隨機(jī)變量及概率分布

隨機(jī)變量及概率分布第一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四§1

隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、

隨機(jī)變量第二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四

以X記兩號(hào)碼之和，對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)e，X都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。第三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四S1.定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是S={e}，若對(duì)于每一個(gè)e∈S,有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng),即X(e)是定義在S上的單值實(shí)函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。（randomvariable,簡(jiǎn)記為r.v.)例3.測(cè)試燈泡壽命試驗(yàn),其結(jié)果是用數(shù)量表示的.記燈泡的壽命為X,則X是定義在樣本空間S={e}={t|t≥0}上的函數(shù),即X=X(e)=t,e=t∈S.e1第四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四有了隨機(jī)變量X,以前的各種隨機(jī)事件均可用X的變化范圍來(lái)表示:如例1中:A=“正面朝上”用{X=1}表示B=“反面朝上”用{X=0}表示反過(guò)來(lái),X的一個(gè)變化范圍表示一個(gè)隨機(jī)事件.{0<X<2}=“正面朝上”.{X<0}=,第五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四注:(1)可用隨機(jī)變量X描述事件.例擲一顆骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為X,事件A為“擲出的點(diǎn)數(shù)大于3”,則A可表示為“X>3”.隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果而取不同的值,在試驗(yàn)之前不能確切知道它取什么值,但是隨機(jī)變量的取值有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性—概率分布.第六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.分類：(1)離散型隨機(jī)變量;(2)非離散型隨機(jī)變量.10連續(xù)型隨機(jī)變量20非連續(xù)型隨機(jī)變量第七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)很多時(shí)候，我們需要考慮r.v.的取值落入一個(gè)區(qū)間的概率,如定義：設(shè)r.v.X,x為任意實(shí)數(shù),則F(x)=P{X≤x}稱為X的分布函數(shù).P{x1<X≤x2},P{X≤x}等,為此引入隨機(jī)變量的分布函數(shù).(1)P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).(2)無(wú)論是離散型r.v.還是非離散型r.v.,分布函數(shù)都可以描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.第八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.性質(zhì):(1)F(x)是單調(diào)不減函數(shù).x2>x1,F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}0.(2)0≤F(x)≤1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn),而在其間斷點(diǎn)上也是右連續(xù)的,F(x+0)=F(x).第九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四§2

離散型隨機(jī)變量1.定義若隨機(jī)變量全部可能取到的值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè),則稱為離散型隨機(jī)變量.Xx1x2…xn…pkp1p2…pn...第十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1.設(shè)一汽車(chē)在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四組信號(hào)燈,每組信號(hào)燈以概率p禁止汽車(chē)通過(guò),以X表示汽車(chē)首次停下時(shí)已通過(guò)信號(hào)燈的組數(shù),求X的分布律.(設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的).解:X01234pk即P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P{X=4}=(1-p)4

p解:X01234pk解:X01234pk解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk第十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四練習(xí)：(1)一個(gè)口袋中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，逐一地從袋中不放回摸球，直至摸到紅球?yàn)橹?。設(shè)摸球次數(shù)為X，求X的分布律。(2)一個(gè)盒子中有1，2，…

，10共十個(gè)號(hào)碼牌，在盒子中同時(shí)取4個(gè)號(hào)碼牌，以X表示取出的4個(gè)號(hào)碼牌中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律。第十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2.離散型r.v.,已知分布律可求出分布函數(shù). X-123pk1/41/21/4求：X的分布函數(shù),并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}.解第十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四P{X≤1/2}=F(1/2)P{X≤1/2}=P{X=-1}=1/4,=1/4或由分布律直接得P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)-F(3/2)=1/2.第十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四幾種重要的離散型隨機(jī)變量（一）0-1分布

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E有兩種可能的結(jié)果：S={e1,e2},設(shè)隨機(jī)變量X：第十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四(二)伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布例1.設(shè)X是n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p,則X是一個(gè)隨機(jī)變量,我們來(lái)求它的分布律.第十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四一般地有稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為X~b(n,p).當(dāng)n=1時(shí),P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即為0-1分布.第十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2.某種電子元件的使用壽命超過(guò)1500小時(shí)為一級(jí)品,已知一大批該產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2,從中隨機(jī)抽查20只,求這20只元件中一級(jí)品的只數(shù)X的分布律.解:第十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3.某人進(jìn)行射擊,每次命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.當(dāng)n較大,p又較小時(shí),二項(xiàng)分布的計(jì)算比較困難,例如0.98400，0.02400,…,可以用Pois-son分布近似計(jì)算.第十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四例4.設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障由一個(gè)人處理?？紤]兩種方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)，其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)，試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率的大小。第二十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四(三)泊松分布(Poisson)

