF+|OP|2=R2,由

于符合橢圓的定義，故正確；

11

對于C：方程2r2-5x+2=0的兩根為2和一，即橢圓的離心率為一，雙曲線的離心率為2,

22

故C正確;

第9頁共20頁

對于。:雙曲線五一手?=1與橢圓病+尸=1有相同的焦點(diǎn)都為（、國，0）和（一序，0）,

故。正確.

故選：BCD.

II.（5分）如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D,E,P分別為各邊的中點(diǎn)，G,H，分

別為OE,A尸的中點(diǎn)，將△ABC沿DE,EF,。尸折成正四面體P-DEF,則在此正四面

體中，下列說法正確的是（）

2

A.PG與。"所成的角的正弦值為,

71

B.DF與PE成角一

2

n

C.G”與PO所成的角為一

4

D.PG與EF所成角余弦值為F

【解答】解：對于A,ZVIBC的邊長為4,折成正四面體P-OEF后，如圖,

'：D,E,尸分別為各邊的中點(diǎn)，G,，分別為OE,4尸的中點(diǎn)，

：.DH1FP,DELGP,

連結(jié)FG,取GF中點(diǎn)M,則HM〃GP,

.?.異面直線PG與DH所成角為NDHM,

■:GP=娼,坐，連結(jié)MO,得。M=春，DH=V3,

（西）2+（劣2一（務(wù)22

cosNDHM=----------------7=-^—=亍，

2xV3x^§

；.PG與QH所成的角的正弦值為：J1—（|）2=亭,故A錯誤；

對于3,正四面體P-OEF中，取QF中點(diǎn)M連結(jié)PN,EN,

則PNJ_DF,ENLDF,，Z）F_L平面PEN,

n

J.DFVPE,...O尸與PE成角5，故B正確；

第10頁共20頁

對于C,連結(jié)GN,HN,則N”〃CP,

.,.異面直線GH與尸。所成的角為NGHM

GH=JGP2-（務(wù)2==V2,GH=HN=1,

cosZGHN=2+,l=噂，/GHN=J,

2x72x124

TT

.??G”與P。所成的角為一，故C正確；

4

對于￡＞，異面直線PG與EF所成角為/PGM

/“浦PG2+GN2-PN23+1-373.八市旅

cosNPGN=石渤賴”=要反1=行'故。正確.

故選：BCD.

12.（5分）某校實(shí)行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，且其所

選的生物課在8層上，該校周一上午選課走班的課程安排如表所示，張毅選擇三個科目

的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說法正確的是（）

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)

地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)4層4班

生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史8層1班

物理4層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理4層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.此人有4種選課方式

第11頁共20頁

B.此人有5種選課方式

C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)

D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

【解答】解：由于生物在B層，只有第2、3節(jié)有課，故分兩類進(jìn)行討論：

若生物選第2節(jié)，則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，其它兩節(jié)政治、自習(xí)任意

選，故有2X2=4種（此種情況自習(xí)可安排在第1、3、4節(jié)中的某節(jié)）；

若生物選第3節(jié)，則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié)，自習(xí)只能選第2節(jié)，故有1

種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得選課方式有4+1=5種，

綜上所述，自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任意一節(jié).

故選：BD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

_7TTT3、10

13.（5分）已知ae（0>一）,tana=2,貝!]cos（a—彳）=----.

24—10—

71

【解答】解：VaG（0,—）,tana=2,

:.sina=2cosa,

Vsina+cos-a=l,

解得sina=^cosa=電，

TtnV5V22V5V23V10

cos（a—彳）=cosacos-+sinasin-=-x—+x—=----，

444525210

故答案為：察

10

14.（5分）曲線y=2x（阮什1）在x=l處的切線方程為y=4x-2.

【解答】解：y—2x（lnx+1）的導(dǎo)數(shù)為y'—2（X+lnx）+2,

可得曲線y=2x（歷x+1）在x=l處的切線斜率為&=4,切點(diǎn)為（1,2）,

則曲線y=2x（lnx+1）在x=l處的切線方程為y-2=4（x-1）,即為y=4x-2.

故答案為：y—4.r-2.

