圖形的旋轉(zhuǎn) 市賽獲獎

3.2圖形的旋轉(zhuǎn)

浙教版九年級上新知導(dǎo)入

情境引入上面的運動現(xiàn)象中，有哪些共同的特點?繞同一個固定的點，按同一個方向，旋轉(zhuǎn)同一個角度。

合作學(xué)習(xí)

在平面內(nèi)，一個圖形繞著一個定點（如點O）按照一定的方向旋轉(zhuǎn)一定的角度θ，得到另一個圖形的變換，叫做旋轉(zhuǎn)。定點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，θ叫做旋轉(zhuǎn)角。原圖形上的一點A旋轉(zhuǎn)后成為點A’，這樣的兩個點叫做對應(yīng)點.平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)既可按逆時針方向也可按順時針方向1.下圖是風(fēng)車風(fēng)輪中的兩張葉片，葉片B能由葉片A軸對稱變換得到嗎？2.你有什么辦法使這兩張葉片A和B重合呢？不能旋轉(zhuǎn)：繞點O順時針旋轉(zhuǎn)900BO提煉概念

怎樣來描述旋轉(zhuǎn)呢？

旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角

旋轉(zhuǎn)方向必須明確

確定一個圖形的旋轉(zhuǎn)時,溫馨提示：①旋轉(zhuǎn)的范圍是“平面內(nèi)”，其中“旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度”稱之為旋轉(zhuǎn)的三要素；②旋轉(zhuǎn)變換同樣屬于全等變換.OPQ答：以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向，旋轉(zhuǎn)90°如圖，經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換，可由射線OP得到射線OQ？oAB如圖，以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)變換后的像．ABO如圖：點O是線段AB外一點，以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°,作出旋轉(zhuǎn)變換后的像.典例精講

新知講解

例1、如圖，O是△ABC外一點.以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)80°，作出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的圖形.1.以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，分別把點A,B,C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)80°，得到點A’,B’,C’.2.連結(jié)A’B’,B’C’,C’A’,△A’B’C’就是所求作的經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的圖形.探究：1.在圖形的旋轉(zhuǎn)過程中,哪些發(fā)生了改變?哪些沒有發(fā)生改變?2.分別連結(jié)對應(yīng)點A、A/與旋轉(zhuǎn)中心O，量一量線段OA與線段OA/,它們有什么關(guān)系?任意找一對對應(yīng)點,量一下對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?3.量一下∠AOA/的度數(shù)，再任意找?guī)讓?yīng)點，分別量一下對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角的度數(shù)，你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等;對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等歸納概念

是不是所有圖形的旋轉(zhuǎn)變換都存在：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度？一般地，圖形的旋轉(zhuǎn)變換有下面的性質(zhì)：一、旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大?。?、對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．三、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度．BAOCBAOCBACOEFG平移：

.旋轉(zhuǎn)：

.平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)的異同：

不同：運動方式沿某一條直線繞著一個點

都是一種圖形運動，運動前后不改變圖形的形狀和大小，只改變位置，因而也叫做圖形的全等變換.軸對稱：

.沿某一條直線例2如圖,矩形AB’C’D’是矩形ABCD以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°所得的圖形.求證：對角線BD與對角線B’D’所在的直線互相垂直.證明如圖，線段D'B'由對角線DB經(jīng)旋轉(zhuǎn)得到，延長D'B'，交DB于點E.又∵∠D'AD=90°(一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度)，在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∴點D',A,B在同一條直線上.∵Rt△D'AB'≌Rt△DAB(圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等)，∴∠AD'B'+∠ADB=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠AD'B'+∠ADB=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠D'EB=180°-(∠AD'B'+∠ABD)=180°-90°=90°，即BD⊥B'D'.課堂練習(xí)1．一個圖形無論經(jīng)過平移還是旋轉(zhuǎn)，有以下說法：①對應(yīng)線段平行；②對應(yīng)線段相等；③對應(yīng)角相等；④圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化．其中正確的是 (

)A．①②③B．①②④C．①③④ D．②③④D2．如圖所示，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A′OB′可以看作是由△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角度得到的．若點A′在AB上，則旋轉(zhuǎn)角α的大小可以是

(

)CA．30° B．45°C．60° D．90°【解析】∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.∵△A′OB′可以看作是由△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角度得到的，∴OA＝OA′.∴△OAA′是等邊三角形．∴∠AOA′＝60°，即旋轉(zhuǎn)角α的大小可以是60°.3．如圖所示，兩個全等的正方形ABCD與CDEF，旋轉(zhuǎn)正方形ABCD能和正方形CDEF重合，則可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有______個．3【解析】①以C為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形CDEF；②以D為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形CDEF；③以CD的中點為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°，可得到正方形CDEF.綜上所述，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有3個；4.如圖所示，已知四邊形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，使得點A落在點A′處，試作出旋轉(zhuǎn)后的圖形．解：圖略．作法：(1)連結(jié)OA，OA′.(2)連結(jié)OB，OC，OD，分別以O(shè)B，OC，OD為始邊，點O為頂點順時針作∠BOB′，∠COC′，∠DOD′，并使得∠BOB′＝∠COC′＝∠DOD′＝∠AOA′，OB′＝OB，OC′＝OC，OD′＝OD.(3)順次連結(jié)A′，B′，C′，D′四點．則四邊形A′B′C′D′就是所要作的圖形．【點悟】旋轉(zhuǎn)作圖的依據(jù)是圖形上每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，這是旋轉(zhuǎn)的基本規(guī)律，也是我們作圖的依據(jù)，對于旋轉(zhuǎn)作圖，應(yīng)先確定圖形的“關(guān)鍵點”，以局部帶動整體進行旋轉(zhuǎn)．5.如圖所示，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，將△OAB繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△OA1B1.(1)線段OA1的長是______.∠AOB1的度數(shù)是________；(2)連結(jié)AA1，求證：四邊形OAA1B1是平行四邊形；(3)求四邊形OAA1B1的面積．解：(1)OA1＝OA＝6，∠AOB1＝∠A1OB1＋∠AOA＝45°＋90°＝135°(2)證明：∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°，∴OA∥A1B1，又OA＝AB＝A1B1，∴四邊形OAA1B1是平行四邊形；(3)四邊形OAA1B1的面積＝OA·OA1＝6×6＝36.【點悟】(1)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等；(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．課堂小結(jié)1．旋轉(zhuǎn)的概念旋轉(zhuǎn)：一般地，一個圖形變?yōu)榱硪粋€圖形，在運動過程中原圖形上所有的點都繞一個固定的點，按同一個方向，轉(zhuǎn)動同一個角度，這樣圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)．固定的點叫做_____________，轉(zhuǎn)動的角叫做___________．旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角注意：(1)旋轉(zhuǎn)中心是點，而不是直線，如生活中的開門、關(guān)門是繞軸旋轉(zhuǎn)一定的角度．不屬于我們研究的繞定點旋轉(zhuǎn)；(2)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，圖形上任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角．2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)性質(zhì)：