(2)泊松分布有很多應(yīng)用.第二十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四泊松(Poisson)定理：證明:(3)二項(xiàng)分布與泊松分布之間的關(guān)系由下面的泊松定理給出.第二十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四泊松定理的意義：1.在定理的條件下,二項(xiàng)分布的極限分布是泊松分布.2.當(dāng)n很大且p又較小時(shí),第二十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四(四)幾何分布進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為1-p=q(0<p<1),將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),則X的分布律為:P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…稱為X服從參數(shù)為p的幾何分布.例設(shè)某種社會(huì)定期發(fā)行的獎(jiǎng)券,每券1元,中獎(jiǎng)率為p,某人每次購(gòu)買(mǎi)1張獎(jiǎng)券,如果沒(méi)有中獎(jiǎng)下次繼續(xù)再買(mǎi)1張,直到中獎(jiǎng)止,求購(gòu)買(mǎi)次數(shù)X的分布律.解：P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…第二十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四若該人共準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)10次共10元錢(qián),即如果中獎(jiǎng)就停止,否則下次再購(gòu)買(mǎi)1張,直到10元共花完為止,求購(gòu)買(mǎi)次數(shù)Y的分布律.解：P{Y=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,9,P{Y=10}=p(1-p)9+(1-p)10=(1-p)9.第二十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四引例.一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤(pán),設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比,并設(shè)射擊都能擊中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求X的分布函數(shù).§3

連續(xù)型隨機(jī)變量第二十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四則稱X為連續(xù)型r.v.f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。第二十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.關(guān)于連續(xù)型r.v.的一個(gè)重要結(jié)論:定理:設(shè)X為連續(xù)型r.v.它取任一指定的實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即P{X=a}=0.第三十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四4.幾個(gè)常用的連續(xù)型r.v.分布(一)均勻分布:則稱隨機(jī)變量X在(a,b)上服從均勻分布,記作X~U(a,b).此概率與子區(qū)間長(zhǎng)度成正比,而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān),

這也是均勻分布的由來(lái).第三十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四分布函數(shù)為:第三十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四(二)指數(shù)分布:1.定義:如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。第三十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四(三)正態(tài)分布:第四十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四如何計(jì)算概率?通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算其它一切正態(tài)分布的概率:(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:第四十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四引理:第四十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四例設(shè)某商店出售的白糖每包的標(biāo)準(zhǔn)重量500克,設(shè)每包重量X(以克計(jì))是隨機(jī)變量,X~N(500,25),求:(1)隨機(jī)抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)隨機(jī)抽查一包,其重量與標(biāo)準(zhǔn)重量之差的絕對(duì)值在8克之內(nèi)的概率;(3求常數(shù)c,使每包的重量小于c的概率為0.05.第四十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四(1)

由(x)=0.05怎樣查表求x的值?由于(x)=0.05,1-(x)=1-0.05,所以(-x)=0.95,而(1.645)=0.95,即:-x=1.645,故x=-1.645.第四十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四(2)若X~N(,2)P{-≤X≤+}=2(1)-1=0.6286.P{-2≤X≤+2}=2(2)-1=0.9544.P{-3≤X≤+3}=2(3)-1=0.997.由上三式可知,服從正態(tài)分布N(,2),的r.v.X之值幾乎全部落入[-3,+3]內(nèi),稱為3原則，常應(yīng)用于工程技術(shù)中。第四十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四z(x)0(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn):第四十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四§4.

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布我們將研究如何由已知的r.v.X的分布,去求得它的函數(shù)Y=g(X)的分布,(其中g(shù)(.)是已知的連續(xù)函數(shù)),分兩種情形討論:一、X為離散型r.v.例1.設(shè)X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012pk0.20.30.10.4X-1012pk0.20.30.10.4Y4101第五十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四即Y014pk0.10.70.21.

離散型r.v.函數(shù)的概率分布的求法:設(shè)X的概率分布如下表:Xx1x2…xk…P{X=xi}p1p2…pk...(1)記yi=g(xi)(i=1,2,…),若yi的值是互不相同的,則Y的概率分布如下表:Yy1y2…yk…P{Y=yi}p1p2…pk...第五十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、X為連續(xù)型r.v.(2)若g(x1),g(x2),…中不是互不相同的,則應(yīng)將那些相同值所對(duì)應(yīng)的概率pi相加,可得Y的分布律.第五十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四1.“分布函數(shù)法”:(1)先求出Y的分布函數(shù):FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{XG},其中

G={x:g(x)≤y},轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的事件,再利用X

的分布函數(shù)表示.(2)對(duì)y求導(dǎo)得到Y(jié)的概率密度:fY(y)=FY′

(y).第五十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期四(1)若f(x)在有限區(qū)間[a,b]以外等于零,則只需假設(shè)在[a,b]上g(x)嚴(yán)格單調(diào),選取

=min(g(a),g(b)),=max(g(a),g(b)).2.定理:設(shè)X是連續(xù)型r.v.,具有概率密度f(wàn)X(x),設(shè)y=g(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),且反函數(shù)x=h(y)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)g(x)嚴(yán)格增加時(shí),記=g(-),=g(+);

當(dāng)g(x)