極限思想的辯證思考與理解

極限思想的辯證思考與理解

摘要：極限理論貫穿整個微積分學(xué)，是微積分的重要內(nèi)容和難點(diǎn)。認(rèn)識極限思想是把握和理解極限理論的前提。通過極限思想與辨證哲學(xué)的緊密聯(lián)系，加強(qiáng)極限思想的辨證理解，有助于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

關(guān)鍵詞：極限思想；辨證哲學(xué)；對立統(tǒng)一

0引言。

微積分是研究客觀世界運(yùn)動現(xiàn)象的一門學(xué)科，我們引入極限概念對客觀世界運(yùn)動過程加以描述，用極限方法建立其數(shù)量關(guān)系并研究其運(yùn)動結(jié)果。極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)理論，貫穿整個微積分學(xué)。要學(xué)好微積分，必須認(rèn)識和理解極限理論，而把握極限理論的前提，首先要認(rèn)識極限思想。極限思想蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想，是變與不變、過程與結(jié)果、有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變以及否定與肯定的對立統(tǒng)一。

1極限思想與辯證哲學(xué)的聯(lián)系。

極限思想是變與不變的對立統(tǒng)一。

“變”與“不變”反映了客觀事物運(yùn)動變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，不變是相對的，變是絕對的，但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化。例如，平面內(nèi)一條曲線C上某一點(diǎn)P的切線斜率為kp。除P點(diǎn)外曲線上點(diǎn)的斜率k是變量，kp是不變量，曲線上不同的點(diǎn)對應(yīng)不同的斜率K，斜率k不可能等于kp，k與kp是變與不變的對立關(guān)系；同時，它們之間也體現(xiàn)了一種相互聯(lián)系相互依賴的關(guān)系。當(dāng)曲線上的點(diǎn)無限接近P點(diǎn)過程中，斜率k無限接近kp，變化的量向不變的量逐漸接近。當(dāng)無限接近的結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)的飛躍時，變量轉(zhuǎn)化為不變量，即“變”而“不變”，這體現(xiàn)了變與不變的統(tǒng)一關(guān)系。

極限思想是過程與結(jié)果的對立統(tǒng)一。

過程和結(jié)果在哲學(xué)上是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，在極限思想中也充分體現(xiàn)了結(jié)果與過程的對立統(tǒng)一。在上例中，當(dāng)曲線上的點(diǎn)無限接近點(diǎn)P的變化過程中，k是變化過程，kp是變化結(jié)果。一方面，無論曲線上點(diǎn)多么接近點(diǎn)P，都不能與點(diǎn)P重合，同樣曲線上變化點(diǎn)的斜率k也不等于kp，這體現(xiàn)了過程與結(jié)果的對立性；另一方面，隨著無限接近過程的進(jìn)行，斜率k越來越接近kp，二者之間有緊密的聯(lián)系，無限接近的變化結(jié)果使得斜率k轉(zhuǎn)化為kp，這體現(xiàn)了過程與結(jié)果的統(tǒng)一性。所以，通過研究曲線上點(diǎn)斜率k的變化過程得到P點(diǎn)的斜率kp就是過程與結(jié)果的對立統(tǒng)一。[]

極限思想是有限與無限的對立統(tǒng)一。

在辨證法中，有限與極限是對立統(tǒng)一的。無限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展，同時借助極限法，從有限認(rèn)識無限。例如，在極限式limn→∞xn=a中xn對應(yīng)數(shù)列中的每一項(xiàng)，這些不同的數(shù)值xn既有相對靜止性，又有絕對的運(yùn)動性。數(shù)列中的每一項(xiàng)xn和a都是確定不變的量，是有限數(shù)；隨著n無限增大，有限數(shù)xn向a無限接進(jìn)，正是這些有限數(shù)xn的無限變化，體現(xiàn)了無限運(yùn)動的變化過程，這種無限運(yùn)動變化結(jié)果是數(shù)值。因此在極限思想中無限是有限的發(fā)展，有限是無限的結(jié)果，他們既是對立又是統(tǒng)一的。

極限思想是近似與精確的對立統(tǒng)一。

近似與精確是對立統(tǒng)一的關(guān)系，在一定條件下可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要方法。

