2023年北京市高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何（附答案解析）

2023年北京市高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何

1.如圖，在三棱錐P-A8C中，D,E,尸分別為棱AC,PC,AB的中點，已知雨J_AC,

PA=2y[3,BC=2,EF=2.

(I)證明：平面布8_L平面ABC；

(II)若AC=2,AC1.BC,歷為BC的中點，求PM與平面48c所成角的正弦值.

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2.如圖，在四棱錐S-A8C。中，底面ABC。為矩形，△SAD為等腰直角三角形，SA=SD

=2近，AB=2,F是BC的中點，二面角S-AO-8的大小等于120°.

(1)在4。上是否存在點E,使得平面SEFL平面ABCC,若存在，求出點E的位置:

若不存在，請說明理由；

(2)求直線54與平面SBC所成角的正弦值.

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3.如圖，三棱錐E-BCD中，△EC。為正三角形，平面EC3_L平面BCD,BC=DC=^-BD

=2,M,N分別是線段EO和BD的中點.

(I)求點C到平面8QE的距離；

(II)求直線EN與平面MC3所成角的正弦值.

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4.如圖，在三棱柱ABC-AIBICI中，平面AiACCi_L平面ABC,ZXABC和△AiAC都是正

三角形，。是AB的中點

(1)求證：8?！ㄆ矫鍭iOC；

(2)求直線AB與平面OCCi所成角的正切值.

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5.如圖，在等腰直角三角形AQP中，已知A=*,A￡>=3,B,C分別是AP,￡>尸上的點，

E是CO的中點，BC//AD.現(xiàn)將△PBC沿BC折起，使得點P在平面ABC。上的射影

為點A.

今

(1)若B,C分別是AP、DP的中點，求證：平面網(wǎng)C1?平面PCD

(2)請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB

與平面所成角的正弦值的?倍？若存在，求出A8的長；若不存在，請說明理由.

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6.在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZBAC=90°,AC=AB=AAi=2,設(shè)點M,N,P分別是

AB,BC,B\C\的中點.

(I)證明：44i〃平面PMN；

(ID若。為A4上的動點，試判斷三棱錐尸-QMN的體積是否為定值？并說明理由.

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1

7.在多面體ABCCiA向中，四邊形ABBiAi為菱形，BC//B\C\,BC=^B\C\,A\C\^A\A,

ABLB\C,ZBiBA=60°,平面ABBMi_L平面ABC.

(1)在棱AB上是否存在點O,使得AB_L平面8|OC?若存在，請給予證明；若不存在,

請說明理由.

(2)求二面角C\-AC-B的正弦值.

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8.在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面以。_1_底面ABC。，PA=AD=DC=6,AC=6近,48=3,

CO〃平面B4B,ZPAD=60°.

(I)求證：平面PCOJ_平面PBC；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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9.如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面SAO_L平面ABCD,M,

N分別為棱A。，BC的中點，SA=SD,SALSD,P,。為側(cè)棱SO上的三等分點(點P

靠近點S).

(1)求證：PN〃平面MQC；

(2)求多面體MPQCN的體積.

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10.如圖，四邊形MA8C中，ZVIBC是等腰直角三角形，AULBC,4c是邊長為2的

正三角形，以AC為折痕，將△MAC向上折疊到△D4C的位置，使點。在平面A8C內(nèi)

的射影在AB匕再將△M4C向下折疊到△EAC的位置，使平面E4C_L平面48C,形成

幾何體DABCE.

(1)點尸在BC上，若。尸〃平面EAC,求點F的位置;

(2)求直線AB與平面EBC所成角的余弦值.

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II.如圖，直三棱柱8CF-4/7E中，。為E”的中點，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=

2.

(I)求證：AFVBH-,

(II)求平面40c與平面ABC所成角的余弦值.

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⑵在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。是菱形，ZBAD=\20°,4后_1_平面48。，AE

//CF.

(1)求證：OF〃平面ABE；

(2)若A￡>=AE=2C尸=2,求該幾何體的表面積.

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13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△外。是等邊三角形，平面以。1?平面ABCD,底面

ABCQ是直角梯形，AD//BC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60°.

(I)若E為雨的中點，求證：BE〃平面PCD；

(II)求二面角B-PC-D的正弦值.

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14.已知在平行四邊形A3C￡>中，40=2,AB=V3,ZADC=如圖，DE//CF,且OE

O

=3,CF=4,ZDCF=J,且平面4BCZ)_L平面C0EF.

