萬(wàn)有引力與航天 省賽獲獎(jiǎng)

專題五萬(wàn)有引力與航天高考物理浙江專用考點(diǎn)基礎(chǔ)一、開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律考點(diǎn)清單定律內(nèi)容圖示說(shuō)明開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)

的軌道都是橢圓,太陽(yáng)

處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)

上

行星運(yùn)動(dòng)的軌道必有

近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)開普勒第二定律(面積定律)太陽(yáng)與任何一個(gè)行星

的連線在相等的時(shí)間

內(nèi)掃過(guò)相等的面積

行星從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),速率變小;從

遠(yuǎn)日點(diǎn)向近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

時(shí),速率變大開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半

長(zhǎng)軸的三次方跟它的

公轉(zhuǎn)周期的二次方的

比值都相等,即

=k

比值k只與被環(huán)繞天體

有關(guān),與行星無(wú)關(guān)二、萬(wàn)有引力定律1.自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引,引力的大小跟物體質(zhì)量的乘積成正

比,與它們之間的距離r的平方成反比。2.萬(wàn)有引力定律的公式為F=G

。3.適用條件:萬(wàn)有引力定律的公式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。4.引力常量G:數(shù)值6.67×10-11N·m2/kg2測(cè)定人英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許物理意義數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的物體相距1m時(shí)的相互引力測(cè)定意義(1)有力地證明了萬(wàn)有引力的存在(2)使定量計(jì)算萬(wàn)有引力得以實(shí)現(xiàn)(3)開創(chuàng)了測(cè)量弱相互作用的新時(shí)代三、萬(wàn)有引力理論的成就1.預(yù)言未知星體(1)英國(guó)的亞當(dāng)斯和法國(guó)的勒維耶預(yù)言了海王星。(2)1930年,湯姆博夫根據(jù)海王星自身運(yùn)動(dòng)不規(guī)則性的記載發(fā)現(xiàn)了冥王星。2.計(jì)算天體質(zhì)量天體質(zhì)量的計(jì)算一般有兩條思路(1)萬(wàn)有引力提供環(huán)繞天體所需的向心力以太陽(yáng)的質(zhì)量計(jì)算為例,若已知地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期T和公轉(zhuǎn)半徑r,則由

=m

r,得M=

。(2)地面(或某星球表面)物體的重力近似等于物體所受的萬(wàn)有引力(忽略星

球的自轉(zhuǎn))。若已知地球半徑R和地球表面的重力加速度g,由mg=

,可得地球的質(zhì)量:M=

。四、宇宙航行1.三個(gè)宇宙速度(1)第一宇宙速度(環(huán)繞速度):v1=7.9km/s,是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度,

也是環(huán)繞地球的最大運(yùn)行速度。(2)第二宇宙速度(逃逸速度):v2=11.2km/s,物體掙脫地球的引力束縛需要

的最小發(fā)射速度。(3)第三宇宙速度:v3=16.7km/s,物體掙脫太陽(yáng)的引力束縛需要的最小發(fā)射速度。2.人造衛(wèi)星(1)分析人造地球衛(wèi)星問(wèn)題的基本思路a.運(yùn)動(dòng)特征:軌道為圓形,且軌道的圓心必與地球的地心重合。b.力學(xué)特征:萬(wàn)有引力提供向心力。c.基本方程:G

=

=mω2r=m

r=ma。(2)由G

=m

=mrω2=m

r=ma可推導(dǎo)出:

?當(dāng)r增大時(shí)

4.衛(wèi)星系統(tǒng)中的超重和失重(1)在衛(wèi)星進(jìn)入軌道前的加速過(guò)程中,衛(wèi)星內(nèi)的物體處于超重狀態(tài)。(2)在衛(wèi)星進(jìn)入圓形軌道正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),衛(wèi)星內(nèi)的物體處于完全失重狀態(tài)。(3)在繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的空間站或宇宙飛船內(nèi),由于物體處于完全失3.同步衛(wèi)星的五個(gè)“一定”重狀態(tài),應(yīng)用到重力的儀器將不能使用,如天平、臺(tái)秤、水銀壓力計(jì)等,但

彈簧測(cè)力計(jì)仍可使用,只是不能測(cè)物體的重力。考向突破考向一行星的運(yùn)動(dòng)對(duì)開普勒第三定律

=k中k的理解開普勒第三定律:所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二

次方的比值都相等,即

=k,把橢圓軌道理想化為圓軌道,行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),萬(wàn)有引力提供向心力