15.（5分）“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中學(xué)

開展暑期社會實(shí)踐活動，學(xué)生通過測量繪制出月牙泉的平面圖，如圖所示.圖中，圓弧

QRT是一個以。點(diǎn)為圓心、QT為直徑的半圓，QT=60百米.圓弧Q5T的圓心為P點(diǎn)，

PQ=60米，圓弧。RT與圓弧QST所圍成的陰影部分為月牙泉的形狀，則該月牙泉的面

第12頁共20頁

積為1507r+9008平方米.

0

【解答】解：連接PO,可得

因?yàn)閟in/QPO=^,

所以NQPO=5，NQPT=等,

所以月牙泉的面積為S=2x兀x(30V3)2-(-x602-^x602x*)

150TT+900V3(￥

2322

方米).

故答案為：l50n+90()V3.

16.(5分)已知球。是三棱錐P-A8C的外接球，PA=AB=PB=AC=2,CP=2V2,點(diǎn)D

287r

是PB的中點(diǎn)，且CD=?,則球。的表面積為一.

—3-

【解答】解：由PA=AB=PB=AC=2,CP=2?得PAVAC.

由點(diǎn)。是尸8的中點(diǎn)及%=AB=PB,

求得4￡>=我，XCD=V7,

：.AD2+AC2=CD2,WADLAC,

又A。。A尸=A且A。，APu平面必B,

；.AC_L平面PAB.

球心O到底面△以8的距離d=夕C=1,

由正弦定理得△以B的外接圓半徑片忐幣=W=竽，

第13頁共20頁

，球0的半徑為R-Vd2+r2=Jl+,=J1,

.?.球O的表面積為S=4TTR2=4兀x，=竽.

四.解答題(共6小題，滿分70分)

cosB+1

17.（10分）在①cos2B—WsiMB+2=0,（2）2bcosC—2a-c,（3）—=三個條件中

>/3sinA

任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.

已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是小b,c,若,且a,b,c成等差數(shù)列,

則aABC是否為等邊三角形？若是，寫出證明；若不是，說明理由.

【解答】解：選①

Vcos2B=1-2sin2B,

.,.2sin2B+V3sinB-3=0,

即(2sinB-V3)(sinB+V3)=0,解得sinB=-百(舍去)或sinB=

TT27r

V0<B<n,.,?B=縈或-p

又?：a,b,c成等差數(shù)列，.,.2Z?=4+c,不是三角形中最大的邊，

即8=J,

由b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2-2ac=0,即a=c,

故AABC是等邊三角形.

選②

由正弦定理可得2sinBcosC=2sirb4-sinC,

故2sinBcosC=2sin（3+C）-sinC,

整理得2cosBsinC-sinC=0.

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VO<C<IT,AsinOO,即cosB=子

V0<B<TT,：.B=1,

又'：a,b,c成等差數(shù)列，?,.ZhuQ+c,

由余弦定理房=。2+。2-2accos8,可得。2+c?-2ac=0,即。=c,

故△ABC是等邊三角形.

選③

sinBcosB+1

由正弦定理得

sinAy[3sinA

VsinA^O,/.V3sinB-cosB=1,

即sin(B—看)=2，

V0<B<n,/.-1<S-1

即8_左=l，可得B

ooJ=3，

由余弦定理即b2=cr+c2-2accosB,可得a2+c2-24c=0,可得a=c,

故△48。是等邊三角形.

故答案為：①.

18.(12分)已知數(shù)列｛即｝1K0)滿足2(%+患+患+…+微一用=詈(?GN*).

(1)求數(shù)列｛念｝的通項(xiàng)公式；

八―1115>/2

(2)求證：——+——+…+----V----.

a2a3an+i4

【解答】解：(1)數(shù)列｛a〃｝(〃"W0)滿足2(%+黃+患+…+瑞)—留①，

2

當(dāng)〃》2時，2a+貴+詈+.??+招)—相=蜉②，

22

①-②，得誓+隼3—%!-=(隼)2—(萼)2,

1y/riTi7i_1y/nVn-T

化簡，得隼一萼=1(常數(shù))，

7nVn-1

當(dāng)n=\時，解得m=l,

所以數(shù)列｛里｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

7n

所以an=nVn.

,,曰11221

(2)由(1)得----=-------=------------,<—,------------產(chǎn)=2(-7=-

an+1(n+l)yn+l2(n+l)Vn+lnyjri+l+(n+l)y/ny/n

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1

.)>

yjn+1

1111111111

所以—+-+…+---V南+2（/飛+石—赤+…+赤一幅）

。2a3an+l

__二』逗

4+M-4.

