2018-2019高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2-3-2離散型隨機(jī)變量的方差隨堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收新人教A版選修2-

2-3-2離散型隨機(jī)變量的方差1．牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則D(ξ)等于()A．0.2B．0.8C[解析]∵ξ～B(10,0.02)，∴D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.[答案]C2．投擲一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為ξ，則()A．E(ξ)＝3.5，D(ξ2B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝eq\f(35,12)C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝eq\f(35,16)[解析]∵P(ξ＝k)＝eq\f(1,6)，k＝1,2,3,4,5,6，∴E(ξ)＝eq\f(1,6)×(1＋2＋3＋…＋6)＝3.5，E(ξ2)＝eq\f(1,6)×(12＋22＋…＋62)＝eq\f(91,6)，∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝eq\f(91,6)－eq\f(49,4)＝eq\f(35,12).[答案]B3．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________.[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np1－p＝20，))得p＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)4．隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.[解析]由題意設(shè)P(ξ＝1)＝p，則ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,5)peq\f(4,5)－p由E(ξ)＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以D(ξ)＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).[答案]eq\f(2,5)課內(nèi)拓展課外探究1．常用分布的方差(1)兩點(diǎn)分布：若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．注意：上述公式證明如下：由于X服從兩點(diǎn)分布，即P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，∴E(X)＝p，E(X2)＝02×(1－p)＋12×p＝p，∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝p－p2＝p(1－p)．(2)二項(xiàng)分布：若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．注意：上述結(jié)論證明如下：∵X～B(n，p)，令q＝1－p，則P(X＝i)＝Ceq\o\al(i,n)piqn－i，∴E(X2)＝eq\i\su(i＝0,n,i)2Ceq\o\al(i,n)piqn－i＝eq\i\su(i＝2,n,i)(i－1)Ceq\o\al(i,n)piqn－i＋eq\i\su(i＝0,n,i)Ceq\o\al(i,n)piqn－i＝eq\i\su(i＝2,n,i)(i－1)Ceq\o\al(i,n)piqn－i＋E(X)＝n(n－1)p2eq\i\su(i＝2,n,C)eq\o\al(i－2,n－2)pi－2q(n－2)－(i－2)＋E(X)＝n(n－1)p2eq\i\su(j＝0,n－2,C)eq\o\al(j,n－2)pjq(n－2)－j＋E(X)＝n(n－1)p2(p＋q)n－2＋E(X)＝n(n－1)p2＋E(X)＝n(n－1)p2＋np，∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝n(n－1)p2＋np－(np)2＝np－np2＝npq.故D(X)＝np(1－p)．(3)超幾何分布：若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，即X～H(N，M，n)，則D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\f(N－n,N－1).某人投籃命中的概率為p＝0.4.(1)求投籃一次，命中次數(shù)X的均值和方差；(2)求重復(fù)10次投籃時(shí)命中次數(shù)Y的均值和方差．[解](1)X的分布列為X01PE(X)＝0×0.6＋1×0.4＝0.4.D(X)＝(0－0.4)2×0.6＋(1－0.4)2×0.4＝0.24.(2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即Y～B(10,0.4)，∴E(Y)＝np＝10×0.4＝4，D(Y)＝10×0.4×0.6＝2.4.[點(diǎn)評(píng)]由隨機(jī)變量的方差的計(jì)算公式可知，欲求隨機(jī)變量的方差應(yīng)先求該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．若該隨機(jī)變量服從一些特殊的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)，可以直接利用已知的公式進(jìn)行計(jì)算．2．方差的求法(1)定義法求離散型隨機(jī)變量的方差的步驟：①明確隨機(jī)變量的取值，以及取每個(gè)值的試驗(yàn)結(jié)果；②求出隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率；③列出分布列；④利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出隨機(jī)變量的期望E(X)；⑤代入公式D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差D(X)；⑥代入公式σ(X)＝eq\r(DX)求出隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差σ.(2)利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2求方差公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2的證明如下：D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xeq\o\al(2,1)p1＋xeq\o\al(2,2)p2＋…＋xeq\o\al(2,n)pn)＋2E(X)·(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋(E(X))2(p1＋p2＋…＋pn)＝E(X2)－2(E(X))2＋(E(X))2＝E(X2)－(E(X))2.利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2可以簡(jiǎn)化求方差的過(guò)程．盒子中有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，求取出白球的個(gè)數(shù)的期望和方差．[解]取出白球個(gè)數(shù)ξ的可能取值為0,1,2.ξ＝0表示取出的兩個(gè)球都是黑球，P(ξ＝0)＝eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)；ξ＝1表示取出的兩個(gè)球一個(gè)黑球，一個(gè)白球，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)；ξ＝2表示取出的兩個(gè)球都是白球，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，于是：E(ξ)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝1.2，D(ξ)＝(0－1.2)2×eq\f(1,10)＋(1－1.2)2×eq\f(3,5)＋(2－1.2)2×eq\f(3,10)＝0.36，或E(ξ2)＝02×eq\f(1,10)＋12×eq\f(3,5)＋22×eq\f(3,10)＝1.8，D(ξ)＝E(ξ)2－(E(ξ))22＝0.36.[點(diǎn)評(píng)]求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，往往先求概率分布，再根據(jù)定義求解，在方差的計(jì)算過(guò)程中，利用D(ξ)＝E(ξ)2－(E(ξ))2計(jì)算方差要簡(jiǎn)便一些．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為ξ12…nPeq\f(1,n)eq\f(1,n)…eq\f(1,n)求D(X)．[解]解法一：E(X)＝1×eq\f(1,n)＋2×eq\f(1,n)＋…＋n×eq\f(1,n)＝(1＋2＋…＋n)×eq\f(1,n)＝eq\f(nn＋1,2)×eq\f(1,n)＝eq\f(n＋1,2)，于是，有D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n＋1,2)))2×eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(n＋1,2)))2×eq\f(1,n)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(n＋1,2)))2×eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋22＋…＋n2－n＋11＋2＋…＋n＋n·\f(n＋12,4)))＝eq\f(n2－1,12).解法二：由解法一可求得E(X)＝eq\f(n＋1,2).又E(X2)＝12×eq\f(1,n)＋22×eq\f(1,n)＋…＋n2×eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(n＋12n＋1,6).∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝eq\f(n＋12n＋1,6)－eq\f(n＋12,4)＝eq\f(n2－1,12).[點(diǎn)評(píng)]本例的解法二比解法一簡(jiǎn)捷得多，這是因?yàn)楣紻(X)＝E(X2)－