人口模型專題

人口模型專題第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六ThomasRobertMalthus（1766-1834）是美國的一名牧師。1798年提出Malthus人口模型，此模型對1700—1961年這段時期的人口應(yīng)用十分的精準(zhǔn)。（指數(shù)增長模型）

在人口自然增長的過程中，經(jīng)相對增長率（出生率和死亡率）是常數(shù)，即單位時間內(nèi)人口增長量與人口成正比，比例系數(shù)為r。1、主要假設(shè)Malthus模型2、模型的建立第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst于1838年提出Logistic模型（阻滯增長模型）1、主要假設(shè)

此模型修改了Malthus模型r為常數(shù)的假設(shè)，認(rèn)為r應(yīng)為N的函數(shù)。設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量為Nm，并設(shè)定凈增長率：當(dāng)N(t)→Nm時，r(N)？第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六2、模型的建立由左式可知，可用分離變量法求解非線性微分方程，且Logistic模型就是一個Bernoulli方程的初值問題。3、模型求解第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

本模型在1790-1930年間較為符合實際，但是在1940-1980年間，卻與實際的偏差較大。為什么？1、人口數(shù)已經(jīng)超出了所設(shè)的Nm。2、大幅度的移民和戰(zhàn)爭等相關(guān)因素。3、Nm不易確定，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，Nm的值不斷增大。

前面的兩種模型，都將總數(shù)看作是處于同等地位的成員組成。這簡化了問題，但是嚴(yán)格來講是不科學(xué)的，應(yīng)該根據(jù)成員的年齡分組，并且將性別分別考慮。第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六人口發(fā)展方程1、主要假設(shè)

只考慮自然的出生死亡，不考慮遷移等社會因素的影響，考慮年齡結(jié)構(gòu)。2、模型的建立

在時刻t，年齡小于r的人口數(shù)記作F(r,t)，t和r均為連續(xù)變量。設(shè)F是連續(xù)可微函數(shù)，稱為為人口分布函數(shù)。時刻t的人口總數(shù)為N(t)。最高年齡記作rm

。于是對于非負(fù)非降函數(shù)F(r,t)有：將p(r,t)定義為年齡密度函數(shù)。p(r,t)非負(fù)且p(rm,t)=0記p(r,t)dr為時刻t年齡在區(qū)間[r,r+dr)內(nèi)的人數(shù)。第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

記μ(r,t)為時刻t年齡r的人的死亡率。其含義是：μ(r,t)p(r,t)dr表示時刻t年齡在[r,r+dr)內(nèi)單位時間死亡的人數(shù)。為了得到p(r,t)滿足的方程，考察時刻t年齡在[r,r+dr)內(nèi)的人到時刻t+dt的情況。他們中活著的那一部分人的年齡變?yōu)閇r+dr1,r+dr+dr1)。這里dr1=dt.而在dt這段時間內(nèi)死亡的人數(shù)為μ(r,t)p(r,t)drdt,于是也可寫作第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六上式中，帶入dr1=dt就可以得到：得到人口發(fā)展模型實際上，這是年齡密度函數(shù)p(r,t)的一階偏微分方程，其中死亡率μ(r,t)為已知函數(shù)。兩個定解條件：1）初始密度函數(shù)記作p(r,0)=p0(r)；2）單位時間內(nèi)出生的嬰兒數(shù)記作p(0,t)=f(t),稱為嬰兒出生率。這里p0(r)可由人口調(diào)查資料得到，是已知函數(shù)；f(t)則對預(yù)測和控制人口起著重要作用。第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六于是得出連續(xù)型人口發(fā)展模型：

此方程描述了人口的演變過程，從這個方程確定出密度函數(shù)p(r,t)以后，立即可以得到各個年齡的人口數(shù)，即人口分布函數(shù)第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六3、模型求解

該方程的求解過程比較復(fù)雜，這里給出一種特殊情況下的結(jié)果。在社會安定的局面下和不太長的時間內(nèi)，死亡率大致與時間無關(guān)，于是可以近似的假設(shè)μ(r,t)=μ(r)，這時的解為：這個解在t~r平面上有一個淺顯的解釋：如何驗證？第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六右圖中，對角線r=t（t，r>0）分為兩個部分。