(I)求證：AC_L平面CDEF；

(II)求二面角D-AE-C的余弦值.

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15.如圖，己知四棱錐P-4BCO中，AD//BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=y[3,

ZADC=60°.

(1)求證：BPLCD；

(2)若8尸=VL求直線PC與平面玄。所成角的正弦值.

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16.如圖，在四棱錐P-ABC。中，△以/)是等邊三角形，平面小。_1_平面A8CQ,底面

ABCZ)是直角梯形，AD//BC,已知AZ)=2BC=4,ZBAD=60°.

(I)若E為公的中點，求證：BE〃平面PCO；

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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17.如圖，在直三棱柱ABC-4B1C1中，AB=BC=AAi，ABLBC,。為AB的中點，E為

BC上一點,滿足CE=2EB.

(1)求證：AiC〃平面BiDE；

(2)求二面角Bi-AiC-Ci的余弦值.

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18.已知在平行四邊形A3C￡>中，40=2,AB=V3,ZADC=如圖，DE//CF,且OE

O

=3,CF=4,ZDCF=J,且平面4BCZ)_L平面C0EF.

(I)求證：AC_L平面CDEF；

(II)求四棱錐F-ABCD的體積.

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19.如圖所示，在四棱錐E-ABCO中，四邊形A3CD是直角梯形，AB=AE=BC=%Z)=1,

BC//AD,ABCD,NBAD=90°,N為。E的中點.

(1)求證：NC〃平面EAB；

(2)求二面角A-CN-D的余弦值.

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20.如圖，在多面體ABC3E尸中，四邊形ABC。、四邊形AC五E均為菱形，ZBAD=ZEAC

=120°.

(1)求證：平面BZ)F_L平面ACFE；

(2)若BE=DE,求二面角C-BF-E的余弦值.

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21.如圖所示，在三棱錐A3CD中，AB=BC=BD=2,AO=2g,/CBA=NCBD=與點、

E,尸分別為AD,8。的中點.

(I)求證：平面AC￡)_L平面8CE；

(II)求四面體CDEF的體積.

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22.如圖，在棱長為3的正方體中，過頂點Qi作平面a交A4i于E點，交BBi于F點，使

得AiE=l,BF=1.

(I)求證：AC〃平面a；

(II)求點。到平面a的距離.

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23.已知△48C,AB=BC,ZCBA=60°,沿著邊C8把△ABC進行翻折，使平面ABC與

平面。BC垂直，△QBC可由△ABC翻折得到.回答下列問題.

(I)直線4c與平面A3。所成角的余弦值；

(II)二面角A-BD-C的余弦值.

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24.如圖，四棱錐P-ABC。，底面四邊形4BCO為梯形，且滿足A￡>=1,AB=CD=3,BC

=4且AQ〃BC,PQJ_底面ABCC.設(shè)平面以。與平面PBC的交線為/.

(I)求/與平面POC所成的角；

(II)已知PO=1,求平面%B與平面尸。C所成的銳二面角的余弦值.

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25.如圖，在三棱臺4BC-A'B'C'中，已知平面ABB'A'_L平面ABC,ACJ_BC,Z

CBA=四邊形A88'A'是等腰梯形，AB=2A'B'=2BB',E,尸分別為A8,A'

6

C'的中點.

(1)求證：￡F±AC；

(2)求直線EF與平面ACC'A'所成角的正弦值.

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26.如圖，△ABC為正三角形，半圓。以線段BC為直徑，O是比上的動點(不包括點8,

C),平面ABC_L平面BCD

(1)是否存在點。，使得BOLAC?若存在，求出點。的位置：若不存在，請說明理由.

(2)若/C8C=30°,求二面角。-AO-C的余弦值.

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27.如圖，/XABC是正三角形，D,E,尸分別是線段AB,BC,4c的中點，現(xiàn)將△AO尸和

△CEF分別沿著。F,EF折起，使得4,C兩點在P點重合，得到四棱錐P-BEFQ.

(1)證明：平面平面BEFD-,

(2)設(shè)正三角形ABC的邊長為4,求三棱錐尸-PBE的體積.

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28.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A8CD為正方形，△必。為等邊三角形，平面以。

_L平面PCD.

(I)證明：直線C￡＞，平面B4O；

(II)若48=2,Q為線段PB的中點，求三棱錐Q-PC。的體積.

