新人教版第13章軸對稱導學案

廈門市國祺中學初二數學導學案編制人：柯永欽審核人：張昆PAGEPAGE413.1軸對稱（1）一、學習目標1、認識軸對稱和軸對稱圖形，并能找出對稱軸；2、知道軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系。二、溫故知新（口答）1、如圖（1），平分，則=_______=______。2、如圖（2）,△ABD≌△ACD,AB與AC是對應邊。試說出這兩個三角形的對應頂點和對應邊。ACACBD圖（2）ACBO圖（1）觀察上面兩個圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的的特點嗎？三、自主探究合作展示探究（一）自學課本29頁，完成以下問題。什么是軸對稱圖形？你能舉幾個軸對稱圖形的例子嗎？2、試一試：下面的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，指出它的對稱軸。（1）（2）（3）（4）（5）探究（二）自學課本30頁，完成以下問題。1、什么叫做兩個圖形成軸對稱？你能舉幾個生活中兩個圖形成軸對稱的例子嗎？下面給出的每幅圖中的兩個圖案是軸對稱的嗎？如果是，試著找出它們的對稱軸，并找出一對對稱點．探究（三）問題：成軸對稱的兩個圖形全等嗎？如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形全等嗎？這兩個圖形對稱嗎？歸納：區(qū)別：軸對稱圖形指的是_____個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相_________。軸對稱指的是_____個圖形沿一條直線折疊，這個圖形能夠與另一個圖形_________。聯(lián)系：把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個_______________；把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條直線對稱（簡稱軸對稱）四、雙基檢測1、軸對稱圖形的對稱軸的條數()A.只有1條B.2條C.3條D.至少一條2、下列圖形中對稱軸最多的是()A.圓B.正方形 C.角D.線段3、如下圖，從幾何圖形的性質考慮，哪一個與其他三個不同？請指出這個圖形，并簡述你的理由.答：圖形；理由是：.4、標出下列圖形中點A、B、C的對稱點。5、下列圖形是否是軸對稱圖形，如果是，找出軸對稱圖形的所有對稱軸。思考：正三角形有條對稱軸；正四邊形有條對稱軸；正五邊形有條對稱軸；正六邊形有條對稱軸；正n邊形有條對稱軸；當n越來越大時，正多邊形接近于什么圖形？它有多少條對稱軸？13.1軸對稱（3）一、學習目標1、會依據軸對稱的性質找出兩個圖形成軸對稱及軸對稱圖形的對稱軸；2、掌握作出軸對稱圖形的對稱軸的方法，即線段垂直平分線的尺規(guī)作圖。二、溫故知新（口答）1、下面的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，請說出它的對稱軸。2、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對所連的線.3、與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的上。三、自主探究合作展示【問題】如果我們感覺兩個圖形是成軸對稱的，你準備用什么方法去驗證？兩個成軸對稱的圖形，不經過折疊，你有什么方法畫出它的對稱軸？歸納：作軸對稱圖形的對稱軸的方法是：找到一對，作出連接它們的的線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．【新知應用】例題1：如圖（1），點A和點B關于某條直線成軸對稱，圖（1）你能作出這條直線嗎?圖（1）1、請同學們按照以下作法在圖（1）中完成作圖。作法：（1）分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C和D兩點；（2）作直線CD．直線CD即為所求的直線．2、思考：（1）在上述作法中，為什么要以“大于AB的長”為半徑作??？（2）在上面作法的基礎上，連接AB，直線CD是線段AB的垂直平分線嗎？并說明理由．例題反思：圖（2）例題2：如圖（2），在五角星上作出它的一條對稱軸。圖（2）例題反思：四、雙基檢測1、如圖（3），下面的虛線中，哪些是圖形的對稱軸，哪些不是?圖（3）圖（4）圖（3）圖（4）2、如圖（4），畫出圖形的一條對稱軸，和同學比較一下，你們畫的對稱軸一樣嗎?圖（5）圖（5）3、如圖（5），角是軸對稱圖形嗎?如果是，畫出它的對稱軸。 4、如圖（6），與圖形A成軸對稱的是哪個圖形？畫出它們的對稱軸．圖（6）圖（6）13一、學習目標1、認識軸對稱圖形，探索并了解它的基本性質；2、能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次對稱后的圖形;3、能利用軸對稱進行圖案設計。二、溫故知新（口答）1、什么是軸對稱圖形?2、請畫出下列圖形的對稱軸。三、自主探究合作展示探究（一）自學：認真閱讀教材P39的四輻圖。1、操作：自己動手在紙上畫一個圖案，將這張紙折疊，描圖，再打開紙，看看你得到了什么？改變折痕的位置再試一次，你又得到了什么？2、歸納：（1）由一個平面圖形可以得到它關于一條直線成軸對稱的圖形，這個圖形與原圖形的、完全相同；（2）新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關于直線的點；（3）連接任意一對對應點的線段被對稱軸。