在t<r的區(qū)域，p(r,t)完全由年齡為r-t的人口初始密度p0(r-t)和這些人的死亡率μ(s)(r-t≤s<r)決定；而在t>r區(qū)域，p(r,t)則由未來的生育狀況f(t-r)及死亡率μ(s)(0≤s<r)決定。第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六4、討論生育率和生育模式

在發(fā)展方程及解中p0(r)和μ(r)可以從人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到。μ(r,t)也可以由μ(r,0)粗略估計，這樣，為了預(yù)測和控制人口的發(fā)展?fàn)顩r，人們主要關(guān)注的可以用作控制手段的就是嬰兒出生率f(t)。對f(t)進(jìn)一步分解：

記女性性別比函數(shù)為k(r,t)，即時刻t年齡在[r,r+dr]的女性人數(shù)為k(r,t)p(r,t)dr,將這些女性在單位時間內(nèi)的平均每人的生育數(shù)記作b(r,t)，設(shè)育齡區(qū)間為[r1,r2],則：第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六其中β(t)的直接含義是時刻t單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)。

如果所有育齡女性在她育齡期所有的時刻都保持這個生育數(shù)，那么β(t)也表示平均每個女性一生的總和生育數(shù)。所以β(t)稱為總和生育率（簡稱生育率或生育胎次）。第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六h(r,t)是年齡為r的女性的生育加權(quán)因子，稱為生育模式。在穩(wěn)定環(huán)境下可以近似的認(rèn)為它與t無關(guān)即h(r,t)=h(r)。h(r)表示了在那些年齡生育率高，那些年齡生育率低。在r=rc附近生育率最高由人口統(tǒng)計資料可以知道當(dāng)前實際的h(r,t)。作理論分析時，人們常采用的h(r)的一種形式是借用概率論中的Γ分布：取θ=2，α=n/2，這時有rc=r1+n-2可以看出，提高r1意味著晚婚，而增加n意味著晚育。第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

這樣，人口發(fā)展方程①和單位時間內(nèi)出生的嬰兒數(shù)f(t)的表達(dá)式②構(gòu)成了連續(xù)型人口模型。模型中死亡率函數(shù)W(r,t)，性別比函數(shù)k(r,t)和初始密度函數(shù)P0(t)可由人口統(tǒng)計資料直接得到，或在資料的基礎(chǔ)上估計，而生育率β(t)和生育模式h(r,t)，則是可以用于控制人口發(fā)展過程的兩種手段，β(t)可以控制生育的多少，h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密，我國的計劃生育政策正是通過這兩種手段實施的。

從控制論觀點看，在方程①描述的人口系統(tǒng)中P(r,t)可視為狀態(tài)變量，P(0,t)=f(t)視為控制變量，是分布參數(shù)系統(tǒng)的邊界控制函數(shù)，②式表明控制輸入中含有狀態(tài)變量，形成狀態(tài)及饋，β(t)視為及饋增益，并且這是一種正及饋，即人口密度函數(shù)P(r,t)的增加，通過嬰兒出生率f(t)又使P(r,t)進(jìn)一步增長。第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

方程的解*式中因子f(t-r)表明這種反饋還有相當(dāng)大的滯后作用，所以一旦人口政策失誤，使P(r,t)在一段時間內(nèi)增長得過多過快，再想通過控制手段β(t)和P(r,t)把人口增長的勢頭降下來，非常困難并且需要相當(dāng)長（幾代人）的時間。

人口指數(shù)

在上面的模型中密度函數(shù)P(r,t)或分布函數(shù)f(r,t)固然是人口發(fā)展過程最完整的描述，但是使用起來并不方便，在人口統(tǒng)計學(xué)中常用一些所謂的人口指數(shù)來簡明扼要地表達(dá)一個國家或地區(qū)的人口特征。第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六1°人口總數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六3°平均壽命S(t)

它表示時刻t出生的人不論活到什么時候，死亡率都是按時刻t的W(r,t)計算，這些人的平均存活時間

S(t)實際上是預(yù)估壽命，通常說目前平均壽命已達(dá)到多少歲了，是指今年出生嬰兒的預(yù)估壽命，即S(0)，根據(jù)統(tǒng)計資料得到當(dāng)前的死亡率W(r,0)后，就可以算出S(0)。第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六4°老齡化指數(shù)W(t)若R(t)遞增，則W(t)也是遞增的

