乘法原理與加法原理

乘法原理與加法原理第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六分類計數(shù)原理問題1.

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析:從甲地到乙地有3類方法,

第一類方法,乘火車，有4種方法;

第二類方法,乘汽車，有2種方法;

第三類方法,乘輪船,有3種方法;

所以從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法。第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六分類計數(shù)原理加法原理做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

N=m1+m2+…+mn

種不同的方法。第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六

分析:從A村經(jīng)B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3種方法,

第二步,由B村去C村有2種方法,

所以從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的方法。分步計數(shù)原理

問題2.如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六分步計數(shù)原理

乘法原理做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有

N=m1×m2×…×mn

種不同的方法。第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六

例1.

書架的第一層放有4本不同的計算機書,第二層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1,2,3層各取一本書,有多少種不同的取法?例題講解

例2.一種號碼鎖有4個撥號盤,每個盤上有0到9共10個數(shù)字,這4個撥號盤可以組成多少個4位數(shù)字號碼?

例3.要從甲乙丙3名工人種選出2名分別上日班和晚班,有多少種不同的選法?第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六課堂練習(xí)1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六課堂練習(xí)3.如圖,一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？A1B1C1D1ACDB第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六課堂小結(jié)相同點:回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問題．分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的異同:區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用任何一種方法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六1、把四封不同的信任意投入三個信箱中,不同投法種數(shù)是()A.12B.64C.81D.72、火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有（）種A.510B.105C.50D.以上都不對CA4．5個高中應(yīng)屆畢業(yè)生報考3所重點院校，每人報且僅報一所院校，則不同的報名方法共有（）種。

（A）35

（B）53

（C）15（D）63．如圖：甲乙，在兒童公園中有四個圓圈組成的連環(huán)道路，從甲走到乙，不同的路線的走法有（）。

（A）2種（B）8種（C）12種（D）16種DA第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六6．某鎮(zhèn)有三家旅店，現(xiàn)有5名旅客住店，則不同的投宿方法有

種。7．三位正整數(shù)全部印出，“0”這個鉛字需要用

個。8．直線l上有7個點，直線m上有8個點，則通過這些點中的兩點最多有

條直線。9．事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生，若A發(fā)生的方式有m種，B發(fā)生的方式有n種，則A、B相繼發(fā)生的方式有

種。24318058mn第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六例1

一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同．(1)從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？(2)從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？解：(1)從兩個口袋內(nèi)任取1個小球，有兩類辦法：第一類辦法是從第一個口袋內(nèi)任取1個小球，可以從5個小球中任取1個，有5種方法；第二類辦法是從第二個口袋內(nèi)取小球，可以從4個小球中任取1個，有4種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是N＝m1＋m2＝5＋4＝9．答：從兩個口袋內(nèi)任取1個小球，有9種不同的取法．例題講解(2)從兩個口袋內(nèi)各取1個小球，可以分成兩個步驟來完成：第一步從第一個口袋內(nèi)取1個小球，有5種方法；第二步從第二個口袋內(nèi)取1個小球，有4種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是N＝m1×m2＝5×4＝20答：從兩個口袋內(nèi)各取1個小球，有20種不同的取法．第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六①

⑤②③④例2、

用紅、黃、藍(lán)3種顏色給下圖中①②③④⑤五個區(qū)域涂色，要求相鄰兩個區(qū)域的顏色不同，有多少種不同的涂法？解：涂色可分5步進行：第一步：涂區(qū)域①，有3種選擇；第二步：涂區(qū)域②，有2種選擇；第三步：涂區(qū)域③，有1種選擇；第四步：涂區(qū)域④，有1種選擇；第五步：涂區(qū)域⑤，有2種選擇；由分步計數(shù)原理得，涂法數(shù)為3×2×1×1×2=12例題講解第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六例3．甲、乙兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)為60，求甲、乙兩數(shù)的公約數(shù)共有多個？例4．從{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3個不同的數(shù)作為拋物線方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系數(shù)，如果拋物線過原點，且頂點在第一象限，這樣的拋物線共有多少條？例題講解第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六例5．電視臺在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的群眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多少種不同的結(jié)果？例題講解第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六強化練習(xí)1．已知集合A={x|－2≤x≤10，x∈Z}，m,n∈A，方程表示長軸在x軸上的橢圓，則這樣的橢圓共有（A）45個（B）55個（C）78個（D）91個2．某賽季足球比賽的計分規(guī)則是，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，一球隊打完15場，積33分，若不考慮順序，則該隊勝、平、負(fù)的情況可能有

種。33．（1）若x,y∈N且x+y≤6，則有序自然數(shù)對(x,y)有

個；（2）若1≤x≤4,1≤y≤5，以有序整數(shù)對(x,y)為坐標(biāo)的點有

個。2820第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六強化練習(xí)4．72含有

個正約數(shù)，在這些約數(shù)中，正偶數(shù)有

個。1295．用五種不同的顏色給圖中四個區(qū)域涂色，如果每一區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能同色，那末涂色的方法有

種。2407．由壹元幣3張，伍元幣1張，拾元幣2張，可以組成

種不同的幣值。23第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六8．現(xiàn)由某校高一年級四個班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別為7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組．（1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？（3）推選二人做中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？強化練習(xí)第十八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六9．從1，2，3，4，7，9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可得