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29.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AD//BC,AD1.AH,并且BC=24O=2AB=2,PM=g~,

點P在平面ABC。內(nèi)的投影恰為BD的中點M.

(I)證明：平面PCD；

(II)求點A到平面PCD的距離.

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30.如圖，在四棱錐尸-A8c。中，己知用"L平面ABC￡),且四邊形ABC。為直角梯形，Z

7T

48。=/&4。=務(wù)AD=2,AB=BC=\.

(1)當(dāng)四棱錐P-4BCQ的體積為1時，求異面直線AC與P。所成角的大小;

(2)求證：C￡>J_平面R1C.

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31.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB=BC=BD=2,AO=2百，NCBA=NCBD=3,

點、E,尸分別為AO,8。的中點.

(1)求證：EF〃平面ABC；

(II)求平面8CE與平面ACF所成銳二面角的余弦值.

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32.如圖，在四棱錐P-ABC￡)中，AD//BC,ADLAB,并且BC=24D=248,點P在平

面ABCD內(nèi)的投影恰為BD的中點M.

(I)證明：^)，平面尸3。；

(II)若PM=AD,求直線刑與CO所成角的余弦值.

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33.如圖，在三棱錐P-ABC中，以_L底面ABC,△ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱PB

71

與底面所成的角為二.

4

(1)求三棱錐P-ABC的體積V；

(2)若3為PB的中點，求異面直線以與CC所成角的大小.

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34.如圖1,在三棱柱ABC-AiBiCi中，已知AB_LAC,AB=AC=\,AA[=2,且441，平

面ABC,過A],Ci，B三點作平面截此三棱柱，截得一個三棱錐和一個四棱錐（如圖2）.

（1）求異面直線BG與A4i所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；

（2）求四棱錐8-ACGA1的體積和表面積.

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35.如圖，在矩形A8CO中，將△ACO沿對角線AC折起，使點。到達(dá)點后的位置，且AE

LBE.

(1)求證：平面ABE_L平面ABC；

3夕一

(2)若BC=3,三棱錐8-AEC的體積為求點E到平面ABC的距離.

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36.如圖，在直三棱柱ABC-AIBICI中，△ABC是正三角形，點。在棱上，且8Bi=

3Bi￡>,點E為BC的中點.

(1)證明：平面AiDE_L平面BCC1B1；

(2)若BBi=3&,AB=2,求點C到平面4OE的距離.

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37.如圖所示，在直三棱柱ABC-4B1G中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA

=CB=CG=2.點。，Di分別是棱AC,Ai。的中點.

(1)求證：D,B,Bi，四點共面；

(2)求直線BC\與平面OBBi。所成角的大小.

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38.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,A8〃C。,CD=2AB=4,AD=乘,

△SCO是等腰直角三角形，SC=SD,SA=3.

(I)證明：平面SCOJ_平面4BCL＞；

(II)若平面SAD與平面SCB的交線為I,求二面角C-I-D的余弦值.

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39.如圖，在矩形ABCD中，將△AC。沿對角線AC折起，使點。到達(dá)點E的位置，且AE

VBE.

(1)求證：平面ABE_L平面ABC；

(2)若EB=夕，三棱錐B-AEC的體積為了，求二面角E-AC-8的余弦值.

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40.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，P,Q分別是A4”C8上一點，且AP=2%i，CQ

=2QB.

(1)證明：AQ〃平面CPBi；

(2)若三棱柱48C-4B1G為直三棱柱，且A4i=3,BC=BA=V15,AC=2百，求點

B到平面CPBi的距離.

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41.如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面A8C。是正方形，AB=2,叨，平面43C￡>,PB

與底面ABC。所成的角為45°,過A。的平面分別與PB,PC交于點E,F.

(I)求證：EFVDC-,

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42.在四棱柱ABCC-AiBiCiOi中，四邊形ABC￡)是平行四邊形，AAi=AC=l,ZABC=

30°,BC=2,平面AB8iA|_L平面ABC。，M,N分別為AiC,A8的中點.

(I)求證：MN〃平面AiBCi；

(II)若cos/AiCB=華,求二面角C-MN-0的余弦值.

4

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43.如圖所示，三棱柱ABC-AiBiCi中，平面AC。AiJ_平面ABC,AAilAC,AAi=AB=

BC=2,D,。分別為AC,4cl的中點，且NBAC=30°.