5°依賴性指數(shù)ρ(t)

其中［L1,L2］和［L1’,L2’］分別是男性和女性有勞動能力的年齡區(qū)間，L(t)是全體人口中有勞動能力的年齡區(qū)間，L(t)是全體人口中有勞動能力的人數(shù)，所以依賴性指數(shù)ρ(t)表示平均每個勞動者要供養(yǎng)的人數(shù)。第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

4.人口發(fā)展方程的離散模型

因在連續(xù)模型中，得了一些理論的分析結(jié)果，但是在實際應(yīng)用中不方便，需要建立相應(yīng)的離散模型，因為:

第一，作為已知條件（輸入）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)都是離散的，如果某年各個年齡的女性生育率，死亡率，性別比例。

第二，作為結(jié)果（輸出）人們希望得到的數(shù)據(jù)也是離散如2000年，2020年，2050年…..的人口總數(shù)，各個人口指數(shù)人口的年齡分布等：第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

第三，連續(xù)模型解的表達(dá)式中包含了未知函數(shù)，用解析方程迭代求解是非常困難的，與其用數(shù)值方法解連續(xù)模型，不如直接建立離散模型。

一般時間以年為單位，年齡按周計算，設(shè)最年齡為m發(fā)，現(xiàn)Xi(t)為第t年i歲（滿i周歲而不到i+1）的人數(shù)。t=0,1,2┅,i=0,1,2┅m.

只考慮由于生育，老在和死亡引起的人口演變，而不計遷移等社會因素的影響，記di(t)為第t年i歲人口的死亡率，即第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六i=0，1，2……m-1，t=0,1,2……

但bi(t)為第t年i發(fā)女性生育率，即每位女性平均生育嬰兒數(shù)，［i1,i2］為育齡區(qū)間，Ri(t)為第t年i歲人口的女性比，則第t年的出生人數(shù)為第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

記d00(t)為第t年嬰兒死亡率，即第t年出生但未活到人口統(tǒng)計時刻的嬰兒比例：對于i=0將②，③帶入①得第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六利用⑥式對⑤式求和得到第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

可知β(t)表示第t年每個育齡婦女平均生育的嬰兒數(shù)，若設(shè)在t年后的一個育齡時期內(nèi)各個年齡的女性生育率bi(t)都不變，那么β(t)又可表為

則β(t)是第t年i1歲的每位婦女一生平均生育的嬰兒數(shù)，稱總和生育率，或生育胎次，是控制人口數(shù)量的主要參數(shù)。第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六將⑤式帶入④式，并記

則④式寫作

引入變量，矩陣記號第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六那么⑩和①式（i=1,2┅m-1）可以換作

這個向量形成的一階差分方程就是人口發(fā)展方程，當(dāng)初始人口分布x(0)已知，又由統(tǒng)計資料確定了A(t),B(t),并且給定了總和生育β(t)以后，用這個方程不難預(yù)測人口的發(fā)展過程。

在控制理論中X(t)稱狀態(tài)變量，可將β(t)作為控制變量，因為對于β(t)和X(t)分別是線性的，所以是雙線性方程，有控制可得出其性質(zhì)和解法，在此不加以討論。在穩(wěn)定的社會環(huán)境下可以認(rèn)為死亡率，生育模式和女性比不隨時間變換，于是A(t),B(t)為常數(shù)矩陣，⒁化為第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六人口指數(shù)1°人口指數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)

第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六3°平均壽命S(t)4°老齡化指數(shù)W(t)

W(t)<0.5時屬于青壯年型社會。第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六5°依賴性指數(shù)ρ(t)L1,L2］和［L1’,L2’］是男性和女性勞動力的年齡區(qū)間，L(t)是有勞動能力的人口數(shù)，于是ρ(t)表示每個勞動力需供養(yǎng)的人口數(shù)。我國e=0.985（1978）.世界平均ρ=0.695第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六5隨機人口模型背景

一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(t)~時刻t

的人口,隨機變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六若X(t)=n,對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。

bn與n成正比，記bn=n,~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，~死亡概率。進(jìn)一步假設(shè)模型假設(shè)第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六建模為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t)=P(X