2023屆四川省涼山彝族自治州高三第三次診斷性檢測數(shù)學（理）試題【含答案】

2023屆四川省涼山彝族自治州高三第三次診斷性檢測數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】把已知式兩邊同除，從而利用復數(shù)的除法運算可得結(jié)果.【詳解】由得.故選：C.2．設(shè)集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的解法求得集合，結(jié)合集合交集的概念及運算，即可求解.【詳解】解：由集合，，根據(jù)集合交集的概念及運算，可得.故選：B.3．在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】由等差中項性質(zhì)得，利用等差數(shù)列通項公式求基本量公差，進而寫出通項公式，即可得.【詳解】由題設(shè)，則，而，若等差數(shù)列公差為，則，所以，通項公式為，故.故選：C4．在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)a，b，則的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，求出點所在區(qū)域的面積，再利用幾何概型計算作答.【詳解】依題意，點在約束條件表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式組表示的平面區(qū)域是正方形內(nèi)部，其中，如圖，滿足的事件是正方形內(nèi)，直線右側(cè)的內(nèi)部的點形成的陰影區(qū)域，由得，即，則的面積，而，所以的概率.故選：A5．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，若點是角終邊上一點，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由點坐標作出終邊，根據(jù)三角函數(shù)定義求出和，把化簡再求值即可.【詳解】由題意知，，所以，，因為.故選：C.6．在正方體中，點M是棱的中點，則異面直線BM與AC所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，連，，，（或其補角）是異面直線BM與AC所成的角，解三角形可得解.【詳解】取的中點，連，，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以（或其補角）是異面直線BM與AC所成的角，設(shè)正方體的棱長為，則，，則.所以異面直線BM與AC所成角的余弦值為.故選：C7．專家導航，聚焦課堂．四川省教育科學院5名專家到?jīng)錾侥晨h指導教育教學工作．現(xiàn)把5名專家全部分配到A，B，C三個學校，每個學校至少分配一名專家，每名專家只能到一個學校，其中甲專家不去A學校，則不同的分配方案種數(shù)為（

）．A．100 B．116 C．120 D．124【答案】A【分析】根據(jù)題意甲專家不去A學校，先分配甲專家；然后再對其余4名專家分配，有三種情況討論：沒人與甲同校，有一人與甲同校，有兩人與甲同校，易得其分配種數(shù)；最后利用分步計數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意，先分配甲專家，有2種方法；再分其余的4名專家，分三種情況：沒有專家與甲在同一學校，也就是把4名專家分到其他兩所學校，先把4名專家分成2組，有種分組方法，再分到兩所學校，有種分法；有1名專家與甲在同一學校，其余3名專家分到其他兩所學校，有種分法；有2名專家與甲在同一學校，其余2名專家分到其他兩所學校，有種分法；則不同的分配方法有種.故選：A.8．已知以直線為漸近線的雙曲線，經(jīng)過直線與直線的交點，則雙曲線的實軸長為（

）．A．6 B． C． D．8【答案】C【分析】由題意可得雙曲線過點，分類討論，分別求解當雙曲線的焦點在x軸、y軸時的標準方程，結(jié)合離心率的定義和實軸的概念計算，即可求解.【詳解】由，解得，則雙曲線過點.若雙曲線的焦點在x軸，設(shè)為，由雙曲線的漸近線方程為，得，即，將代入方程，得，有，無解，不符合題意；若雙曲線的焦點在y軸，設(shè)為，由雙曲線的漸近線方程為，得，即，將代入方程，得，有，解得，所以雙曲線的實軸長為.故選：C.9．已知函數(shù)的導函數(shù)，若1不是函數(shù)的極值點，則實數(shù)a的值為（

）．A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)極值點的定義即可求解.【詳解】由題意可知，若1不是函數(shù)的極值點，則，即，當時，，故當，當，因此是的極值點，1不是極值點，故滿足題意，故選：D10．在中，，，，點D在直線BC上，滿足，則（

）．A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，借助平面向量基本定理求出，再用表示，再求出即可.【詳解】在中，因為點D在直線BC上，則存在實數(shù)，使得，即，又，且不共線，于是，因此，而，，，所以.故選：B11．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點M是橢圓C上任意一點，且的取值范圍為．當點M不在x軸上時，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為m，外接圓半徑為n，則mn的最大值為（

）．A． B． C． D．1【答案】C【分析】由的取值范圍為可求出，由正弦定理可得，再由焦點三角形的等面積法可得，所以，求出即可得出答案.【詳解】，，所以，所以，解得：，設(shè)，由正弦定理可得：，，可得：，又因為，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為A，所以，所以，所以，又因為當在短軸的端點時，最大，此時，，，所以，故當時，mn取得最大值為.故選：C.12．設(shè)函數(shù)，若，則a的最小值為（