探究（二）1、請同學們嘗試解決以下問題；如圖（1），實線所構成的圖形為已知圖形，虛線為對稱軸，請畫出已知圖形的軸對稱圖形。圖（1）圖（1）問題：(1)你可以通過什么方法來驗證你畫的是否正確?(2)和其他同學比較一下，你的方法是最簡單的嗎?2、如圖（2），已知點A和直線，試畫出點A關于直線的對稱點A′。A·圖（2）圖（2）3、例題：如圖（3）已知△ABC，直線，畫出△ABC關于直線的對稱圖形。圖（3）圖（3）例題反思：四、雙基檢測1、把下列圖形補成關于對稱的圖形。2、小明在平面鏡中看到身后墻上鐘表顯示的時間是12：15，這時的實際時間應該是。3、為美化校園，學校準備在一塊圓形空地上建花壇，現(xiàn)征集設計方案，要求設計的圖案由圓、三角形、矩形組成（三種幾何圖案的個數不限），并且使整個圓形場地成軸對稱圖形，請你畫出你的設計方案．13一、學習目標1、能夠按要求作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形；2、能夠用軸對稱的知識解決生活中的實際問題。二、溫故知新1、把下列圖形補成關于對稱的圖形。2、仔細觀察第三個圖形，你能盡可能多的從圖中找出一些線段之間的關系嗎？三、自主探究合作展示探究（一）圖（2）BA如圖（1）．要在燃氣管道圖（2）BA圖（1）圖（1）2、請同學們任意取點探究，并完成下列表格。=1=1=2=3=4…3、通過以上探究，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？4、根據你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在圖（2）中完成本題。探究（二）問題為什么在P點的位置修建泵站，就能使所用的輸氣管線最短呢？四、雙基檢測圖（3）（（99A1、如圖（3），在鐵路的同側有兩個工廠A、B，要在路邊建一個貨場C，使A、B兩廠到貨場C的距離的和最小．問點C的位置如何選擇？圖（3）（（99A2、如圖（4），如果我們把臺球桌做成等邊三角形的形狀，那么從AC的中點D處發(fā)出的球，能否依次經BC,AB兩邊反射后回到D處？如果認為不能，請說明理由；如果認為能，請作出球的運動路線。AADBC圖（4）BB3、如圖（5），A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲水，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。圖（5）圖（5）13一、學習目標1、能夠經過探索利用坐標來表示軸對稱；2、掌握關于軸、軸對稱的點的坐標特點。二、溫故知新圖（1）如圖：（1）觀察圖（1）中兩個圓臉有什么關系？圖（1）（2）若已知圖（1）中圓臉右眼的坐標為（4，3），左眼的坐標為（2，3），嘴角兩個端點，右端點的坐標為（4，1），左端點的坐標為（2，1）．你能根據軸對稱的性質寫出左邊圓臉上左眼，右眼及嘴角兩端點的坐標嗎？三、自主探究合作展示探究（一）在如圖（2）所示平面直角坐標系內畫出下列已知點以及對稱點，并把坐標填在表格中，你能發(fā)現(xiàn)坐標間有什么規(guī)律？已知點A(2，－3)B（－1，2）C（－6，－5）D（0.5，1）E（4，0）關于軸對稱的點()()()()()關于軸對稱的點()()()()()2、歸納：點（，）關于軸對稱的點的坐標是；點（，）關于軸對稱的點的坐標是圖（2）圖（2）圖（3）圖（3）探究（二）例題：如圖(3)，四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分別作出四邊形ABCD關于軸和軸對稱的圖形。例題反思：四、雙基檢測1、分別寫出下列各點關于軸和軸對稱的點的坐標。（3，6）（-7，9）（-3，-5）（6，-1）（0，10）關于軸對稱的點關于軸對稱的點2、已知點(2a+b,-3a)與點(8,b+2).(1)若點與點關于軸對稱，則a=_____;b=_______.(2)若點與點關于軸對稱，則a=_____;b=_______.3、如圖（4），△OBC關于軸對稱，點A的坐標為（1，-2），標出點B的坐標．圖（5）圖（5）圖（4）3、如圖（5），利用關于坐標軸對稱的點的坐標的特點，分別作出與△ABC關于軸和軸對稱的圖形．13一、學習目標1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質；2、會運用等腰三角形的概念及性質解決相關問題。二、溫故知新1、下列圖形不一定是軸對稱圖形的是（）A、圓B、長方形C、線段D、三角形2、怎樣的三角形是軸對稱圖形？答：3、有兩邊相等的三角形叫，相等的兩邊叫，另一邊叫兩腰的夾角叫，腰和底邊的夾角叫4、如圖，在△ABC中，AB=AC，標出各部分名稱三、自主探究合作展示（一）操作、實踐：取一等腰三角形紙片，照圖折疊，找出其中重合的線段和角，填入下表：AAABCB（C）BDC（1）（2）（3）重合的線段重合的角【問題1】根據上表你能得出哪些結論？并將你的結論與同學交流?！締栴}2】你能利用三角形全等的知識證明以上結論嗎？圖（1）圖（2）圖（1）圖（2）例1：填空：（1）如圖（1）所示，根據等腰三角形性質定理在△ABC中，AB=AC時，①∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.②∵AD是中線，∴____⊥____，∠_____=∠_____.③∵AD是角平分線，∴____⊥____，_____=_____.（2）等腰三角形一個底角為70°,它的頂角為______.