理論力學題庫第二章

理論力學題庫——第二章123in123in2.質(zhì)點系動量守恒的條件是。3.質(zhì)點系機械能守恒的條件是。4.質(zhì)點系動量矩守恒的條件是。5.質(zhì)點組對的微商等于作用在質(zhì)點組上外力的矢量和，此即質(zhì)點組的6.質(zhì)心運動定理的表達式是。7.平面匯交力系平衡的充分必要條件是合力為零。8.各質(zhì)點對質(zhì)心角動量對時間的微商等于外力對質(zhì)心的力矩之和。9.質(zhì)點組的角動量等于質(zhì)心角動量與各質(zhì)點對質(zhì)心角動量之和。2iiiiiii=1i=1i=1表述為質(zhì)點組動能的微分等于內(nèi)力和外力所作的元功之和。11.質(zhì)點組動能等于質(zhì)心動能與各質(zhì)點對質(zhì)心動能之和。2Cii i=1動能與各質(zhì)點對質(zhì)心動能之和。13.2-6.質(zhì)點組質(zhì)心動能的微分等于內(nèi)、外力在質(zhì)心系系中的元功之和。14.包含運動電荷的系統(tǒng)，作用力與反作用力不一定在同一條直線上。15.太陽、行星繞質(zhì)心作圓錐曲線的運動可看成質(zhì)量為折合質(zhì)量的行星受太陽(不動)17.設木塊的質(zhì)量為m,被懸掛在細繩的下端，構成一種測定子彈速率的沖擊擺裝置。如2果有一質(zhì)量為m的子彈以速率v沿水平方向射入木塊，子彈與木塊將一起擺至高度為11m+mv=12(2gh)1/218.位力定理(亦稱維里定理)可表述為：系統(tǒng)平均動能等于均位力積的負值。(或2ii11.關于質(zhì)心，以下說法錯誤的是()A.均質(zhì)物體的質(zhì)心和其幾何中心重合；B.處于均勻重力場中的物體，重心和質(zhì)心重合；C.質(zhì)點組合外力為零時，質(zhì)心將靜止；D.質(zhì)心可以在物體的外部。2.質(zhì)點組運動的總動能的改變()A力無關，內(nèi)力有關；BD.與外力有關，內(nèi)力無關。3.滿足下列哪種情況，質(zhì)點組的機械能守恒()A只有保守力做功；B外力和內(nèi)力都不是保守力；C所有內(nèi)力均為保守力；D所有外力均為保守力。2-4.如果某質(zhì)點系所受合外力為零，則該質(zhì)點系的【A】BA質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量；B質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動能；C質(zhì)點系的內(nèi)力在運動過程中可能作功，可能不作功；D剛體在運動過程中內(nèi)力不作功。(A)作用力與反作用力的功一定是等值異號；(B)內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總機械能；(C)摩擦力只能作負功；(D)同一個力作功在不同的參考系中，也不一定相同?！綝】2-8.對機械能守恒和動量守恒的條件，正確的是：(A)系統(tǒng)不受外力作用，則動量和機械能必定同時守恒.；(B)對一系統(tǒng),若外力作功為零,而內(nèi)力都是保守力,則其機械能守恒；(C)對一系統(tǒng),若外力作功為零,則動量和機械能必定同時守恒；2-9．一人握有兩只啞鈴,站在一可無摩擦地轉(zhuǎn)動的水平平臺上,開始時兩手平握啞鈴,2-10.如果某質(zhì)點系的動能變大，則該質(zhì)點系的【D】2-11.如果某質(zhì)點系的動量變大，則該質(zhì)點系的【D】2-12.如果某質(zhì)點系所受合外力變大，則該質(zhì)點系的【D】二、簡答2.1一均勻物體假如由幾個有規(guī)則的物體并合(或剜去)而成，你覺得怎樣去求它的質(zhì)心？.答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體假定它存在，后以其負質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。稱中心，又該物體是均勻的，故此點即為質(zhì)心的位置。2.3在質(zhì)點動力學中，能否計算每一質(zhì)點的運動情況？假如質(zhì)點組不受外力作用，每一質(zhì)可列出三個二階運動微分方程，各個質(zhì)點組有3n個相互關聯(lián)的三個二階微分方程組，難以解算。