）．A．e B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，把，轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，求得，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因為，即，即在恒成立，令，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，即為最大值，所以，即，所以實數(shù)的最小值為.故選：D.【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二、填空題13．的展開式中常數(shù)項是______．（用數(shù)字作答）【答案】240【分析】利用二項式定理設(shè)其通項待定系數(shù)計算即可.【詳解】設(shè)的展開式的通項為：，化簡得，令，計算得常數(shù)項的系數(shù)為240.故答案為：240.14．已知數(shù)列的前n項和為，則=___________.【答案】【分析】根據(jù)題中，利用和的關(guān)系式來求解，注意時要檢驗是否符合時的表達式.【詳解】當時，；當時，因為，所以所以；所以；所以當時，是以2為公比的等比數(shù)列；所以，當時，所以，故答案為：15．在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為______．【答案】【分析】作出截面截面，為的中點，則可得截面是邊長為的菱形，求出其面積即可.【詳解】如圖，在正方體中，平面平面，平面與平面的交線必過且平行于，故平面經(jīng)過的中點，連接，得截面，易知截面是邊長為的菱形，其對角線，，截面面積．故答案為：．16．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【分析】先由函數(shù)的定義域化簡函數(shù)方程，再由函數(shù)有兩個零點等價于則函數(shù)圖像與直線有兩個交點，畫出圖像，由圖像可知當直線在之間平移時滿足題意，利用導數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由得，解得，所以函數(shù)的定義域為，所以，所以.令，由函數(shù)有兩個零點得函數(shù)的圖像與直線有兩個交點.由，得，左頂點為，則曲線表示焦點在y軸的橢圓的上半部分，如圖，直線的斜率為1，當直線在之間平移時，直線與曲線有兩個交點.當直線為直線時，直線過點,所以，解得；當直線為直線時，與橢圓相切，設(shè)切點為，則，得切線的斜率為，解得，代入得，所以切線的方程為，令，得，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.三、解答題17．4月23日世界讀書日全稱“世界圖書與版權(quán)日”，又稱“世界圖書日”．最初的創(chuàng)意來自于國際出版商協(xié)會．由西班牙轉(zhuǎn)交方案給了聯(lián)合國教育、科學及文化組織．1995年11月15日正式確定每年4月23日為“世界圖書日”．其設(shè)立目的是推動更多的人去閱讀和寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的文學、文化、科學、思想大師們，保護知識產(chǎn)權(quán)．每年的這一天，世界一百多個國家都會舉辦各種各樣的慶祝和圖書宣傳活動．在2023年世界讀書日來臨之際，某中學讀書協(xié)會為研究課外讀書時長對語文成績的影響，隨機調(diào)查了高三年級100名學生每人每天課外閱讀的平均時長（單位：分鐘）及他們的語文成績，得到如下的統(tǒng)計表：讀書平均時長（單位：分鐘）人數(shù)1030401010語文成績優(yōu)秀2203088(1)試估算該中學高三年級學生每天課外閱讀時間的平均數(shù)，中位數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）(2)以樣本頻率估計概率，現(xiàn)從該學校課外閱讀平均時長在，，的學生中各隨機選取一名學生成績進行研究，記所選出的3名學生中語文成績優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)平均數(shù)為46，中位數(shù)為(2)分布列見解析，【分析】（1）由頻數(shù)分布表中，平均數(shù)和中位數(shù)的定義求即即可；（2）先求出從課外閱讀平均時長在，，的學生中各隨機選取一名學生的語文成績?yōu)閮?yōu)秀的概率，求出X的可能取值和每個X對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學期望的公式求出.【詳解】（1）該中學高三年級學生每天課外閱讀時間的平均數(shù)為，設(shè)中學高三年級學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)為，所以，解得：，該中學高三年級學生每天課外閱讀時間的中位數(shù)為.（2）從課外閱讀平均時長在，，的學生中各隨機選取一名學生的語文成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為，，，∴X的可能取值為0，1，2，3∴所以，X的分布列為X0123P∴.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直線PD與底面ABCD所成的角為．(1)求證：平面平面PAC；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立如下圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）證明：∵平面，且直線PD與平面ABCD所成的角為．∵平面，∴，，，又，∴∵底面ABCD為矩形，且，∴底面ABCD為正方形，∴而，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∵，∴，設(shè)平面MAC的法向量，則，∴又平面PAC的法向量，∴，∴二面角的余弦值為．19．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為．(1)求；(2)延長至,使，若，求的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由余弦定理和三角形的面積公式化簡得到，求得，即可求解；（2）設(shè)，可得，由余弦定理化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由余弦定理可得，因為的面積為，可得，又因為，所以，即，因為，所以.（2）解：如圖所示，因為，設(shè)，則，由余弦定理可得當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．20．已知雙曲線T：的離心率為，且過點．若拋物線C：的焦點F與雙曲線T的右焦點相同．(1)求拋物線C的方程；(2)過點且斜率為正的直線l與拋物線C相交于A，B兩點（A在M，B之間），點N滿足：，求與面積之和的最小值，并求此時直線l的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)條件先計算雙曲線方程，再根據(jù)焦點計算拋物線方程即可；（2）設(shè)l的方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及線段比例關(guān)系將兩個三角形的面積之和轉(zhuǎn)化為A、B兩點的坐標關(guān)系式，再利用基本不等式求最值即可得A、B坐標.【詳解】（1）由題意得：，解之得，即雙曲線的右焦點為，，所以；（2）根據(jù)題意不妨設(shè)直線l的方程為，，，，則由得∴∵，∴，又，同理，∴，當且僅當，時，“＝”成立，即，此時，直線l的方程為．21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當，若兩個不相等的正數(shù)m，n，滿足，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）對求導，討論和，判斷符號，進而確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）不妨設(shè)，要證明，即證明，令，即證明，，求導，分析的單調(diào)性，可得，即可證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，．當時，，∴函數(shù)在上為增函數(shù)；當時，令，得（舍去）或，∴當時，；當時，；∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．（2）當時，，∴，且，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∵有兩個不相等的整數(shù)m，n滿足，∴不妨設(shè)，要證明，即證，即證，又∴即證，即證，即證，令，，則，即證，令，，則，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴，得證．【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究極值點偏移問題，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想同構(gòu)的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.常用方法有如下四種：方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.22．在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求曲線的直角坐標方程；(2)若直線與曲線交于點A，B，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直角坐標與極坐標的互化，結(jié)合余弦二倍角公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，由