在極限抽象的概念中，引入實(shí)例如“圓內(nèi)接正多邊形面積”，其內(nèi)結(jié)多邊形面積是該圓面積的近似值，當(dāng)多邊形的邊數(shù)無限增大時，內(nèi)結(jié)多變形面積無限接近圓面積，取極限后就可得到圓面積的精確值，這就是借助極限法，從近似認(rèn)識精確。又如在極限式limn→∞xn=a中，當(dāng)n無限增大時，數(shù)列的項(xiàng)x1，x2，…，xn反映變量xn無限的變化過程，而a反映了變量xn無限變化的結(jié)果，每個xn都是a的近似值，并且當(dāng)n越大，精確度越高；當(dāng)n趨于無窮時，近似值xn轉(zhuǎn)化為精確值a。雖然近似與精確是兩個性質(zhì)不同、完全對立的概念，但是通過極限法，建立兩者之間的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。因此近似與精確既是對立又是統(tǒng)一的。

極限思想是量變與質(zhì)變的對立統(tǒng)一。

在唯物辨證法中，任何事物都具有質(zhì)和量兩個方面，都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體。質(zhì)是指事物成為它自身并區(qū)別于其他事物的內(nèi)在規(guī)定性，量是指事物存在的規(guī)模、發(fā)展程度和速度，以及它的構(gòu)成成分在空間上的排列組合等可以用數(shù)量來表示的規(guī)定性。量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證關(guān)系。量變是質(zhì)變的準(zhǔn)備，量的變化達(dá)到一定的度，就不可避免地引起質(zhì)變，只有質(zhì)的變化才是事物根本性質(zhì)的變化，量變質(zhì)變規(guī)律在數(shù)學(xué)研究工作中起重要作用。對任何一個單位圓的內(nèi)接正多邊形，事物的質(zhì)是圓的內(nèi)接多邊形，量是內(nèi)接多邊形的邊數(shù)，當(dāng)邊數(shù)無限增加，得到的仍是圓內(nèi)接正多邊形，是量變，不是質(zhì)變，量變體現(xiàn)事物發(fā)展的連續(xù)性，在事物量變過程中，保持事物本身質(zhì)的穩(wěn)定性。但當(dāng)邊數(shù)增加的無限過程中，由于量的動態(tài)變化，多邊形越來越接近圓，為質(zhì)變創(chuàng)造條件，多邊形面積就變轉(zhuǎn)化為圓面積，促進(jìn)量質(zhì)轉(zhuǎn)化，達(dá)到矛盾統(tǒng)一。

極限思想是否定與肯定的對立統(tǒng)一。

任何事物的內(nèi)部都包含著肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的對立統(tǒng)一。單位圓和它的內(nèi)接正多邊形分別是兩個事物的對立面，內(nèi)接正多邊形是事物對自身的肯定，其中也包含著否定，這種內(nèi)在的否定因素是通過圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的改變而體現(xiàn)的。隨著圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐漸增加至無窮時，內(nèi)接多邊形的面積轉(zhuǎn)化為該單位圓的面積，促使該事物轉(zhuǎn)化為自己的對立面，由肯定達(dá)到自身的否定，這體現(xiàn)了否定與肯定的對立；圓的內(nèi)接正多邊形和圓雖是兩個對立的事物，但是二者之間有緊密的聯(lián)系，圓內(nèi)接正多邊形的面積可以轉(zhuǎn)化為圓的面積，而單位圓是通過逐步增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來實(shí)現(xiàn)的，從而建立了這二者的聯(lián)系，體現(xiàn)了否定與肯定的統(tǒng)一。

2極限思想與辨證哲學(xué)的研究意義。

在唯物辯證法中，客觀事物之間相互影響、相互制約和相互作用的關(guān)系無處不在，即使是性質(zhì)完全不同、矛盾對立的兩個事物，也都有其相互聯(lián)系的一面。所以，在微積分的學(xué)習(xí)過程中，不容忽視唯物辯證法普遍聯(lián)系思想的滲透。辯證思維在數(shù)學(xué)思維中的滲透和理解，其實(shí)質(zhì)就是按照唯物辯證法的原則，在聯(lián)系和發(fā)展中把握認(rèn)識對象，在對立統(tǒng)一中認(rèn)識事物。通過上述分析，極限思想貫穿唯物辨證哲學(xué)的范疇，它揭示了變與不變、過程與結(jié)果、有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變的對立統(tǒng)一。我們在理解極限思想時必須把單一、封閉、靜態(tài)的形式邏輯思維提高到多維、開放、動靜態(tài)相結(jié)合的辯證邏輯思維。數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思想的融合是學(xué)好數(shù)學(xué)的高層次要求，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維中的哲學(xué)思想和在哲學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、理解數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要方法和手段。[]

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參考文獻(xiàn)：

沈長華：《微積分概念的發(fā)展及其哲學(xué)解析》[D]；《蘭州大學(xué)碩士學(xué)位論文》2007:10－15。

吳振英、陳湛本：《論極限的思想方法》[J]；《廣州大學(xué)學(xué)報》2003：41