學(xué)年秋季學(xué)期高等代數(shù)試題參

第1 (共4頁(yè)成績(jī)大學(xué)2010～2011學(xué)年秋季學(xué)期試卷課程名：高等代數(shù)C 成績(jī)應(yīng)試 應(yīng)試人 應(yīng)試人學(xué)號(hào) 應(yīng)試人所在院 ,（220分 a，4，則a= a b 設(shè)三階矩陣A2g2Bg2，其中ab,g2,g3均為三維行向量，已知A18 3 3B=2，則A-B=

設(shè)向量組a1,a2,,ar（Ⅰ）可由向量組b1,,bs（Ⅱ）線性表示。如果向量組（I）線性無(wú)關(guān)，則r與sr￡s。如果（Ⅰ）和（Ⅱ）可視為一個(gè)矩陣的行向量組和列向量組，則（Ⅰ）和（Ⅱ）的關(guān)系 等 ABABA-1B-1均是n階可逆矩陣，則A-1B-1)-1BAB)-1AorAAB)-1BA為n(n>1A2，(2A-1)*2(n-設(shè)n(n3)AXbA的秩為n2，h1，h2，h33無(wú)關(guān)的解，則齊次線性方程組AX0的解空間可表示為：L(h1-h2,h1-h3)orL(h1-h2,h2-h3)。非齊次實(shí)線性方程組 TF210a1,a2,,ar(r1ABABBA 1 3 1001rank 4 6 1002= 9FTFTT 699FTFTT第2 (共4頁(yè)a1(1-124),a2(03,12),a3(307,14),a4(1,-120)A=

00313017220fi0

0 11 0 400-0 0

b b

bn-1

從而a1,a2,a4是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，故向量組的秩是3 4

0 0

A000 000-16.（10分000 000-

,B=

a3=3a1+a2 2

AnA -3- 1

0a 1a

-2,求一個(gè)4·2XAX0

1-1-

1

-10-

a+ b2+

b1解：A=1- -3fi 1-2

4

3 0 -1-

=(a+b

a (6分0 A0

an-1 rankA=2 2h1=(1,1,0,0),h2=(1,0,2,1) 2

0000a 0000a a

11110

B

=(n-1)n+1

2 (4分 2

A 0(n-1)0200 X是4·2AX0.第3 (共4頁(yè)17.（5分）AA*1

-3

00AXA-1XA-13IX08 解：由AXA-1=XA-1+3I得(A-I)X=3A，于是X=3(A-I)-1A 1由于A*=8，由AA*=AE，可得A3=A*=8，從而A=2 100AAA*)-12(A*)-1-

0 0002 020 1 1404 60 06

00

60 006 0

(A-I,3A)fi

X

2

60 0 60 0

30-

030-

I

PAQ= 4 證明：由AA*=|A|I得|A||A*|=|A|n 3

Q-1=Q1

2當(dāng)|A|?0時(shí)，則|A*|=An-1 2當(dāng)|A|=0，必有|A*|=0．事實(shí)上，若|A*|?0，則A*可逆．于 A=|A|A*)-10 3 2

Q2n- 2

0因P可逆，故它們可表示成一系列初等矩陣的乘積，故由初等矩陣與初等變換的關(guān)系即可證明此命 2分第4 (共4頁(yè)20. 21.(5分)設(shè)A為n階方陣，求證2A2=7A- r(2A-I)+r(A-3I)= b,a1b,a22b,,an-r(nr)b

2A- 2A-

A-3Ifi2A-

A3I 1 令kbki(aiib0

（2分

fi2A- -5(2A-I)(A-3I)fi

(2A-I)(A-3I 2

即

A-故

1(k-iki)b+kiai=

（1分

r(2A-I)+r(A-3I)=r(2A-7A+3I)+2A27A r(2AIrA-3I