19.（12分）如圖，矩形A3CQ中，AB=2,BC=\,E為CO的中點(diǎn).把△AOE沿AE翻折,

使得平面AQE_L平面ABCE.

（I）求證：AD±BE；

（II）求所在直線與平面。EC所成角的正弦值.

【解答】（I）證明：因?yàn)槠矫鍭OE1.平面A8CE,平面AOEA平面A8CE=AE,

又因?yàn)锽E_LAE,所以BELL平面D4E,

因?yàn)锳Ou平面DAE,所以BEA.AD,

故AD_L8￡

（H）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下:

11

E(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D(-,),

22'

11V2T1_3

EC=(0,1,0),ED=(-,二,),BD=(—2,),

222~2,

設(shè)平面DEC的法向量為蔡=(X,y，z)

EC-n=y=0

,令x=-V2,n=(—V2,0,1),

ED-n=^x+^y+^-z=0

TT___

\BD-n\V2V2

所以BD所在直線與平面OEC所成角的正弦值為二二=寸行=—

|BD||n|73733

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20.(12分)某電子產(chǎn)品加工廠購買配件M并進(jìn)行甲、乙兩道工序處理，若這兩道工序均

處理成功，則該配件加工成型，可以直接進(jìn)入市場銷售；若這兩道工序均處理不成功，

則該配件報(bào)廢；若這兩道工序只有一道工序處理成功，則該配件需要拿到丙部門檢修，

若檢修合格，則該配件可以進(jìn)入市場銷售，若檢修不合格，則該配件報(bào)廢.根據(jù)以往經(jīng)

驗(yàn)，對于任一配件M,甲、乙兩道工序處理的結(jié)果相互獨(dú)立，且處理成功的概率分別為之，

4

21

丙部門檢修合格的概率為1

(1)求該工廠購買的任一配件M可以進(jìn)入市場銷售的概率；

(2)已知配件歷的購買價(jià)格為80元/個，甲、乙兩道工序的處理成本均為8元/個，丙

部門的檢修成本為16元個，若配件M加工成型進(jìn)入市場銷售，售價(jià)可達(dá)200元/個；若

配件M報(bào)廢，則虧損購買成本以及加工成本.若市場大量需求配件M的成型產(chǎn)品，試估

計(jì)該工廠加工5000個配件M的利潤.(利潤=售價(jià)-購買價(jià)格-加工成本)

【解答】解：(1)記任一配件M加工成型可進(jìn)入市場銷售為事件A,甲、乙兩道工序分

別處理成功為事件B,C,丙部門檢修合格為事件/),

P(A)=P(BC)+P(BCD)+P(BCO)=/告+(1—標(biāo))x^x5+^x(1—金x/務(wù)

(2)設(shè)加工5000個配件M的利潤為匕加工一個配件M的利潤為X,則y=5000X,

由題意可知X的取值為104,8,-96,-112,

321

P(X=104)=7X3=4,

175

P(X=88)=去一尸(X=104)=8，

391

P(X=-96)=(1-4)乂(1一子=豆，

3213215

P(X=-112)+=

所以X的分布列為：

X10488-96-112

第17頁共20頁

1515

P,一’

2241224

E(/X)、=104x?1+88x/5-96x式1一112x^5=39,

E(H=E(5000X)=5000E(X)=195000.

估計(jì)該工廠加工5000個配件M的利潤為195000元.

V”好M2

21.（12分）已知橢圓C+—=1（a>b>0）的離心率為7且橢圓上一點(diǎn)到兩個焦

a2b22

點(diǎn)的距離之和為2位.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)S（-土0）的動直線/交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存

在一個定點(diǎn)T，使得無論直線/如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)7?若存在，求出點(diǎn)

7的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）由橢圓定義可得2a=2戊,貝ija=&

又橢圓C的離心率為e=：=￥，...c=l,

則b=y/a2—c2—1

y2

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+x29=1

2

（2）當(dāng)直線/不與x軸重合時，可設(shè)直線/的方程為x=my-

設(shè)點(diǎn)A（xi,y\）,B（32,yi）

考慮直線