但對于二質(zhì)點組成的質(zhì)點組，每一質(zhì)點的運動還是可以解算的。動，但可改變組內(nèi)質(zhì)點間的運動。為零(忽略水對船的阻力)，且開船時系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相2.6為什么在碰撞過程中，動量守恒而能量不一定守恒？所損失的能量到什么地方去了？又在什么情況下，能量才也守恒？發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能(分子間的結合能)，故動量守恒能量不一定守恒。只有完全彈性碰撞或碰撞物體是剛體時，即相撞物體的形變可以完全恢復或不發(fā)生形變時，能量也守恒，但這只是理想情況。2.7選用質(zhì)心坐標系，在動量定理中是否需要計入慣性力？ciicidt(iii)iiiiiic0iicxF(e)=xiicivii的動量守恒xmv,=iii方便。值得指出：質(zhì)點組中任一質(zhì)點相對質(zhì)心參考系有，對質(zhì)心參考系動量并不守恒。體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來的。質(zhì)量系統(tǒng)運動問題的公式。2.11多級火箭和單級火箭比起來，有哪些優(yōu)越的地方？m答：由v=v+vln0=v+vlnz知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度v或增大0rm0rrsm質(zhì)量比0。由于燃料的效能，材料的耐溫等一系列技術問題的限制，v不能過大；又由mrs于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量m相當大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級火箭，一級火箭0的燃料燃完后外殼自行脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級火箭開始工作后便于提高火箭的速度。12n12nr12nr12n級數(shù)很多時，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1，速度增加很少。故火箭級數(shù)不能過多，一般三至四級火箭最為有效。當他達到最高點時，將物體以相對速度u水平向后拋出。問由于物體的拋出，人跳的距等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。3.質(zhì)量為m的質(zhì)點，沿傾角為9的光滑直角劈滑下，劈的本身質(zhì)量為m，又可在光滑水12平面自由滑動。試求質(zhì)點水平方向的加速度及劈的加速度。4.求均勻扇形薄片的質(zhì)心，此扇形的半徑為a，所對的圓心角為29，并證半圓片的質(zhì)心4a離圓心的距離為3"。5.如自半徑為a的球上，用一與球心相距為b的平面，切出一球形帽，求此球形冒的質(zhì)心。6.半徑為a，質(zhì)量為M的薄圓片，繞垂直于圓片并通過圓心的豎直軸以勻角速o轉(zhuǎn)動，7.一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m，炮身及炮車質(zhì)量和等于M，炮車可以自由地在鐵軌上反沖，如炮身與在地面成一角度a，炮彈對炮身的相對速度為V，試求炮彈離炮身時對地面的速度v及炮車反沖的速度U。解：由于在水平方向(x方向)無外力作用，火藥爆炸力為內(nèi)力，故水平方向動量守恒xxy)U所以=V1-m(2M+m)cos2a...........(4)(M+m)2如設v與水平面夾角為9，則tan9=vy=Vsina=M+mtana 5)vxM討論：由(4)式知炮車反沖時v<V，由(5)式知9a有足夠的長度，求重物所能達到的最大高度。 023q203q8.在橢圓機構中，規(guī)尺AB質(zhì)量為2m，曲柄OC質(zhì)量為m,滑塊A和B質(zhì)量均為m曲柄以勻112(1)動量矩=+++=m+(2m+2m)ocABAB1oc12ABtjmlsinti21212212l總動量值的合成:p=p2+p2=(5m+4m)xy2121211212xc(3m+2m)解法2:首先建立整個系統(tǒng)的質(zhì)心位置12121212yc(3m+2m)llxcxc212lp=my.