收斂些吧,定積分

對于積分我們，一談收斂一般是指的定積分的收斂，因為不定積分積出來的是一個函數(shù)，定積分積出來的是一個數(shù)。不定積分與定積分的區(qū)別請去相應(yīng)的板塊尋找。總之我們談收斂是指定積分，哪怕是負(fù)無窮到正無窮的積分，那也是定積分。積分分為很多情況，有好多的限定公式，其實哪些只是用來描述曲線的一些術(shù)語而已，是數(shù)學(xué)家自己的語言但是表示的內(nèi)容卻非常的明顯。無非分為一下幾種情況，第一在x軸上延申有限，在y軸上延申也有限，即在圖像上表現(xiàn)為一條有限長度的曲線段，這種的積分一定是收斂的，因為面積一定是有限的。第二種是在x軸上無限延伸，在y軸上也無限延伸，在圖形上的表現(xiàn)為一個無窮而且自由的曲線，向著一個方向不斷地延伸，這種積分一定是無法收斂的，因為它的面積是無限的。第三種情況是x軸方向無限伸展但是y軸方向上卻向著y=0無限接近著，表現(xiàn)在圖像上是一條末端無限接近于x軸的曲線，這種積分就有可能收斂，具體收不收斂還要作一番比較才可以定奪，因為有的曲線雖然看起來好像無限接近于x軸但是它的積分曲線（表達(dá)在某一點可以積分多少面積的曲線，就是所謂的原函數(shù)，屬于不定積分。）卻是沒有界的，這也就表明它盡管到了后期積分的能力無限接近于零但是仍然沒有限制，即接近零的速度太慢沒有x軸變化的快，表現(xiàn)在圖像上就是雖然y軸了一些但是因為下降的太慢導(dǎo)致下降一個單位x軸方向出去好幾個單位，而且越到后期越慢，這導(dǎo)致面積仍然在緩慢增加沒有極限，函數(shù)發(fā)散。當(dāng)然這種情況是有一個界限的，那就是-x的次方只要高于1那么它趨向于無窮的時候y軸方向的下降速度就足以抑制x軸的自增加速度，而且越到后期抑制越強(qiáng)烈，逐漸的趨向于零，即x軸動很多個單位y軸也不會下降一個單位即后期隨著Ax的變化Ay趨向于0,所以面積厶x*Ay也趨向于0。所以當(dāng)x的次方數(shù)高于1的時候面積后期趨向于0,即后期面積不增加，所以被積分函數(shù)的面積函數(shù)（原函數(shù)）一定有極限。所以這種情況下積分收斂。與此相反當(dāng)x的次方數(shù)小于1的時候因為后期隨著Ax變化Ay的變化仍然很明顯。第四種是趨向于一個數(shù)的時候y軸趨向于無窮的情況，這種情況與上一種情況類似，因為只要把圖像旋轉(zhuǎn)一下就會變回上面這種情況，所以它根據(jù)Ay的變化情況也會有收斂和不收斂兩種情況存在。這個時候如果不旋轉(zhuǎn)圖像那么我們只要考慮當(dāng)x無限接近于瑕點a（在這里就是趨向于a的時候y趨向于無窮）的時候Ax*Ay是否趨向于0,如果是那么就積分收斂，否則積分發(fā)散。這個時候需要交換自變量從而轉(zhuǎn)換為與第三種情況相同的情況，如果x的次數(shù)大于0小于1那么那么隨著Ay的增加Ax的逐漸變緩即AX*?趨向于0，此時積分收斂。否則積分發(fā)散。好的現(xiàn)在我們明白了它的基本原理，但是數(shù)學(xué)家們?yōu)榱耸贡磉_(dá)更清晰更精簡，便發(fā)明了一些符號，總結(jié)了一些公式，既方便自己人交流，也方便外行的使用。現(xiàn)在我們來一一解析一下這些公式。參考書籍高等代數(shù)上冊，無窮限反常積分的審斂法。定理一在這條定理中假設(shè)了一個向x軸正方向，無窮延伸的定積分。這個定積分的原函數(shù)有界，也就是說隨著x的變化原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)趨向于零而且導(dǎo)數(shù)與x的積永遠(yuǎn)不會大于某個值。而導(dǎo)數(shù)就是這里的定積分的不定積分形式，所以可以轉(zhuǎn)化為△x*Ay也就是定積分的值趨向于一個常數(shù)，因此收斂。（詳細(xì)介紹請參閱定積分與不定積分關(guān)系解析，不定積分的導(dǎo)數(shù)其實是定積分在任意點積分快慢的描述的點的集合，每個點的附近的導(dǎo)數(shù)代表這一點附近積分的快慢，但是原函數(shù)的高度對積分來說并沒有太大的意義，所以用不定積分求定積分的時候用的是差值）。定理二定理2（■比較審斂原理 設(shè)曲數(shù)fvX）在區(qū)間［￡^+x）上連續(xù).如杲I “yIW譏工）（a'*<+*丨*并且| 01）牡收斂"那么 /（X）dr也收般；如a■ ?和心）寸門（Bn嘗八并且J.小皿發(fā)散.那么〔“弘川也踰在這個定理中數(shù)學(xué)家們假設(shè)了這樣一種情況的存在。有兩條曲線，一條低的曲線的任意一點都小于另一條高的曲線，而且還大于零。那么結(jié)論就是如果高的那個函數(shù)可以快速貼近X軸（收斂）那么低的那一條也可以快速貼近X軸（收斂）沒錯這個看起來略微復(fù)雜的公式就是表達(dá)了這個顯而易見的結(jié)論，而且在原函數(shù)層面也可以進(jìn)行理解。我們已經(jīng)知道原函數(shù)有界定積分收斂，那么此時高的曲線的原函數(shù)是高的，低的曲線的原函數(shù)是低的（因為曲線的相對高低與定積分所圍成的面積成正相關(guān)，如果通過平移實現(xiàn)x=0的時候原函數(shù)的值為0的話，原函數(shù)的值就是0到x的定積分）試想高處的曲線已經(jīng)封頂了（有界），那么比它低的曲線也一定有界（高不過高曲線封的頂），而且不會出現(xiàn)波動使其無法收斂的情況，因為積分函數(shù)已經(jīng)規(guī)定大于零了，也就是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不變號，即原函數(shù)單調(diào)。單調(diào)有界必有極限，有極限就收斂。所以原函數(shù)收斂，原函數(shù)又與被積函

