積分中值定理

積分中值定理數(shù)學(xué)定理01積分第一中值定理內(nèi)容幾何意義定理應(yīng)用積分第二中值定理推廣形式目錄03050204基本信息積分中值定理，是一種數(shù)學(xué)定律。分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個(gè)公式。其中，積分第二中值定理還包含三個(gè)常用的推論。積分中值定理揭示了一種將積分化為函數(shù)值，或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分的方法，是數(shù)學(xué)分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面應(yīng)用廣泛。積分第一中值定理內(nèi)容積分第一中值定理內(nèi)容若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立其中，a、b、滿(mǎn)足：。

二重積分的中值定理設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得:定理證明設(shè)在上連續(xù)，因?yàn)殚]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有最大最小值，不妨設(shè)最大值為，最小值為，最大值和最小值可相等。對(duì)兩邊同時(shí)積分可得：同除以從而得到：由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，必定，使得，即：命題得證。積分第二中值定理證明形式積分第二中值定理形式設(shè)在上可積，考慮下列兩種情況：（1）在上單調(diào)遞減且在時(shí)，，那么存在使得.（2）在上單調(diào)遞增且在時(shí)，，那么存在使得.

證明只需證明第一種情況，第二種情況與此類(lèi)似.設(shè).是一個(gè)連續(xù)函數(shù),故在上有最小值和最大值設(shè)由單調(diào)性知道,.設(shè).因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)的,故可積,所以對(duì)任意,存在分割,其中為在上的振幅.因在上黎曼可積,故有界,記為則這里用到阿貝爾變換,同理有原式由上述證明知道得,從而所以從而.

幾何意義幾何意義這個(gè)定理的幾何意義為：若，，則由軸、、及曲線(xiàn)圍成的曲邊梯形的面積等于一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積。推廣形式第二定理第一定理推廣形式第一定理如果函數(shù)、在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號(hào)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：第二定理一、如果函數(shù),在閉區(qū)間上可積，且為單調(diào)函數(shù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：二、如果函數(shù)、在閉區(qū)間[a,b]上可積，并且是單調(diào)遞減函數(shù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：三、如果函數(shù)、在閉區(qū)間上可積，且并是單調(diào)遞增函數(shù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：定理應(yīng)用求極限問(wèn)題運(yùn)用運(yùn)用估計(jì)不等式證明定理應(yīng)用求極限在函數(shù)極限的計(jì)算中,如果含有定積分式,常?？梢赃\(yùn)用定積分的相關(guān)知識(shí),比如積分中值定理等,把積分號(hào)去掉。例題1問(wèn)題運(yùn)用某些帶積分式的函數(shù),常常會(huì)有要求判定某些性質(zhì)的點(diǎn)的存在的問(wèn)題,有時(shí)運(yùn)用積分中值定理能使問(wèn)題迎刃而解。

例題2運(yùn)用估計(jì)在大多數(shù)的積分式中,能找到其被積函數(shù)的原函數(shù)再進(jìn)行求值的積分簡(jiǎn)直是鳳毛麟角,當(dāng)被積函數(shù)“積不出”或者原函數(shù)很復(fù)雜時(shí),可用各種方法來(lái)估計(jì)積分。對(duì)于乘積型的被積函數(shù),將變化緩慢的部分或積分困難的部分進(jìn)行估計(jì),可積的部分積分之。積分中值定理和各種不等式就是其中常用的方法,

例題3不等式證明積分不等式是指不等式中含有兩個(gè)以上積分的不等式,當(dāng)積分區(qū)間相同時(shí),先合并同一積分區(qū)間上的不同積分,根據(jù)被積函數(shù)所滿(mǎn)足的條件,靈靈活運(yùn)用積分中值定理,以達(dá)到證明不等式成立的目的。在證明定積分不等式時(shí),常常考慮運(yùn)用積分中值定理,以便去掉積分符號(hào),如果被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí),可考慮用積分第一或者第二中值定理。對(duì)于某些不等式的證明,運(yùn)用原積分中值定