2023學年完整公開課版反證法

4.6反證法數(shù)學浙教版八年級下一、教學目標：1、了解反證法的含義和反證法的基本步驟；2、會利用反證法證明簡單命題；3、了解定理“在同一平面內(nèi)，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么和另一條也相交”、“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”。二、重點：反證法的含義和步驟；難點：課本“合作學習”要求用兩種方法完成平行線的傳遞性的證明，有較高難度。三、教學方法及手段：討論法和練習法。四：教學思路：情境引入，概念教學，例題講解，小結，提升拓展。編寫日期：

月

日授課日期：

月

日路邊苦李

王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動.王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.

王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運用了怎樣的推理方法?小故事:這與事實矛盾。說明李子是甜的這個假設是錯的還是對的？假設李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會這么多嗎？所以，李子是苦的在證明一個命題時,先假設命題不成立，從這樣的假設出發(fā),經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、公理、定理等矛盾，從而得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法.反證法定義:反證法的步驟一、提出假設二、推理論證三、得出矛盾四、結論成立以假設為條件，結合已知條件推理，得出與已知條件或是正確命題相矛盾的結論這與“......”相矛盾所以假設不成立，所求證的命題成立假設待證命題不成立，或是命題的反面成立。[能力測試]寫出下列各結論的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正數(shù)；（4）a⊥ba<0b是0或負數(shù)a不垂直于ba∥b應用新知在△ABC中，AB≠AC,求證：∠B≠

∠

CABC證明：假設

，則（）這與

矛盾．假設不成立．∴

．∠B＝

∠

CAB＝AC等角對等邊已知AB≠AC∠B≠

∠

C小結：

反證法的步驟：假設結論的反面不成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結論正確嘗試解決問題感受反證法:例1求證：四邊形中至少有一個角是鈍角或直角。已知：四邊形ABCD求證：四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角。ADCB這于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假設＿＿＿＿＿＿，所以，所求證的結論成立．證明：假設四邊形ABCD中沒有一個角是鈍角或直角，即∠Ａ＿＿90°，∠Ｂ＿＿90°，∠Ｃ＿＿90°,∠D＿＿90°則∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ+∠D＿＿360°，

點撥：至少的反面是沒有！練習：1.用反證法證明（填空）：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角不小于60°已知：如圖，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的內(nèi)角求證：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一個角不小于600.證明：假設所求證的結論不成立，即∠Ａ＿＿60°，∠Ｂ＿＿60°，∠Ｃ＿＿60°則∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜1800這于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假設＿＿＿＿＿＿，所以，所求證的結論成立．＜＜＜三角形三個內(nèi)角的和等于180°不成立ＡＢＣ假設l3∥l2，即l3與l2相交，記交點為P已知：如圖，直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3∥l1，l3∥l2求證：而l1∥l2,l3∥l1這與“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾，所以假設不成立，即l3∥l2證明：l1l3l2P例2、求證：在同一個平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也會互相平行。練習2

:求證：在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3與l1相交于點P.求證:l3與l2相交.l1l2l3Pl3與l2不相交.l3∥l2l1∥l2

經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行這與“_________________________________________”矛盾.證明:假設____________,那么_________.因為已知_________,所以_________,即求證的命題正確.所以過直線l2外一點P,有兩條直線和l2平行,假設推理矛盾假設不成立命題成立證明：假設a與b不止一個交點，不妨假設有兩個交點A和A’。因為兩點確定一條直線，即經(jīng)過點A和A’的直線有且只有一條，這與與已知兩條直線矛盾,假設不成立。

所以兩條直線相交只有一個交點。小結：根據(jù)假設推出結論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學過的定理、公理矛盾3求證:兩條不重合的直線相交只有一個交點。已知：如圖兩條相交直線a、b。求證：a與b只有一個交點。abA●A，●4.求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3與l1相交于點P.求證:l3與l2相交.證明:假設____________,那么_________.因為已知_________,這與“____________________________________”矛盾.所以假設不成立,即求證的命題正確.l1l2l3Pl3與l2不相交.l3∥l2l1∥l2

經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線平行于已知直線所以過直線l2外一點P,有兩條直線和l2平行,B班做5、用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角．分析：解題的關鍵是反證法的第一步否定結論，需要分類討論.已知：在△ABC中，AB=AC.求證：∠B、∠C為銳角.證明：假設等腰三角形的底角不是銳角，那么只有兩種情況：(1)兩個底角都是直角；(2)兩個底角都是鈍角；B班做（1)由∠A=∠B=90°則∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°這個假設不成立.(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，則∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾.∴兩個底角都是鈍角這個假設也不成立．故原命題正確

∴等腰三角形的底角必定是銳角.說明：本例中“是銳角(小于90°)”的反面有兩種情況，這時，必須分別證明命題結論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結論一定正確.此題是對反證法的進一步理解.假設結論的反面正確推理論證得出結論回顧與歸納反證法反設