=m

r,

=k=

,即k=

只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)。例1

(2018課標(biāo)Ⅲ,15,6分)為了探測(cè)引力波,“天琴計(jì)劃”預(yù)計(jì)發(fā)射地球衛(wèi)

星P,其軌道半徑約為地球半徑的16倍;另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地

球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為

()A.2∶1

B.4∶1

C.8∶1

D.16∶1解析

本題考查萬(wàn)有引力定律、向心力公式、周期公式。衛(wèi)星P、Q圍繞

地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),萬(wàn)有引力提供向心力,即G

=m

R,則T=

,

=

=

,選項(xiàng)C正確。一題多解

衛(wèi)星P、Q圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),滿足開普勒第三定律,

=

,解得

=

=

,選項(xiàng)C正確。答案

C考向二萬(wàn)有引力定律天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析:將天體或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)動(dòng)力學(xué)分析:①萬(wàn)有引力提供向心力,即F向=

=ma=

=mω2r=m

r。②在星球表面附近物體所受萬(wàn)有引力近似等于重力,即

=mg(g為星球表面物體的重力加速度)。例2

(2018浙江暨陽(yáng)模擬,8)2018年7月25日晚間,由意大利科學(xué)家領(lǐng)銜的

團(tuán)隊(duì)宣布:在火星南極冰蓋下存在液態(tài)水。這一消息激起了“火星研究

熱”。地球和火星公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。忽略行星自轉(zhuǎn)影響。根

據(jù)表中信息可知

()A.火星公轉(zhuǎn)周期約為地球公轉(zhuǎn)周期的1.9倍B.火星公轉(zhuǎn)線速度約為地球公轉(zhuǎn)線速度的1.9倍C.火星所受太陽(yáng)引力約為地球所受太陽(yáng)引力的1.6倍D.僅用表格中的信息,就可求得地球與火星之間的萬(wàn)有引力大小行星半徑/m質(zhì)量/kg公轉(zhuǎn)軌道半徑/m火星3.4×1066.4×10232.3×1011地球6.4×1066.0×10241.5×1011解析根據(jù)

=m

R可得:T=

,則火星公轉(zhuǎn)周期與地球公轉(zhuǎn)周期之比為

≈1.9,A正確;根據(jù)

=m

可得:火星公轉(zhuǎn)線速度與地球公轉(zhuǎn)線速度之比為

≈0.8,B錯(cuò)誤;根據(jù)F=

可得:火星所受太陽(yáng)引力與地球所受太陽(yáng)引力之比為

≈0.045,C錯(cuò)誤;由于地球與火星之間的距離會(huì)發(fā)生變化,大小未知,所以兩者間的萬(wàn)有引力大小無(wú)

法求出,D錯(cuò)誤。答案

A考向三萬(wàn)有引力理論的成就1.天體質(zhì)量和密度的計(jì)算

分類已知量利用公式表達(dá)式備注質(zhì)量的計(jì)算利用運(yùn)行天體r、TG

=mr

M=

只能得到中心天體的質(zhì)量r、vG

=m

M=

v、TG

=m

G

=mr

M=

利用天體表面重力加速度g、Rmg=

M=

—密度的計(jì)算利用運(yùn)行天體r、T、RG

=mr

M=ρ·

πR3ρ=

當(dāng)r=R時(shí)ρ=

利用近地衛(wèi)星

只需測(cè)出其運(yùn)

行周期利用天體表面重力加速度g、Rmg=

M=ρ·

πR3ρ=

—特別提醒

不考慮天體自轉(zhuǎn),對(duì)任何天體表面都可以認(rèn)為mg=G

,從而得出GM=gR2(通常稱為黃金代換公式),其中M為該天體的質(zhì)量,R為該天體

的半徑,g為該天體表面的重力加速度。2.天體表面及其某一高度處重力加速度的計(jì)算(1)天體表面及其某一高度處的重力加速度的求法設(shè)天體表面重力加速度為g,天體半徑為R,忽略天體自轉(zhuǎn),則有mg=G

,得g=

或GM=gR2。若物體距天體表面高度為h,則重力mg'=G

,得g'=

=

g。(2)地球表面的物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的遷移應(yīng)用在地球上所有只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)形式,如自由落體運(yùn)動(dòng)、豎直上拋運(yùn)

動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)、斜拋運(yùn)動(dòng)等,其運(yùn)動(dòng)規(guī)律和研究方法同樣適用于在其他星球表面的同類運(yùn)動(dòng)的分析,只是當(dāng)?shù)刂亓铀俣热≈挡煌?。?