(I)求證：DDilBC；

(II)求二面角fii-DA\-Ci的余弦值.

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44.如圖，四棱錐P-A8CD的底面為正方形，PC=PA=^PD=V5AD.E,尸分別是鬼,

PO的中點.

(I)證明：EF_L平面PCD；

(II)求二面角A-CE-F的余弦值.

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45.如圖，在四棱錐P-A8CO中，等邊三角形巾。所在平面與梯形A8CD所在平面垂直,

且CD//AB,AD=BD^2,DC=近，點G為△以。的重心，AC與BD交于點M.

(1)求證：GM〃平面PCC；

(2)求點C到平面P8Z)的距離.

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46.如圖，直三棱柱AS。-ABC中，A8=AC=1,Z.BAC=J,AiA=4,點M為線段AiA

的中點.

（1）求直三棱柱AiBiG-ABC的體積；

（2）求異面直線與Bi。所成的角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

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47.如圖，已知直角梯形ABC。，BC//AD,BC=CD=2,AD=4,NBCD=90°,點、E為

A。的中點，現(xiàn)將三角形ABE沿BE折疊，得到四棱錐A-BCCE,其中N4EO=120°,

點〃為4D的中點.

(1)求證：A'B〃平面EMC；

(2)若點N為BC的中點，求四面體AMNB的體積.

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48.如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC為正三角形，點O,E分別為AC,%的中點，其

中PA=PB=4y/2,PC=AC=4.

(1)證明：平面BDEL平面ABC；

V6

(2)若點F是線段AC上異于點D的一點，直線AE與平面BEF所成角的正弦值為:

4

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49.如圖，在四棱錐尸-A8CD中，四邊形ABC。是梯形，AB//CD,AB±BC,且雨

=BC=CD=1,AB=2,PC=y/3.

(1)證明：平面PAD,

(2)求直線AO與平面PBC所成角的正弦值.

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50.在四棱錐P-ABC。中，PA=PC=2,底面ABC。是菱形，AB=2顯,NABC=60°.

(I)求證：AC±PB；

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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2023年北京市高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何

參考答案與試題解析

1.如圖，在三棱錐P-ABC中，D,E,F分別為棱AC,PC,AB的中點，已知出LAC,

PA=2?BC=2,EF=2.

(I)證明：平面以平面ABC；

(II)若AC=2,ACLBC,M為8C的中點，求PM與平面ABC所成角的正弦值.

【解答】解：(I)證明：VD,E,F分別為AC,PC,AB的中點，PA=2y[3,BC=2,

：.DE//PA,DE=^PA=V3,DF=|fiC=1,

；EF=2,：.EF2=DE1+DF2,：.DELDF,

'：PALAC,DE//PA,：.DELAC,

"：ACnDF=D,：.ABC,

'.,DE//PA,；.%_L平面ABC,

平面辦B,平面%BJ_平面ABC.

(II)：AC=2,AC1.BC,M為8c的中點，

...以A為原點，過點4作8C的平行線為x軸，AC,AP所在直線分別為)，軸，z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0,2V3),M(1,2,0),A(0,0,0),

MP=(-1,-2,2遍)，平面ABC的法向量蔡=(0,0,1),

設(shè)PM與平面ABC所成角為0,

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則P例與平面ABC所成角的正弦值為:

\MPm\_2/32國

sin0=

|A^|-|n|8~VT'

2.如圖，在四棱錐S-ABC￡＞中，底面ABC。為矩形，△SAO為等腰直角三角形，SA=SD

=2y[2,AB=2,戶是BC的中點，二面角5-AO-8的大小等于120°.

（1）在4。上是否存在點E,使得平面SEFL平面ABCQ,若存在，求出點E的位置；

若不存在，請說明理由；

（2）求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.

【解答】解：（1）在線段月。上存在點E滿足題意，且E為AO的中點.

如圖，連接ERSE,SF,

?.?四邊形ABCO是矩形，.?.ABLA。，

又E、尸分別是A。、8C的中點，

：.EF//AB,ADA.EF,

?.?△SAD為等腰直角三角形，SA=SD,E為49的中點，

：.SE±AD,

'：SEQEF=E,SE、EFu平面SER

，AOJ_平面SEF,

：ADu平面ABCD,平面SEF_L平面ABCD,

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故AD上存在中點E,使得平面SEF1.平面ABCD.

