多元函數(shù)微分學(xué)地幾何應(yīng)用

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用內(nèi)容要點(diǎn)：一，求空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線為則過曲線上點(diǎn)的切線方程為法平面方程為1求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法平面方程.2求曲線在處的切線方程與法平面方程.3求曲線在處的切線方程與法平面方程.二，求曲面的切平面與法線方程設(shè)曲面方程為，則過曲面上點(diǎn)的切平面方程為法線方程為==例題例1求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法平面方程.解：因?yàn)?，而點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，所以過該點(diǎn)切線的方向矢量為切線方程為法平面方程為即例2求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面方程與法線方程.解：令,于是，在點(diǎn)處的切平面法矢量為切平面方程為即法線方程為練習(xí)題1,求曲線在點(diǎn)處的切線與法平面方程.2,求曲線在處的切線與法平面方程.3,求曲面在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面方程和法線方程.4,求曲面在點(diǎn)處的切平面方程和法線方程.5,求曲面在點(diǎn)處的切平面方程和法線方程.[答案：1,2,3,4,5,二元函數(shù)極值內(nèi)容要點(diǎn)：一，求函數(shù)極值的一般方法：1先求駐點(diǎn)解下列方程組可得駐點(diǎn)2判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，是極大點(diǎn)還是極小點(diǎn)先求出再判斷(1)若,則在處有極值.且極大；極小.(2)若,則在處無極值.(3)若,則不定.對(duì)于應(yīng)用問題，若有唯一駐點(diǎn)，則在該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)的最大（?。┲?二，用拉格朗日乘數(shù)求極值若要求函數(shù)在滿足約束條件下的極值點(diǎn)，可用拉格朗日乘數(shù)法：令解方程組解得的解便是極值點(diǎn).三，求應(yīng)用問題中的最大值與最小值主要步驟：1根據(jù)問題的目的寫出目標(biāo)函數(shù)2根據(jù)問題的條件寫出約束條件;3利用拉格朗日乘數(shù)法，求得唯一極值就是最值.例題例1求函數(shù)的極值.解：解方程組解得駐點(diǎn)為再求二階導(dǎo)數(shù)于是，在(1,0)點(diǎn)處，,故函數(shù)在點(diǎn)處有極小值在(1,2)點(diǎn)處，,故函數(shù)在點(diǎn)(1,0)處沒有極值.在點(diǎn)處，,故函數(shù)在點(diǎn)處沒有極值.在點(diǎn)處，,故函數(shù)在點(diǎn)處有極大值例2某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方形水箱，問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高取怎樣尺寸時(shí)，可使用料最省.解：設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為,由題意可知,即所用材料，即水箱的表面積解方程組[此時(shí)，高]可見，有唯一駐點(diǎn)().故當(dāng)水箱長(zhǎng)、寬、高均為時(shí)，用料最省.例3用拉格朗日乘數(shù)法解例2中的問題.解：設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為.目標(biāo)函數(shù)為水箱表面積，即,約束條件為于是，令=解方程組可見與例2結(jié)果相同.練習(xí)題1,求函數(shù)的極值2,求函數(shù)的極值3,求函數(shù)的極值4,求函數(shù)的極值5,求函數(shù)在條件下的極值.6,求函數(shù)在條件下的極值7,要造一個(gè)容積等于定數(shù)的長(zhǎng)方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面積最小.8,斜邊長(zhǎng)為的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形的直角邊的邊長(zhǎng).9,把正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)之和，使它們乘積最大.10,在平面上求一點(diǎn)，使它與點(diǎn)和點(diǎn)的距離平方和為最小.11,求點(diǎn)到曲面的最短距離.[答案：1,極大.2,時(shí)，極