(2018浙江4月選考,9,3分)土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”(如圖),每16天

繞土星一周,其公轉(zhuǎn)軌道半徑約為1.2×106km。已知引力常量G=6.67×10-11

N·m2/kg2,則土星的質(zhì)量約為()

A.5×1017kgB.5×1026kgC.7×1033kgD.4×1036kg解析衛(wèi)星“泰坦”繞土星做圓周運(yùn)動(dòng),萬(wàn)有引力提供向心力,有G

=m

r,得M=

,代入數(shù)據(jù)得土星質(zhì)量約5×1026kg,故B正確。答案

B考向四宇宙航行人造衛(wèi)星1.第一宇宙速度的計(jì)算方法一設(shè)想在地球表面附近有一顆人造地球衛(wèi)星,地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引

力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,由G

=m

,得到v=

。因?yàn)镽?h,所以v≈

,若已知地球的質(zhì)量和半徑,則可計(jì)算第一宇宙速度的值。方法二設(shè)想在地球表面附近有一顆人造地球衛(wèi)星,它受到的重力近似等

于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力,而萬(wàn)有引力提供該衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,由

mg=m

得到v=

。因?yàn)镽?h,所以v≈

,若已知地球表面附近的重力加速度和地球半徑,則可計(jì)算出第一宇宙速度的值。2.幾種常見衛(wèi)星(1)近地衛(wèi)星近地衛(wèi)星的軌道半徑r近似等于地球半徑R,其繞行速度是所有衛(wèi)星的最大

環(huán)繞速度;運(yùn)行周期約為T=85min,是所有衛(wèi)星的最小周期;向心加速度a=g=9.8m/s2,是所有衛(wèi)星的最大加速度。(2)極地軌道衛(wèi)星極地軌道衛(wèi)星指運(yùn)行過(guò)程中通過(guò)兩極點(diǎn)上空的衛(wèi)星,其軌道平面與地球赤

道平面垂直,由于地球自轉(zhuǎn),這種衛(wèi)星不能始終和地球某一經(jīng)線平面重合,從而使得該種衛(wèi)星可對(duì)全球進(jìn)行間斷性掃描。(3)同步衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星是指運(yùn)行軌道在赤道平面內(nèi)且與地球自轉(zhuǎn)周期相同的衛(wèi)星,

又叫地球同步軌道衛(wèi)星。3.近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體所做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

異同(1)軌道半徑:近地衛(wèi)星與赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的軌道半徑近似相同,

同步衛(wèi)星的軌道半徑較大。r同>r近=r物。(2)運(yùn)行周期:同步衛(wèi)星與赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的運(yùn)行周期相同。由T=2π

可知,近地衛(wèi)星的周期要小于同步衛(wèi)星的周期。T近<T同=T物。(3)向心加速度:由G

=ma得a=

,可知同步衛(wèi)星的向心加速度小于近地衛(wèi)星的向心加速度。由a=rω2=r

知,同步衛(wèi)星的向心加速度大于赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的向心加速度,a近>a同>a物。(4)動(dòng)力學(xué)規(guī)律:近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星都只受到萬(wàn)有引力作用,由萬(wàn)有引力

充當(dāng)向心力,滿足萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力的天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。赤道上的物體由

萬(wàn)有引力和地面支持力的合力充當(dāng)向心力,它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同于衛(wèi)星的運(yùn)

動(dòng)規(guī)律。例4有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星,a還未發(fā)射,在地球赤道上隨地球表面一

起轉(zhuǎn)動(dòng),b在近地軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng),c是地球同步衛(wèi)星,d是高空探測(cè)衛(wèi)星,

各衛(wèi)星排列位置如圖。關(guān)于這四顆衛(wèi)星,下列說(shuō)法正確的是

()

A.a的向心加速度等于重力加速度gB.c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是

C.在相同時(shí)間內(nèi),這四個(gè)衛(wèi)星中b轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)D.d的圓周運(yùn)動(dòng)周期有可能是20小時(shí)解析

a在赤道隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng),向心力是由萬(wàn)有引力提供的,但ma'≠mg,