(2)由(1)知，SE±AD,EFVAD,

.../5￡7;1為二面角5-4。-8的平面角，即/S￡F=120°.

以E為原點，E4、EF所在的直線分別為x、y軸，作及，平面A8C。，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

在等腰Rt/XSAQ中，SA=S￡>=2&，：.AD=4,SE=2,

：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),

：.SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,-73),SC=(-2,3,-V3),

設(shè)平面SBC的法向量為旌(x,y,z),則卜.呼=°,即［2x+3y-K：=0,

In-SC=0l-2x+3y-V3z=0

令y=l,則x=0,z=V3,.,.n=(0,1,V3),

設(shè)直線SA與平面SBC所成角為e,

TT

ttSA-n1-3J2

則sin0=|cos<54n>|=|一-尸17一一乂m=彳'

|SA|-|n|V4+1+3X2'

V2

故直線SA與平面SBC所成角的正弦值為一.

3.如圖，三棱錐E-BC。中，△ECO為正三角形，平面EC。，平面BCD,BC=DC=號BD

=2,M,N分別是線段EO和BO的中點.

(I)求點C到平面BDE的距離；

(II)求直線EN與平面MCB所成角的正弦值.

【解答】解：(I),??平面EC。，平面8C￡>,且△ECO為正三角形，CD=2,

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，點E到平面BCD的距離為百，

???BC=￡?C=易5。=2,...△BCO是等腰直角三角形,

1

S^BCD=2^C9DC=2.

在△B￡>￡中，BE=BD=26,DE=2,

**?S^BDE=2X2Xy/7=V7.

設(shè)。到平面的距離為d,

■:VE-BCD=VC-BDE，

xV3x2=/xdxV7,解得d=

2A/21

故點C到平面BDE的距離為7一.

y

(ID以C為原點，CD、CB所在的直線分別為X、y軸，作Cz_L平面BCD,建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

…3遮=

貝！|3(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,—),E(1,0,V3),N(1,

22

1,0),

—>->3T

：.EN=(0,1,一百)，CM=(-,0,——)，CB=(0,2,0),

22

L-(373

設(shè)平面MBC的法向量為三=(x,y,z),則,中=°,即尹+三2=°,

CB=0\2y=0

令1=1,則y=0,z=-V3,An=(1,0,—V3),

設(shè)直線EN與平面MBC所成角為0,

TT

…TTENn33

則sinO=|cosVEN,n>|=|—~~—1=5^7=7,

\ENi\n\zxz-

3

故直線EN與平面MBC所成角的正弦值為一.

4

4.如圖，在三棱柱ABC-4BICI中，平面AiACCi,平面ABC,ZiABC和△AMC都是正

三角形，。是A8的中點

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(1)求證:BCi〃平面AiOC；

(2)求直線A8與平面。CCi所成角的正切值.

【解答】(1)證明：連接AG，交AiC于E,連接。E,

"/四邊形AiACG是平行四邊形，

；.E是AG的中點，

是A8的中點，：.DE//BC\,

?.,QEu平面AiQC,BCiC平面AiQC,

；.8Ci〃平面ARC.

(2)解：取4c的中點0,連接40,BO,

'.,△ABC和△4AC都是正三角形，；.AiO_LAC,BOLAC,

?.?平面4AC。_L平面ABC,平面AiACCiCl平面ABC=AC,

；.A1O_L平面ABC,：.AiOLBO,

以0為原點，OB、OC、OAi所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,_y/31

設(shè)AC=2,則A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(―,一分0),C\(0,

2,V3),

：.AB=(遮，1,0),CD=-邑0),Dg=(一芋V3),

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梟一|y=0

亍電=0,即

設(shè)平面DCC\的法向量為幾=(x,y,z),則

n-DC1=0-^-x+fy+V3z=o

令x=3,則尸g,z=-1,：.n=(3,V3,-1),

-*tAB'Yt3yf3^~>/3

設(shè)直線AB與平面DCC\所成的角為仇則sin9=|cos<AB,n>\=|，一=|—^===|=

|AB||n|2x79+3+1

2/3

再，

tan0=2V3,

故直線AB與平面DCCi所成角的正切值為2舊.