數(shù)的積分成線性正相關(guān)（就多了個常數(shù)，因為原函數(shù)的曲線可以在y軸上任意平移，這是由于原函數(shù)的兩個值的差值才等于定積分，所以對于定積分一般情況下只有差值才具有研究意義）所以被積函數(shù)的積分也收斂，即定積分收斂。（定積分的本質(zhì)是一個極限，準(zhǔn)確地說的是積的和的極限）。總之就是一張圖，一條線在上，一條線在下，兩條線不會改變前進(jìn)方向，在上面的一條線限制了在下面的一條線，，上面的一條線有高度限制，下面的一條線便也有了高度限制。定理四：訂出較審敘注1為歴硒?定理4｛扱限審斂法I〕 .訂出較審敘注1為歴硒?定理4｛扱限審斂法I〕 .— __，- ■"*存在常數(shù)尸1*使得丄匹工?。ㄘimxf{x)=e/>0(=￡limxf(^)=+ ),那么反常積分| /(-f)dx發(fā)散.^?+■5 J!—-fW J這個定理中數(shù)學(xué)家假設(shè)了一個曲線f（X）乘以x的p次方的時候是是常數(shù),這是說明什么呢？其實這只是表明f（X）中包含的最高項X的p次方之一，只有這樣當(dāng)X趨向于正無窮的時候才有可能出現(xiàn)常數(shù)，也就是以前常說的等價無窮小。（把正無窮稍微一轉(zhuǎn)化就是等價無窮小了，其次這里牽涉到積分變積分變量要換積分上下限的問題，根本原因還是定積分是一個極限，當(dāng)然從圖像上也能解釋）現(xiàn)在事情已經(jīng)很明了了，這條定理就是定理三的變形，其中定理三中我們說到當(dāng)一個原函數(shù)的曲線在另一條可收斂的原函數(shù)曲線下方的時候這個原函數(shù)也收斂，反之當(dāng)一個原函數(shù)的曲線在另一條發(fā)散原函數(shù)的上方的時候這個原函數(shù)也發(fā)散。通過極限的證明（1/X的p次方當(dāng)p趨向于1時，X趨向于無窮的時候的極限）1/X為一條分界線它的原函數(shù)為Inx，如果原函數(shù)的曲線在Inx之上那么此積分發(fā)散，否則次積分收斂，其次當(dāng)與Inx重合的時候此積分發(fā)散。表現(xiàn)在被積函數(shù)上就是當(dāng)x趨向于正無窮的時候比1/x接近x軸快的就可以收斂，否則發(fā)散。例如1/x的平方就是發(fā)散的，1/錯誤!也是發(fā)散的，而1/xA2是收斂的。所以說原文中p才會區(qū)分大于一和大于零小于等于一。大于一說明原式中的最高次項是一個x的大于一的次方項，當(dāng)這個項趨向于正無窮的時候比1/x“更猛烈”的趨向x軸一些，它的原函數(shù)也是在Inx之下的（當(dāng)然是指x趨向正無窮的時候）定理五：這個定理就與上兩個定理不是相同的了，在這條定理中，數(shù)學(xué)家假設(shè)了一個當(dāng)x趨向于正無窮的時候絕對值收斂的這樣的一個定積分，那么它的原函數(shù)一定有界而且單調(diào)，這樣就算去掉絕對值會導(dǎo)致原函數(shù)發(fā)生部分反轉(zhuǎn)，也絕對不會影響到原函數(shù)的有界性，因為從圖像上可以直觀的感受到一個有界的函數(shù)是不可能通過沿x軸的翻轉(zhuǎn)變?yōu)闊o界的。定理六：）設(shè)函數(shù)yu）在區(qū)間（sH上連續(xù)，且f"）池口骨數(shù)忖丸及仔！.使得在這條定理中，他們就是假設(shè)了一種當(dāng)x趨向于某個常數(shù)的時候y趨向于無窮的圖像(瑕點，又稱為無界間斷點，指在f(x)在常數(shù)c的鄰域內(nèi)無界)這時候我們又要找一些參照物了，恰好1/x在x趨向于0+的時候剛好是一個臨界值，當(dāng)然1/x對x積分本身就是發(fā)散的。因此在瑕

點c附近如果升高的慢于1/X那么就收斂，如果快于1/X就發(fā)散，顯然當(dāng)X的p次方的p大于1的時候快于1/X因此如果X的p次方的p大于1的時候原函數(shù)無界，定積分發(fā)散。而X-a的目的是為了將X=0這一條限制去掉1/x當(dāng)x趨向于0的時候就可以寫成1/（X-0）這里的0就是常數(shù)c（也就是原文中的a）定理七鋰7（極限審斂法2）設(shè)函數(shù)心在區(qū)的瑕點.如果存在常數(shù)0<9<1,使得 …上速顒尼lim（x-a）x）HT胡*r（兀）上收斂r（兀）上收斂；如果這個定理