=cost(5m+4m)yc212l總動量值的合成:p=p2+p2=(5m+4m)xy212tk(1)質(zhì)點的動能、動量及對坐標原點O的動量矩。(2)質(zhì)點對點A(a,b,c)的動量矩。(3)作用在質(zhì)點上的力及力的功率。1mvmxyz22OA的點的坐標。?V?V?x?y解：欲使質(zhì)點平衡須使質(zhì)點勢能對任一函數(shù)的一階偏微分為零即=0,?x?y?x程組得平衡坐標為x=1,y=212.一人在水平臺上走動，此臺可通過其中心的鉛直軸而旋轉(zhuǎn)，人走的軌跡是以平臺中心為圓心，r為半徑解：以作平臺為質(zhì)點系，受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。假設平臺與轉(zhuǎn)軸接觸面光滑無摩擦，故質(zhì)點系動量矩守恒。一01g1p平臺動量矩為：G=IO=r2O方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。22gpppp12g2g3rd92ds=一dt3rdtd92ds=一dt3rdttdt00tdt313、一均質(zhì)木板放在光滑的水平面上，板的一端站著一個人。在某一時刻，人以不變的速度u向x軸正向運動。設板的質(zhì)量為m，人的質(zhì)量為m。試求t秒鐘后，人的絕對速度v與位移以及板的絕對速度v與121。解：以人和板為研究對象。系統(tǒng)受力：人的重力P，板的重力W，光滑的水平面對板的正壓力F。以上受Nxx成運動可知，人的絕對速度為v=v+u。11121解此方程得v=x12iij8j8yz|=x…(2)積分(1)式得0=x2+f(y,z)………(4)…(3)2代(4)入(2)得8f(y,z)=y積分得f=y2+g(z)………(5)8y2代(5)入(4)得0=x2+y2+g(z)………(6)22代(6)入(3)得80=8g(z)=z積分得g(z)=z2+c………(7)zz2代(7)入(6)得0=x2+y2+z2+c2222214.質(zhì)量為m及m的兩自由質(zhì)點互相以引力吸引，引力與其質(zhì)量成正比，與距離的平方成12反比，比例常數(shù)為k，開始時兩質(zhì)點皆處于靜止狀態(tài)，其間距離為a，試求兩質(zhì)點間的距離a2令質(zhì)量為m自由質(zhì)點的速度為v，質(zhì)量為m的自由12v故vv方向相212反，取v方向為正方向如圖示1rrv21m1mv兩質(zhì)點間的相互吸引力為萬有引力是保守力由保守力性質(zhì)得勢能為V=jr.d=jrkmm12dr=kmm12式中r是兩質(zhì)點間的距r2ra211222aa211222a211222aa(m+m)a(m+m)12令質(zhì)量為m自由質(zhì)點的速度為v，質(zhì)量為1 2v=ma(m+mm的自由質(zhì)點速度為v，則因兩質(zhì)點互相吸引，22故vv方向相反，取v方向為正方向如圖示121dr211222r2m211222a解(1)(2)式得v=m12m1m由于兩質(zhì)點無外力作用可視為兩體問題由兩體問題運動方程p12由兩體問題運動方程p12=F得dt2dvdvdr又12=12.12dtdrdt1212dv=v1212drkmmr2r1k212積分jv12vdv=j-k(m1+m2)dr得v=2k(m1+m2).........(2)1212ar21212amv+mv由于兩質(zhì)點無外力作用，質(zhì)心作慣性運動，原來質(zhì)心靜止，故由v=112解(2)(3)(4)式得v=-m2v為負值表明與v方向相反1221m15.如圖示，一長為l的均質(zhì)鏈條在水平面上自然堆成一堆，線密度為p，某人持鏈條一端以勻速v將其提高，試證：當他的手離開水平面的高度為x時(x<l)，鏈條對手的作用力lgFccccpl2lcpl2l由于鏈條的質(zhì)心坐標為x==xv2clclllx整體所受的外力有重力P=pl，拉力F和水平面對靜止的那部分鏈條的支持力Xdtxdtdtdtx如圖示，取已上升部分為主體，其質(zhì)量為m=px，速度為v，不斷增加部分為變體，合ddm由密歇爾斯基方程(mv)一u=F得dtdt合dtdt合2小蟲在圓環(huán)上相對地爬行一周時，圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角度不超過180°。