2022年河南省鄭州市育才高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022年河南省鄭州市育才高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，滿足一組數(shù)據(jù)如右表所示.若與的回歸直線方程為，則m的值是0123-11m8

A.

4

B.

C.5

D.6參考答案：A2.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）對(duì)x∈[﹣1，2]恒成立，則a的取值范圍為（）A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3）參考答案：C【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】由題意可得f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，2]時(shí)，x3﹣2x+a＞（x+1）恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）=﹣x3+3x+1的最大值，可得a的取值范圍．【解答】解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）對(duì)x∈[﹣1，2]恒成立，則當(dāng)x∈[﹣1，2]時(shí)，x3﹣2x+a＞x+1恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．令g（x）=﹣x3+3x+1，令g′（x）=﹣3x2+3=0，x=±1，在[﹣1，1]上，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)；在（1，2]上，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，故g（x）的最大值為g（1）=3，∴a＞3，故選：C．3.若用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果，回歸模型3的相關(guān)指數(shù)，回歸模型4的相關(guān)指數(shù)，則模型3的擬合效果更好。參考答案：B略4.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：“松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等”.下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別是5，2，則輸出的n等于(

)A．2

B．3

C.4

D．5參考答案：C5.某商場(chǎng)對(duì)一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的樣本莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（

）A．46,45

B．45,46

C．46,47

D．47,45參考答案：A由莖葉圖可知，出現(xiàn)次數(shù)最多的是數(shù)，將所有數(shù)從小到大排列后，中間兩數(shù)為，故中位數(shù)為，故選A.

6.若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（）A．a(chǎn)d＞bc B．a(chǎn)d＜bc C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)c＜bd參考答案：D【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．又a＞b＞0，則一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．故選：D．7.正方體的全面積是，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)正方體的全面積求得邊長(zhǎng)，由此求得體對(duì)角線長(zhǎng)，也即外接球的直徑，由此求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，所以，，所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以正方體外接球的半徑為，球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查正方體表面積有關(guān)計(jì)算，考查正方體外接球表面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.8.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(

)A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C．存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D．存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)參考答案：D【考點(diǎn)】命題的否定．【專題】綜合題．【分析】根據(jù)已知我們可得命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是一個(gè)特稱命題，根據(jù)全稱命題的否定方法，我們易得到結(jié)論．【解答】解：命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”是一個(gè)全稱命題其否定一定是一個(gè)特稱命題，故排除A，B結(jié)合全稱命題的否定方法，我們易得命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定應(yīng)為“存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)”故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的否定，做為新高考的新增內(nèi)容，全稱命題和特稱命題的否定是考查的熱點(diǎn)．9.已知集合，，則(

)Ａ.Ｂ.

Ｃ.Ｄ.

參考答案：C略10.若a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)b＜b2 B．a(chǎn)2＜b2 C．lg（﹣ab）＜lg（﹣a2） D．2＜2參考答案：D【考點(diǎn)】不等式比較大小．【分析】根據(jù)題意，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷正誤即可．【解答】解：a＜b＜0時(shí)，ab＞b2，∴A錯(cuò)誤；a2＞ab＞b2，∴B錯(cuò)誤；﹣ab＜0，負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，∴C錯(cuò)誤；由題意＜，∴＜，∴D正確．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若滿足約束條件,且取得最小值的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè),則________.參考答案：或略12.AB是圓C：x2+（y﹣1）2=1的直徑，P是橢圓E：+y2=1上的一點(diǎn)，則的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，]

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由，，得=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再結(jié)合y的范圍即可求出結(jié)論【解答】解：設(shè)P（x，y），∵，，∴=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范圍是：[﹣1，]．故答案為：[﹣1，]【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)，向量數(shù)量積的基本運(yùn)算技巧，選好基底是解決向量問(wèn)題的基本技巧之一，及二次函數(shù)的值域問(wèn)題，屬于中檔題，13.曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線的方程為