即a的向心加速度不等于地球表面重力加速度g,故A錯(cuò)誤。c為地球同步衛(wèi)

星,周期為24h,在4h內(nèi),轉(zhuǎn)過(guò)

圓周,即轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為

,故B錯(cuò)誤。根據(jù)v=

知,b的線速度大于c、d的線速度,a、c的角速度相等,根據(jù)v=rω知,c的線速度大于a的線速度,可知b的線速度最大,在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最

長(zhǎng),故C正確。c是地球同步衛(wèi)星,周期是24h,由開普勒第三定律

=k知,衛(wèi)星的軌道半徑越大,周期越大,所以d的運(yùn)動(dòng)周期大于c的周期,不可能是20

h,故D錯(cuò)誤。故選C。答案

C方法技巧方法1綜合運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題天體運(yùn)動(dòng)近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng),其向心力都來(lái)源于萬(wàn)有引力,則有G

=m

=mω2r=m

r=ma。由此得出:v=

,即線速度v∝

;ω=

,即角速度ω∝

;T=

,即周期T∝

;a=

,即向心加速度a∝

。注意(1)衛(wèi)星的環(huán)繞半徑r與該軌道上的線速度v、角速度ω、周期T、

向心加速度a存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,一旦r確定,則v、ω、T、a皆確定,與衛(wèi)星

的質(zhì)量m無(wú)關(guān)。(2)對(duì)于環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星,若半徑r增大,其周期T變大,線速度v、角速度

ω、向心加速度a均變小;若半徑r減小,其周期T變小,線速度v、角速度ω、

向心加速度a均變大。例1

(2018浙江溫州六校聯(lián)盟期末,6)2017年11月15日,我國(guó)又一顆第二代

極軌氣象衛(wèi)星“風(fēng)云三號(hào)D”成功發(fā)射,順利進(jìn)入預(yù)定軌道。極軌氣象衛(wèi)

星圍繞地球南北兩極運(yùn)行,其軌道在地球上空650km~1500km之間,低于

地球靜止軌道衛(wèi)星(高度約為36000km),可以實(shí)現(xiàn)全球觀測(cè)。有關(guān)“風(fēng)云

三號(hào)D”,下列說(shuō)法中正確的是()A.“風(fēng)云三號(hào)D”軌道平面為赤道平面B.“風(fēng)云三號(hào)D”的發(fā)射速度可能小于7.9km/sC.“風(fēng)云三號(hào)D”的周期小于地球靜止軌道衛(wèi)星的周期D.“風(fēng)云三號(hào)D”的加速度小于地球靜止軌道衛(wèi)星的加速度解析因“風(fēng)云三號(hào)D”圍繞地球南北兩極運(yùn)行,故軌道平面不是赤道平

面,A錯(cuò)誤;發(fā)射衛(wèi)星的最小速度為7.9km/s,故B錯(cuò)誤;根據(jù)G

=ma=mr

得向心加速度a=

,周期T=

,則衛(wèi)星離地面越高,其周期越長(zhǎng)、向心加速度越小,故D錯(cuò)誤,C正確。答案

C方法2衛(wèi)星變軌問(wèn)題的分析方法人造地球衛(wèi)星發(fā)射過(guò)程要經(jīng)過(guò)多次變軌,如圖所示,我們從以下幾個(gè)方面討論。

1.變軌原理及過(guò)程(1)為了節(jié)省能量,在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。(2)在A點(diǎn)點(diǎn)火加速,由于速度變大,萬(wàn)有引力不足以提供在軌道Ⅰ上做圓

周運(yùn)動(dòng)的向心力,衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。2.一些物理量的定性分析(1)速度:設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3,在軌道Ⅱ上

過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)速率分別為vA、vB。在A點(diǎn)加速,則vA>v1,在B點(diǎn)加速,則v3>vB,又

因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度:因?yàn)樵贏點(diǎn),衛(wèi)星只受到萬(wàn)有引力作用,故不論從軌道Ⅰ還是軌

道Ⅱ上經(jīng)過(guò)A點(diǎn),衛(wèi)星的加速度都相同,同理,經(jīng)過(guò)B點(diǎn)加速度也相同。(3)周期:設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3,軌道半徑

分別為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、r3,由開普勒第三定律

=k可知T1<T2<