福建省泉州市晉江紫峰中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

福建省泉州市晉江紫峰中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.=(

)

A．

B.

C.

D．參考答案：B略2.已知：，則的最小值為（

）

A、4

B、5

C、6

D、7參考答案：B提示：3.拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積等于()

A.

B.

C.2

D.參考答案：A4.與直線平行，且到l的距離為的直線方程為A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.若曲線（為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：D6.在中，、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是、、，則的值為

參考答案：B由余弦定理得：，故選.7.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，，則的解集為(

) A．（，1）

B．（，+） C．（，） D．（1，+）參考答案：B9.“至多四個(gè)”的否定為

（

）

A．至少有四個(gè)

B．至少有五個(gè)

C．有四個(gè)

D．有五個(gè)參考答案：B10.曲線y=x3﹣2x+4在點(diǎn)（1，3）處的切線的傾斜角為（）A．30° B．45° C．60° D．120°參考答案：B【考點(diǎn)】62：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】欲求在點(diǎn)（1，3）處的切線傾斜角，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知k=y′|x=1，再結(jié)合正切函數(shù)的值求出角α的值即可．【解答】解：y/=3x2﹣2，切線的斜率k=3×12﹣2=1．故傾斜角為45°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用正切函數(shù)的圖象求傾斜角，本題屬于容易題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，直線y=x與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)．若AF⊥BF，則雙曲線的漸近線方程為．參考答案：y=±2x【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得雙曲線的右焦點(diǎn)，將直線y=x代入雙曲線方程，求得x2=，則設(shè)A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由?=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求得c2=x2，由雙曲線的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，則可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根據(jù)雙曲線的漸近線方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由題意可知：雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)F（c，0），則，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴?=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，雙曲線的漸近線方程y=±x=±2x，故答案為：y=±2x．12.已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，

則

．參考答案：x(1+x)

13.如果雙曲線上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8，那么P到它的左準(zhǔn)線的距離是▲.參考答案：14.在平面幾何中，有“正三角形內(nèi)切圓半徑等于這個(gè)正三角形高的”。拓展到空間，類比平面幾何的上述正確結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個(gè)正四面體的高的

。參考答案：略15.已知圓x2+(y-1)2=1外一點(diǎn)P(－2,0),過點(diǎn)P作圓的切線，則兩條切線夾角的正切值是_____參考答案：16.拋擲一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，將向上一面的點(diǎn)數(shù)看作隨機(jī)變量X，則X的方差是

．參考答案：17.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=_____________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）已知直線與直線平行，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。參考答案：19.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)（Ⅰ）求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】（I）由題意，由于可證得CD⊥平面A1ABB1．故點(diǎn)C到平面的距離即為CD的長(zhǎng)度，易求；（II）解法一：由題意結(jié)合圖象，可通過作輔助線先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；解法二：根據(jù)幾何體的形狀，可過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．給出各點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量的夾角即為兩平面的夾角．【解答】解：（I）由AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．故CD⊥平面A1ABB1．所以點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離為CD==（II）解法一：如圖1，取D1為A1B1的中點(diǎn)，連接DD1，則DD1∥AA1∥CC1．又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1為所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D為A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂線定理的逆定理得AB1⊥A1D．從而∠A1AB1、∠A1DA都與∠B1AB互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽R(shí)t△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD?A1B1=8，得AA1=2，從而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===解法二：如圖2，過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．設(shè)直三棱柱的高為h，則A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），從而=（4，0，h），=（2，，﹣h）由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）設(shè)平面A1CD的法向量為=（x1，y1，z1），則有⊥，⊥∴?=0且?=0，即，取z1=1，則=（，0，1）設(shè)平面C1CD的法向量為=（x2，y2，z2），則⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0），所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值20.某市為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理.為了較合理地確定居民日常用水量的標(biāo)準(zhǔn)，有關(guān)部門抽樣調(diào)查了100位居民.右表是這100位居民月均用水量（單位：噸）的頻率分布表，根據(jù)右表解答下列問題：（1）求右表中a和b的值；（2）請(qǐng)將下面的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并根據(jù)直方圖估計(jì)該市每位居民月均用水量的平均數(shù).分組頻數(shù)頻率[0,1)100.1[1,2)a0.2[2,3)300.3[3,4)20b[4,5)100.1[5,6)100.1合計(jì)1001.0

參考答案：（1）…………3分（2）將直方圖補(bǔ)充完整且正確給…………………5分21.如圖（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖所示（2）．（1）求幾何體D﹣ABC的體積；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求幾何體D﹣ABC的外接球的表面積．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；二面角的平面角及求法．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）由高和底面積，求得三棱錐B﹣ACD的體積即是幾何體D﹣ABC的體積．（2）記AC中點(diǎn)為E，過E作EH⊥AB，連結(jié)DE，DH，證明∠DHE是二面角D﹣AB﹣C的平面角，即可求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）O為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連結(jié)DE，EO，DO，D﹣ABC的外接球的球心為O，半徑為2，即可求幾何體D﹣ABC的外接球的表面積．【解答】解：（1）在直角梯形中，知AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，從而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD，∵S△ACD=×2×2=2，∴三棱錐B﹣ACD的體積為：=，由等積性知幾何體D﹣ABC的體積為：；（2）記AC中點(diǎn)為E，過E作EH⊥AB，連結(jié)DE，DH，∵AD=DC，E為AC中點(diǎn)，∴DE⊥AC，∵平面平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴DE⊥平面ACB，∴DE⊥AB，又∵EH⊥AB，且DE∩HE=E，∴AB⊥平面DHE，∴DH⊥AB，∴∠DHE是二面角D﹣AB﹣C的平面角．∵DE=，HE=1，∴tan∠DHE=；（3）O為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連結(jié)DE，EO，DO，∵DE⊥平面ACB，DE=OE=，∴DE⊥OE，DO=2．又∵AO=BO=CO=2，∴D﹣ABC的外接球的球心為O，半徑為2，∴D﹣ABC的外接球的表面積為16π．【點(diǎn)評(píng)】本題通過平面圖形折疊后得立體圖形，考查空間中的垂直關(guān)系，重點(diǎn)是“線線垂直，線面垂直，面面垂直”的轉(zhuǎn)化；等積法求體積，也是常用的數(shù)學(xué)方法．22.已知直線l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于點(diǎn)P．求：（Ⅰ）過點(diǎn)P且平行于直線2x﹣y+7=0的直線方程；（Ⅱ）過點(diǎn)P且垂直于直線2x﹣y+7=0的直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程．【專題】計(jì)算題．【分析】（Ⅰ）聯(lián)立兩直線的方程即可求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出直線2x﹣y+7=0的斜率為2，所求直線與直線2x﹣y+7=0平行得到斜率相等都為2，根據(jù)P的坐標(biāo)和斜率2寫出直線方程