．參考答案：

14.角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊在y軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第三象限內(nèi)的點(diǎn)P，且tanα=﹣；角β的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)Q，且tanβ=﹣2．對(duì)于下列結(jié)論：①P（﹣，﹣）；②|PQ|2=；③cos∠POQ=﹣；④△POQ的面積為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)有．參考答案：①②④【考點(diǎn)】三角函數(shù)線．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式得到OP所對(duì)應(yīng)的角，結(jié)合平方關(guān)系求解的正余弦值得答案，判斷命題①；求出Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算|PQ|2，然后判斷真假；把兩角差的余弦用誘導(dǎo)公式化為正弦，展開(kāi)后計(jì)算得答案，再判斷真假；直接由面積公式求值，然后判斷真假．【解答】解：如圖，對(duì)于①，由tanα=﹣，得，∴．又，且，解得：．設(shè)P（x，y），∴x=，．∴P（）．命題①正確；對(duì)于②，由tanβ=﹣2，得，又sin2β+cos2β=1，且，解得：．∴Q（）．∴|PQ|2==．命題②正確；對(duì)于③，cos∠POQ=cos（）=﹣sin（α﹣β）=﹣sinαcosβ+cosαsinβ==．命題③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由③得：sin∠POQ=，∴．命題④正確．∴正確的命題是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)線，訓(xùn)練了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的用法，是中檔題．15.已知拋物線上有一條長(zhǎng)為2的動(dòng)弦AB，則AB中點(diǎn)M到x軸的最短距離為

.參考答案：略16.如右圖，某幾何體的三視圖均為邊長(zhǎng)為的正方形，則該幾何體的體積是_________________．參考答案：17.與圓O：x2+y2=2外切于點(diǎn)A（﹣1，﹣1），且半徑2的圓的方程為（x+3）2+（y+3）2=8；若圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線x+y+m=0的距離為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：m∈（0，4）∪（8，12）【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；直線與圓．【分析】（1）兩圓相切，則切點(diǎn)與兩圓的圓心三點(diǎn)共線，設(shè)出所求圓的圓心為C（a，b），列方程求得a，b即可；（2）由題意可得圓心（﹣3，﹣3）到直線l：x+y+m=0的距離d滿足＜d＜3．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出d，再解絕對(duì)值不等式求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：設(shè)所求圓的圓心為C（a，b），∵切點(diǎn)A（﹣1，﹣1）與兩圓的圓心O、C三點(diǎn)共線，∴，又|AC|=2，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=8解得a=3，b=﹣3，∴所求圓的方程為（x+3）2+（y+3）2=8；由題意可得圓心（﹣3，﹣3）到直線l：x+y+m=0的距離d滿足＜d＜3，∴＜＜3，∴m∈（0，4）∪（8，12）．故答案為：（x+3）2+（y+3）2=8，m∈（0，4）∪（8，12）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的方程，考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知一個(gè)袋子里有形狀一樣僅顏色不同的6個(gè)小球，其中白球2個(gè)，黑球4個(gè).現(xiàn)從中隨機(jī)取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有白球或取球次數(shù)達(dá)到五次就終止游戲，記游戲結(jié)束時(shí)一共取球X次，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.參考答案：（1）記事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”，則：.

……2分

……4分

……5分或者：記隨機(jī)變量表示連續(xù)取球四次，取得白球的次數(shù).易知

……2分則……5分

（2）易知：隨機(jī)變量X的取值分別為2，3，4，5

……6分，

，

……10分∴隨機(jī)變量X的分布列為：X2345P

……11分∴隨機(jī)變量X的期望為：

……12分19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=log2(an－1)，求證：．參考答案：（1）由，則.當(dāng)時(shí)，，綜上. （2）由..得證.

20.(本小題滿分10分)等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng)，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和;參考答案：21.（本小題滿分12分）

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.參考答案：解:解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是解法二:如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），