5.如圖，在等腰直角三角形AOP中，已知A=/，AD=3,B,C分別是”，DP上的點，

E是8的中點，KBC//AD.現(xiàn)將△PBC沿3c折起，使得點P在平面A8C。上的射影

(1)若B,C分別是AP、。尸的中點，求證：平面必CJ_平面尸CD

(2)請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB

與平面以E所成角的正弦值的噂倍？若存在，求出A8的長；若不存在，請說明理由.

【解答】(1)證明：?.?點尸在平面A8CO上的射影為點A,

.?.出J_平面4BCD,

：C￡>u平面ABC。，：.PALCD,

,/等腰Rt^ADP,且C為。P的中點，

J.ACLCD,

'：PAnAC=A,PA,ACu平面以C,

...CO_L平面PAC,

又CQu平面PCD,.?.平面布C_L平面PCD

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(2)解：：雨工平面ABC。，

.?.NABP為直線PB與平面ABC。所成的角，設(shè)其大小為a,則cosa=^

過點B作BM_LAE,交4E于點M,連接PM,

；出_1_平面48c。，：.PA1.BM,

又AEC/^=A,AE,用u平面必E,

平面PAE,

：.NBPM為直線PB與平面PAE所成的角，設(shè)其大小為B，則sinp=資，

：直線尸8與平面ABCO所成角的余弦值是直線PB與平面以E所成角的正弦值的督倍,

.".cosa=^|^sinp,BPAB=,

設(shè)A8=f(0Vf<3),則BM=息,DE=1cD=1p￡>=孝r,

設(shè)/ABM=/OAE=。，

DEAD

在△4￡>￡：中，由正弦定理知,

sin^DAEsin^AED

叵t3

2_____X.得sin0=T^-TCOSO,

sine-si(苧-o)'。-r

n4

Vsin20+cos20=1,且8W(0,-)

2

?_6-t

??Qcos9=',

J2t2-12t+36

；.BM=/t(6T),

J2t2-12t+36

又BM=

V，b

t(6-t)5化簡整理得，2?+L3=0,解得f=l或一|(舍負(fù)),

V2t2-12t+36—y/26，

故當(dāng)AB=1時，直線PB與平面ABC。所成角的余弦值是直線P8與平面以E所成角的

正弦值的、一倍.

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6.在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZBAC=90°,AC=AB=AA\=2,設(shè)點M,N,P分別是

AB,BC,B\C\的中點.

(I)證明：441〃平面PMN；

(ID若。為44上的動點，試判斷三棱錐尸-QMN的體積是否為定值？并說明理由.

【解答】(I)證明：???點M,N,P分別是AB,BC,BiCi的中點，；.PN〃CCi，

又?.,/L4i〃CCi，：.AA\//PN,

仁平面PMN,PNu平面PMN,

；.A4〃平面PMN；

(II)解：如圖，連接AN,AP,

根據(jù)等體積法可知，VP-QMN=VQ-PMN，

由(I)可知，AAi〃平面PMN,

又。為A41上的動點，VQ.PMN=VA-PMN—Vp.AMN>

即Vp-QMN=VQ-PMN=VA-PMN=Vp-AMN=@x2x之=亍

...若。為A4上的動點，則三棱錐P-QMN的體積定值去

4

Q

1

7.在多面體ABCCjAiBi中，四邊形A881Al為菱形，BC//B\C\,BC=^B\C\,ACi=AiA,

AB1B\C,NBiBA=60°,平面平面ABC.

(1)在棱A8上是否存在點。，使得AB,平面8|0C?若存在，請給予證明；若不存在,

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請說明理山.

(2)求二面角C\-AC-B的正弦值.

【解答】解：(1)在棱AB上存在點0(。為棱AB的中點)，使得A3,平面810c.

理由如下：

連接ABi，?.?四邊形ABBMi為菱形，且NB|BA=60°,

/XAB\B是等邊三角形，

又。為AB的中點，：.Bi0±AB,

,：ABVB\C,B]0nBiC=Bi,囪0<=平面BiOC,BiCu平面BiOC,

平面B\OC.

