一元線性回歸效果的顯著性檢驗(yàn)

一元線性回歸效果的顯著性檢驗(yàn)(相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法)為了檢驗(yàn)兩個(gè)變量ay之間是否具有顯著的線性關(guān)系，我們介紹了一元線性回歸效果的顯著性檢驗(yàn)(尸檢驗(yàn)法),這里我們介紹另一種檢驗(yàn)方法-相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法.為了檢驗(yàn)假設(shè):H0：b=0,H1：bN0.根據(jù)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)3,,y)(i=1,2…,n),由一元線性回歸中未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)中的結(jié)論知回歸直線方程為：M也—一其中勺&=i,TOC\o"1-5"\h\zW-2"2 -2Lyx=2(z2—-部1=1 !=1,M — —K ￡節(jié)=SU-工)3-p)=E啟丫廣]=1 2=1,h—2H2 —2或= -y)=2k一p2=1 3-1此統(tǒng)計(jì)量稱為相關(guān)系數(shù).而回歸平方和:u=W&-y)"=兄心2=1誤差平方和:T 工￡計(jì)7,日孫￡用一 ￡號(hào)、=上網(wǎng)_ 7 =上網(wǎng)'、 7—7 J=Lyy(W.u=Y(y~y)4 - -=。或[其中 閂3 是回歸值■與其平均值'的離差平方和，而"口 君，可JX以把乙一’看成是由于X的變化而引起的>值變化，因此稱之為回歸平方和；@=Ztv；-~y^閂''反映的是觀測(cè)值與回歸值之間的離差平方和，它表示除X對(duì)>的線性影響之外的一切因素引起的>值的變化，稱之為誤差平方和或殘差平方和.]不難看出，由于QN0,乙尸0,故1-小0,即OWIrlWl.Irl越接近1，Q越小，回歸方程對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合程度越好；反之，lrI越接近0,Q越大，回歸方程對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合程度越差.下面利用散點(diǎn)圖具體說明，當(dāng)r取各種不同數(shù)值時(shí)，散點(diǎn)分布的情形，見下圖.具體說明如下：(1)當(dāng)r=0時(shí)，Ly=0,因此&=。，回歸直線平行于X軸，說明y的取值與X無關(guān).注意，此時(shí)X與y可能存在其他非線性關(guān)系.⑵當(dāng)lrl=1時(shí)，Q=0,從而y=$這時(shí)所有的點(diǎn)都在回歸直線上，此時(shí)X與y存在確定的線性函數(shù)關(guān)系，稱X與y完全線性相關(guān).⑶當(dāng)0VlrlV1時(shí)，x與y存在一定的線性關(guān)系.若r與Ly同號(hào)，則r〉0,&〉0,A稱X與y正相關(guān)：若r與L異號(hào)，則rV0,&V0,稱x與y負(fù)相關(guān).xy /當(dāng)0V|,|V1時(shí)，1與y線性相關(guān).但只有當(dāng)r的絕對(duì)值大到一定程度時(shí)，才能認(rèn)為x與y線性關(guān)系密切.此時(shí)，我們認(rèn)為相關(guān)系數(shù)是顯著的，所求的回歸直線方程才有意義，否則無意義.Irl究竟大到什么程度時(shí)，才算x與y線性關(guān)系為密切呢？對(duì)于給定的顯著性水平a,查相關(guān)系數(shù)臨界值表(附錄6),可得臨界值ra(n-2)，使得.因此其拒絕域是W={lrl>r(n-2)}.a由樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量r的觀測(cè)值r。，若Ir°lNra(n-2)，則應(yīng)拒絕H。，即x與y之間線性關(guān)系顯著；否則認(rèn)為x與y之間的線性關(guān)系不顯著或根本不存在線性關(guān)系，回歸方程沒有實(shí)用價(jià)值.這種檢驗(yàn)方法稱為相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法.例3.10.5試用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)例3.10.1中回歸直線方程的效果.(a=0.05)解.根據(jù)題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)為H。:b=0,H"bU0.例3.10.1.某種合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)之間有一定關(guān)系，下表是實(shí)測(cè)24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度y與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)x的數(shù)據(jù)記錄.試求出它們之間的關(guān)系.編號(hào)拉伸倍數(shù)x強(qiáng)度y編號(hào)拉伸倍數(shù)x強(qiáng)度y11.91.4135.05.522.01.3145.25.032.11.8156.05.542.52.5166.36.452.72.8176.56.062.72.5187.15.373.53.0198.06.583.52.7208.07.094.04.0218.98.5

104.03.5229.08.0114.54.2239.58.1124.63.52410.08.1回歸直線方程的計(jì)算步驟(I)編號(hào)XyX2y2xy11.91.43.611.962.6622.01.34.001.692.6032.11.84.413.243.7842.52.56.256.256.2552.72.87.297.847.5662.72.57.296.256.7573.53.012.259.0010.5083.52.712.257.299.4594.04.016.0016.0016.00104.03.516.0012.2514.00114.54.220.2517.6418.90124.63.521.1612.2516.10135.05.525.0030.2527.5145.25.027.0425.0026.00156.05.536.0030.2533.00166.36.439.6940.9640.32176.56.042.2536.0039.00187.15.350.4128.0937.63

198.06.564.0042.2552.00208.07.064.0049.0056.00218.98.579.2172.2575.65229.08.081.0064.0072.00239.58.190.2565.6176.952410.08.1100.065.6181.00s127.5113.1829.61650.93731.6回歸直線方程的計(jì)算步驟(II)TOC\o"1-5"\h\z24 24*=1鞏5 ￡兒.=113,1】?i ,】?i ,n=24,=5.3125『=4719524? 24- 24￡妒=驅(qū)"1 Sy- =650.93 Sr!jr731.e1=1 ]=1 3-124~^x2=i52.26631=124匚"，而/廣^y=130.7563]-124. 7或=￡特一碎=117.址3a-1￡心152.2653a=4.7125-0.8587x5.3125=0.1507所以所求回歸直線方程為:j?=0.1507+0.85S7X7=0.1507+0.8587x.又n=24,a=0.05,Lxx=152.2663,Lxy=130.7563,t=117.9463.查相關(guān)系數(shù)臨界值表得0.3809V尸a(n-2)=r005(22)V0.4227.■-|￡心|| 130.7563 .口I十l=lI-1=1[ l=I-1-9757而i血湖ew用 ,顯然|r0|=0.9757〉r0.05(22).所以拒絕H0,接受H「即x與y之間的線性關(guān)系是顯著的.

附錄6相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表raak0.100.050.020.010.001arak10.98770.99690.99950.99990.9999120.90000.95000.98000.99000.9990230.80540.87830.93430.95870.9912340.72930.81140.88220.91720.9741450.66940.75450.83290.87450.9507560.62150.70670.78870.83430.9249670.58220.66640.74980.79770.8982780.54940.63190.71550.76460.8721890.52140.60210.68510.73480.84719100.49730.57600.65810.70790.823310110.47620.55290.63390.68350.801011120.45750.53240.61200.66140.780012130.44090.51390.59230.64110.760313140.42590.49730.57420.62260.742014150.41240.48210.55770.60550.724615160.40000.46830.54250.58970.708416170.38870.45550.52850.57510.693217180.37830.44380.51550.56140.678718190.36870.43290.50340.54870.665219200.35980.42270.49210.53680.652420250.32330.38090.44510.48690.597425300.29600.34940.40930.44870.554130350.27460.32460.38100.41820.518935400.25730.30440.35780.39320.489640450.24280.28750.33840.37210.464845500.23060.27320.321