設初始時系統(tǒng)靜止。01圓環(huán)動量矩為：G=I=Mr2方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。22由動量矩守恒定律得：G+G=mr(u+r)+1Mr2=0有=u122(1+M)r又=d9,u=dsdtdt即d9=1ds(1+)r(1+)rMM(1+)r000(1+)r9=假設小蟲和圓環(huán)質(zhì)量相等故9=4=-240°3假設M=2m，則9==1800一般Mm故9<1800另正解：以小蟲+圓環(huán)為質(zhì)點系，圓環(huán)圓心為參考點，質(zhì)點系受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點系動量矩守恒。01IMr12M12Mmd9dsd91ds1dtdtdtMdtMdtdtdtMdtMmmM(1+)rMmm3一般Mm故9<1800撞后的速度互相垂直，試證明之。1由于兩球碰撞過程中動量守恒有MV=MV+MV由于兩球碰撞過程中動量守恒有MV=MV+MV.......(1)212122 (1)式代入(2)式有(V,+V,)2=V,2+V,2121212直即V,」V,結論得證v1的速度，其方向沿此直線，設m1、m3及v1為已知，求第二球的速度為何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：設第一、第二球碰撞后第一球的速度為v,，第二球的速度為v,12)mv2mv)mv2mv22m+m33則由速度公式得則由速度公式得23231223即dv,(m+m)(m+m)一m(m+m+m+m)mm一m2 212231223所以有m=mm時第三球的速度最大。21319.一條柔軟、無彈性、質(zhì)量均勻的繩子，豎直的自高處墜落至地板上，如繩子的長度為l，xxl它對地板的壓力。設開始時繩子的速度為零，它的下端離地面的高度為h。：用自由落體公式和動量定理求解2dtdmdldm.v，該質(zhì)量元一經(jīng)由動量定理F=dp得N=dm.v=(.dl.v=(vdl=(v2=(2g(l+h一x)(此處dt2dtdtdt2的運動方程求解不斷落地部分為變體dm=dx，dm=dx=v(dx<0)其速度為u=v主體和變體dtdt合dtdt合dtL桌面邊緣垂直(圖2.7.2)。開始時鏈條靜止，一半從桌上下垂，求鏈邊緣時鏈條的速度v。解：如圖選取坐標系，以下垂段為研究對象。方法一：用變質(zhì)量物體的運動方程求解作用于它們的合外力為重力和桌面上的一段對它的拉力T。ddm由密歇爾斯基方程(mv)一u=F得dtdt合uv(1)變體，速度(x段的速度)，作用于它們的合外力為桌面上的一段對它的拉力T，由ddm密歇爾斯基方程(mv)一u=F得dtdt合(2)將(2)代入(1)，并注意m=λx，方法二：用機械能守恒定律求解以下垂的一段為研究對象，以桌面為零勢能位置，則由機械能守恒：21.雨滴開始自由落下時的質(zhì)量為M，單位時間內(nèi)凝結在它上面的水汽質(zhì)量為λ，略去空氣解：以豎直向下為正方向，取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為m=M+λt，速度為v，增加合ddmdtdt合ddmdtdt合1積分(1)式得(M+入t)v=(Mt+入t2)g+c...........(2)21MgM2g入所以s=gt2+tln(1+t)這就是雨滴在t時間后所下落的距離M討論：由上式知s=1gt2+Mgt一M2gln(1+入t)<1gt2說明雨滴在t時間后所下42入2入2M2落的距離小于自由落體在同等時間內(nèi)下落的距離。雨滴下落時其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比，，試求雨滴下落速度與時間的關系解：以豎直向下為正方向，設起始時刻(t=0)雨滴半徑為a，某時刻雨滴半徑為r，取自由31m不斷增加的水汽為變體，質(zhì)量為=k.4幾r2=kr2........(2)速度為u=0,作用于其的合dt2外力為雨滴的重力F=mg合dmdr=3kr2 ()3