(2)由(1)知，4B_L平面BiOC,：.AB10C,

又平面AB814_L平面ABC,平面ABB\A\n平面ABC^AB,

，OCJ_平面ABBiAi，0C1B10,

以。為坐標(biāo)原點，OB,OC,。曲所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

取81cl的中點E,連接4E.CE,由題意知幾何體ABC-AiBiE是三棱柱，

取AlBi中點￡),連接OE,貝IJ*41的，

設(shè)A4i=2,則0(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),B\(0,0,V3),Ai(-

2,0,V3),

；.oZi=0%i+B%+4,1=0B1+20A+20C=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,

1,0)=(-2,2,V3),

ACi(-2,2,V3),A=(1,1,0),ACt=(-1,2,V3),

設(shè)平面AC。的法向量蔡=(x,y,z),

則把號x+y=0，取x=l,得蔡=(1,-1,遮),

m?ACr=-%+2y+V3z=0

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平面ABC的一個法向量7=(0,0,1),

設(shè)二面角Ci-AC-B的平面角為0,

貝ijcosB=建,sin0=]_(魯=手.

Vio

二二面角Ci-AC-B的正弦值為行.

8.在四棱錐P-ABCQ中，側(cè)面胡。，底面A8CO,PA=AD=DC=6,AC=6瓜AB=3,

CD〃平面%8,ZB4D=60°.

(I)求證：平面PCOJ_平面PBC；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

【解答】解：(I)證明：?.,AO=OC=6,AC=6魚，：.AD2+DC2=AC2,：.ADLDC,

?.?側(cè)面以。_L底面ABCD,側(cè)面以。C底面ABCD=AD,

，C￡>1■平面雨。，平面小。，J.CD1PD,

取尸C和。C的中點分別為M和M連接MN,BM,

貝|JMN〃P。，:.CDJLMN,

CD〃平面以8,C?！ㄆ矫鍭BCD,平面以BCI平面ABCO=4B,

J.CD//AB,

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,:AB=ND=3,，四邊形ABNO為平行四邊形，

：.BN//AD,：.CD±BN,

,：BNCMN=N,，CD_L平面BMN,

平面BMN,ACDIBM,

；C￡)_L平面PAD,且B4u平面PAD,

C.ABLPA,即B為直角三角形，PB=V62+32=375,

,:PB=BC,且M是PC的中點，：.PC1BM,

'：PCHCD=C,平面PC。，

平面尸BC,平面PCO_L平面P8C.

(II)在△用。中，'：PA=AD=6,/必。=60°,

△以。為等邊三角形，PD=6,

取A￡>的中點0,連接PO,...POLAO,JLPO=V62-32=3>/3,

?平面網(wǎng)￡>_1平面4BC￡),平面以。Cl平面ABC3=A￡),，PO_L平面ABC。,

過點P作交BC于點H,連接04,

則/PHO即為三面角P-BC-D的平面角，

,:PD=CD=6,CDLPD,...△PCC為等腰直角三角形，

PC=y/CD2+PD2=V62+62=6企，

?.?由(I)知尸B=BC=3b，M為PC的中點，：.BMLPC,

在RtABMC中，BM=<BC2-MC2=J(3通尸一(3位尸=38，

在APBC中，SAPBC=BMxPC=gPH?BC,

解得PH=噌，

P0百

則nms,m“/PHUe°=而=亞3=71.0，

???RtZ\P〃O中，NPHO為銳角，

；?cos/PHO=乎，

V6

???二面角P-BC-D的余弦值為下.

4

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9.如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面S4），平面ABCD,M,

N分別為棱A。，BC的中點，SA=SD,SAA.SD,P,Q為側(cè)棱S￡＞上的三等分點（點尸

靠近點S）.

（1）求證：PN〃平面MQC；

（2）求多面體MPQCN的體積.

【解答】證明：（1）如圖，連接ND交CM于點R,連接。R,

在正方形A8C。中，N分別為AO,BC的中點，.?.四邊形MNC。為矩形,

得R為ND的中點，

又。為PO的中點，〃。已

；QRu平面PNC平面例QC,

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〃平面MQC；

解：(2)連接SM,為AO的中點，SA=SD,SA±SD,

：.SM-i-AD,且5用=乂￡>=1,

又平面SAO_L平面ABCD,平面SA。。平面ABCD^AD,

，SM_L平面48CD

121，1，22

??VP-MNC=@S^MNCxwSM=2X2xlx2x2xl=^.

??,平面SAD_L平面ABCD,平面SAOG平面A8C￡)=AD,CDA.AD,

???CD_L平面SAO.

又在RtZ\SM。中，SD=y[2SM=V2,SP=PQ=QD,

:.S“QM=2^ASMD?

Vc-PQM=3^APQMXCD=wX^SASMDXCD=wX/X*XlXlx