（3）等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為例2：如圖（2）所示，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數．分析：根據等邊對等角的性質，我們可以得到∠A=______，∠ABC=______=______，再由∠BDC=∠A+______，就可得到∠ABC=______=______=2______．再由三角形內角和為180°，就可求出△ABC的三個內角．解：例題反思：四、雙基檢測1、在△ABC中，AB=AC，（1）如果∠A＝70°，則∠C＝_________，∠B＝___________（2）如果∠A＝90°，則∠B＝_________，∠C＝___________（3）如果有一個角等于120°，則其余兩個角分別是多少度？（4）如果有一個角等于55°，則其余兩個角分別是多少度？圖（3）圖（4）2、如圖（3）所示，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底邊BC上的高，標出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC圖（3）圖（4）3、如圖（4），在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數．13一、學習目標1、理解等腰三角形的判定方法；2、會運用等腰三角形的概念及性質解決相關問題。二、溫故知新1、等腰三角形的兩邊長分別為6，8，則周長為2、等腰三角形的一個角為70°，則另外兩個角的度數是3、等腰三角形的一個角為120°則另外兩個角的度數是三、自主探究合作展示（一）【思考】（1）如圖（1），位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險船只的報警，當時測得∠A=∠B．如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能大約同時趕到出事地點（不考慮風浪因素）？（2）我們把這個問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關系？圖（1）已知：在△ABO中，∠A=∠B圖（1）求證：AO=AO證明：【歸納】等腰三角形的判定方法：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的也相等（簡寫成）（二）【新知應用】圖（2）1、求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．圖（2）請同學們完成下列問題（1）、已知：如圖（2），是△ABC的外角，∠1=，AD∥求證：．分析：要證明AB=AC，可先證明∠B=，因為∠1=，所以可設法找出∠B、∠C與∠1、∠2的關系．（2）、請同學們完整的寫出解題過程證明：例題反思：圖（3）2、如圖（3），標桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它的中點C向地面上與點B距離相等的D、E兩點拉兩條繩子，使得D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，繩子CD和CE要多長？圖（3）例題反思：四、雙基檢測圖（4）1、把一張等腰三角形的紙片沿與底邊平行的虛線裁剪后（如圖（4）所示），你得到的三角形還是等腰三角形嗎？為什么？圖（4）圖（5）2、如圖（5），∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分別計算∠1、∠2的度數，并說明圖中有哪些等腰三角形．圖（5）圖（6）3、如圖（6），把一張矩形的紙沿對角線折疊．重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？圖（6）4、如圖（7），AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OA=OB，求證：OC=OD．圖（7）圖（7）13一、學習目標1、了解等邊三角形是特殊的等腰三角形；2、理解等邊三角形的性質與判定。二、溫故知新1、在△ABC中，AB=AC，（1）如果∠A＝70°，則∠C＝_________，∠B＝___________；（2）如果∠A＝90°，則∠B＝_________，∠C＝___________；（3）如果∠A＝60°，則∠B＝_________，∠C＝___________。2、在△ABC中，如果AB=AC=BC，則∠A＝_________，∠B＝___________，∠C＝_________。3、____________________________的三角形是等邊三角形，等邊三角形是一種特殊的________三角形。三、自主探究合作展示【問題】1、把等腰三角形的性質用于等邊三角形，能得到什么結論？2、一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？3、你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？如果是請說明理由。【新知應用】圖（1）例題：如圖（1），在△ABC的邊AB、AC上分別截取AD=AE．△ADE是等邊三角形嗎？試說明理由．圖（1）圖（2）變式：如圖（2），如將上述條件改為作∠ADE=60°，點D、E分別在邊AB、AC上，結論還成立嗎？改為過邊AB上點D作DE∥BC，交邊AC于點E呢？圖（2）例題反思：探究（三）圖（3）等邊三角形三條中線相交于一點。請在圖（3）中畫出圖形，找出圖中所有的全等三角形，并選擇其中一組全等三角形進行證明。