直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直

8.6.1

直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解異面直線(xiàn)垂直的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解異面直線(xiàn)所成角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.會(huì)求給定兩條異面直線(xiàn)所成的角.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,與棱AA1垂直的棱有幾條?你是如何斷定它們是相互垂直的?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)、異面直線(xiàn)所成的角(或夾角)異面直線(xiàn)所成的角定義已知兩條異面直線(xiàn)a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a'∥a,b'∥b,我們把直線(xiàn)a'與b'所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)異面直線(xiàn)互相垂直如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角,那么我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直.直線(xiàn)a與直線(xiàn)b垂直,記作a⊥b范圍空間兩條直線(xiàn)所成的角α的取值范圍是0°≤α≤90°激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,則異面直線(xiàn)AE與B1C1所成的角的大小為

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解析:∵B1C1∥BC,∴∠AEB為異面直線(xiàn)AE與B1C1所成的角.∵∠BAE=25°,∴∠AEB=65°.答案:65°探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求異面直線(xiàn)所成的角例題如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求異面直線(xiàn)DB1與EF所成角的大小.分析先作出角,再證明角的兩邊分別與兩異面直線(xiàn)平行,最后在三角形中求角.探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(方法一)如圖①,連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點(diǎn)O,取DD1的中點(diǎn)G,連接OG,A1G,C1G,則OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點(diǎn),∴GO⊥A1C1.∴異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角為90°.①

探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)②

探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(方法三)如圖③,在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)全等的正方體,連接B1Q,則B1Q∥EF.于是∠DB1Q為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角.通過(guò)計(jì)算,不難得到:B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角為90°.探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

異面直線(xiàn)所成角的求解策略(1)求兩條異面直線(xiàn)所成角的一般步驟是:①構(gòu)造:恰當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)點(diǎn)(線(xiàn)段的端點(diǎn)或中點(diǎn)),用平移法構(gòu)造異面直線(xiàn)所成的角;②證明:證明①中所作出的角就是所求異面直線(xiàn)所成的角或其補(bǔ)角;③計(jì)算:通過(guò)解三角形等知識(shí),求出①中所構(gòu)造的角的大小;④結(jié)論:假如所構(gòu)造的角的大小為α,若0°<α≤90°,則α即為所求異面直線(xiàn)所成角的大小;若90°<α<180°,則180°-α即為所求.探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)作出異面直線(xiàn)所成的角,可通過(guò)多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法:①直接平移法(可利用圖中已有的平行線(xiàn));②中位線(xiàn)平移法;③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中,補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體,以便找到平行線(xiàn)).探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

若把“直線(xiàn)DB1”換為“直線(xiàn)DC1”呢?解:如圖,連接A1C1,A1D.在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D為直線(xiàn)DC1與EF所成的角.在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直線(xiàn)DC1與EF所成的角等于60°.探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)異面直線(xiàn)的判斷典例(2019廣東佛山第二中學(xué)高二月考)如圖所示,點(diǎn)P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,并且是所在棱的中點(diǎn),則直線(xiàn)PQ與RS是異面直線(xiàn)的圖是(

)探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:A,B中,PQ與RS互相平行;D中,由于PR平行且等于

SQ,則四邊形SRPQ為梯形,故PQ與RS相交;C中,PQ與RS既不平行,又不相交,故選C.答案:C方法點(diǎn)睛利用異面直線(xiàn)的定義和正方體的性質(zhì),逐一分析各個(gè)圖形中的2條直線(xiàn),即可把滿(mǎn)足條件的圖形找出來(lái).探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)P作與直線(xiàn)a成60°角的直線(xiàn),這樣的直線(xiàn)有(

)A.0條 B.1條C.有限條 D.無(wú)數(shù)條解析:這些直線(xiàn)可以是以P為頂點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線(xiàn)為軸的圓錐的母線(xiàn)所在的直線(xiàn),有無(wú)數(shù)條直線(xiàn).答案:D探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.分別和兩條異面直線(xiàn)平行的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是(

)A.一定平行

B.一定相交C.一定異面

D.相交或異面解析:畫(huà)出圖形,得到結(jié)論.如圖①,分別與異面直線(xiàn)a,b平行的兩條直線(xiàn)c和d是相交關(guān)系.如圖②,分別與異面直線(xiàn)a,b平行的兩條直線(xiàn)c和d是異面關(guān)系.綜上可知,應(yīng)選D.答案:D探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線(xiàn)AC和BC1所成角的大小為(

)解析:連接AD1,CD1,∵BC1∥AD1,∴∠D1AC即為異面直線(xiàn)AC與BC1所成的角.答案:A探究素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.(2020山東濰坊月考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線(xiàn)B1D1與CD所成角的大小是

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解析:如圖