圖（3）四、雙基檢測1、等邊三角形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？它們分別是什么？圖（4）2、如圖(4)，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，圖中有哪些與BD相等的線段？圖（4）3、已知：如圖（5），△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD．圖（5）求證：DB=DE．圖（5）13一、學習目標1、理解含30°銳角的直角三角形的性質；2、能利用含30°銳角的直角三角形的性質解決簡單的實際問題。二、溫故知新（口答）1、等邊三角形三邊，三個角都等于，2、等邊三角形是軸對稱圖形,它有條對稱軸，它的對稱軸。三、自主探究合作展示探究（一）BACD圖（1）1、如圖（1），將兩個含有30°角的三角形放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABCBACD圖（1）2、你能用所學的知識驗證以上結論嗎？方法1：如圖(2)，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于D，∠BAD=°,BD=BC=AB。方法2：如圖(3)，△ABC中，延長BC到D使BD=AB，連接AD，則△ABD是三角形,BADC圖（3）ACBDBADC圖（3）ACBD圖（2）探究（二）例題：如圖（4）是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多長？圖（4）分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△AED與Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=，BC=，又由D是AB的中點，所以DE=．圖（4）例題反思：探究（三）A例題：如圖（5），要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農戶去種植,如果∠C＝90°，A∠A＝30°,要使這三家農戶所得土地的大小和形狀都相同,請你試著分一分,在圖上畫出來.BBCA圖（5）┓例題反思：┓四、雙基檢測1、等腰三角形中，一腰上的高與底邊的夾角為30°，則此三角形中腰與底邊的關系（）A、腰大于底邊B、腰小于底邊C、腰等于底邊D、不能確定2、在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A=30°，CD⊥AB于點D，AB=8cm,則BC=，BD=，AD=3、如圖（6）,在△ABC中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分線交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之長.圖（6）圖（6）MCBDAMDBCA第13章軸對稱復習（1）一、復習目標1、認識軸對稱、軸對稱圖形，理解并掌握軸對稱的有關性質；2、掌握簡單圖形之間的軸對稱關系，能按照要求作出簡單圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；3、了解線段的垂直平分線的概念，并掌握其性質；4、能利用軸對稱的性質解決簡單的實際問題。二、知識再現(xiàn)例1、如圖（1），判斷下列圖形是不是軸對稱圖形.圖（1）圖（1）例題反思：例2、如圖（2），判斷每組圖形是否關于某條直線成軸對稱.圖（2）圖（2）例題反思：例3、如圖(3)所示，已知△ABC和直線MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC關于直線MN對稱.（不要求寫作法，只保留作圖痕跡）圖（3）圖（3）圖（4）圖（4）例題反思：例4、如圖（4）所示，有一塊三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分線ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周長為17m，請你替測量人員計算BC的長.例題反思：三、雙基檢測1、一只小狗正在平面鏡前欣賞自己的全身像，此時，它所看到的全身像是()2、如果O是線段AB的垂直平分線與AB的交點，那么=.圖（5）3、如圖(5)所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，求△BCE的周長.圖（5）4、某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，如圖（6）所示（點M，N表示大學，AO，BO表示公路）.現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路的距離也相等.（1）你能確定倉庫應該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設計方案；圖（6）（2）闡述你設計的理由.圖（6）四、拓展提高如圖(7)所示的是一個在19×16的點陣圖上畫出的“中國結”，點陣的每行及每列之間的距離都是1，請你畫出“中國結”的對稱軸，并直接寫出陰影部分的面積圖（7）圖（7）第13章軸對稱復習（2）一、復習目標1、了解等腰三角形的有關概念，探索并掌握等腰三角形的性質和一個三角形是等腰三角形的條件；2、了解等邊三角形的概念并探索其性質；3、理解含30°銳角的直角三角形的性質并能利用它解決簡單的實際問題。二