第7講-命題及充分與必要條件

第一章常用邏輯用語知識點網(wǎng)絡(luò)第1講命題、充分條件與必要條件考點1：命題

1.定義：

一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題.（1）命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分構(gòu)成.命題通常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n等.

（2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題.數(shù)學中的定義、公理、定理等都是真命題（3）命題“”的真假判定方式：①若要判斷命題“”是一個真命題，需要嚴格的邏輯推理；有時在推導時加上語氣詞“一定”能幫助判斷。如：一定推出.

②若要判斷命題“”是一個假命題，只需要找到一個反例即可.

注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命題.例1已知命題,;命題,,則下列命題中為真命題的是: （）A． B． C． D．例2.下列命題中的假命題是A.B.C.D.【解析】對于C選項x＝1時，，故選C變式1.下列命題是真命題的為A．若,則 B．若,則C．若,則D．若,則解析由得,而由得,由,不一定有意義,而得不到故選A.例3.下列4個命題㏒1/2x>㏒1/3x㏒1/2x㏒1/3x其中的真命題是（）A.B.C.D.解析取x＝,則㏒1/2x＝1,㏒1/3x＝log32＜1,p2正確當x∈(0,)時,()x＜1,而㏒1/3x＞1.p4正確答案D

考點2：四種命題

1.四種命題的形式：

用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：

原命題：若p則q；逆命題：若q則p；

否命題：若p則q；逆否命題：若q則p.

2.四種命題的關(guān)系

①原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一.

②逆命題否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑.

除①、②之外，四種命題中其它兩個命題的真?zhèn)螣o必然聯(lián)系.例4.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假:(1)若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根；(2)若ab＝0，則a＝0或b＝0；(3)若x2＋y2＝0，則x、y全為零.解：(1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q＜1，為假命題．例8．在下列各題中，判斷A是B的什么條件，并說明理由．(1)．A：，B：方程有實根；(2)．A：；B：；解：(1)當，取，則方程無實根；若方程有實根，則由推出或6，由此可推出．所以A是B的必要非充分條件．(2)由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分條件．變式5：指出下列命題中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種作答）.（1）對于實數(shù)x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;（2）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；解：(1)易知:p:x+y=8,q:x=2且y=6,顯然qp.但pq,即q是p的充分不必要條件,根據(jù)原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不必要條件.(2)顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分條件.例9.已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：關(guān)于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1的正根，試分析p是q的什么條件.解：若方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1的正根，設(shè)為x1、x2．則0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n∴0＜－m＜2，0＜n＜1∴－2＜m＜0，0＜n＜1∴p是q的必要條件．又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨設(shè)m＝－1，n＝．則方程為x2－x＋＝0，∵△＝(－1)2－4×＝－1＜0．∴方程無實根∴p是q的非充分條件．綜上所述，p是q的必要非充分條件．例10.“”是“”成立的（）（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充分條件.（D）既不充分也不必要條件.解析：，所以充分；但反之不成立，如例11.“a＞0”是“＞0”的 [A](A)充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件解析：本題考查充要條件的判斷，a＞0”是“＞0”的充分不必要條件變式6.已知a>0，則x0滿足關(guān)于x的方程ax=6的充要條件是(A)(B)(C)(D)【解析】由于a>0,令函數(shù)，此時函數(shù)對應(yīng)的開口向上，當x=時，取得最小值，而x0滿足關(guān)于x的方程ax=b,那么x0==,ymin=，那么對于任意的x∈R,都有≥=變式7設(shè)0＜x＜，則“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件解析：因為0＜x＜，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，結(jié)合xsin2x與xsinx的取值范圍相同，可知答案選B，本題主要考察了必要條件、充分條件與充要條件的意義，以及轉(zhuǎn)化思想和處理不等關(guān)系的能力，屬中檔題例11.“”是“一元二次方程”有實數(shù)解的A．充分非必要條件B.充分必要條件C．必要非充分條件D.非充分必要條件【解析】由知，．例12.已知是實數(shù)，則“且”是“且”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析對于“且”可以推出“且”，反之也是成立的變式8.“”是“且”的 A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析易得時必有.若時，則可能有，選A。變式9.設(shè)的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析因為，顯然條件的集合小，結(jié)論表示的集合大，由集合的包含關(guān)系，我們不難得到結(jié)論。例13.已知，，，為實數(shù)，且＞.則“＞”是“－＞－”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析顯然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，則同向不等式相加得＞,即由“－＞－”“＞”例14.已知：，：．若“”是“”的必要而不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【解法一】由：，解得，∴“”：．……3分由：解得：∴“”：……6分由“”是“”的必要而不充分條件可知：．………………8分解得．∴滿足條件的m的取值范圍為．……12分【解法二】由：，解得由：,解得：由“”是“”的必要而不充分條件可知：，即：（等號不同時成立），解得：∴滿足條件的m的取值范圍為．課堂過關(guān)檢測一、選擇題1．對命題p：A∩＝，命題q：A∪＝A，下列說法正確的是 （）A．p且q為假B．p或q為假C．非p為真 D．非p為假2．已知下列三個命題①方程x2-x+2=0的判別式小于或等于零；②矩形的對角線互相垂直且平分；③2是質(zhì)數(shù)，其中真命題是（）（A）①和②（B）①和③（C）②和③（D）只有①3．下列結(jié)論中正確的是（）（A）命題p是真命題時，命題“P且q”一定是真命題。（B）命題“P且q”是真命題時，命題P一定是真命題（C）命題“P且q”是假命題時，命題P一定是假命題（D）命題P是假命題時，命題“P且q”不一定是假命題4．使四邊形為菱形的充分條件是（）（A）對角線相等（B）對角線互相垂直（C）對角線互相平分（D）對角線垂直平分5．如果命題“非P為真”，命題“P且q”為假，那么則有（）（A）q為真（B）q為假（C）p或q為真（D）p或q不一定為真6．如果命題“p或q”和命題“p且q”都為真，那么則有（）（A）p真q假（B）p假q真（C）p真q真（D）p假q假7．給出4個命題：①若，則x=1或x=2；②若，則；③若x=y=0，則；④若，x＋y是奇數(shù)，則x，y中一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)．那么： （） A．①的逆命題為真B．②的否命題為真C．③的逆否命題為假D．④的逆命題為假8．一個整數(shù)的末位數(shù)字是2，是這個數(shù)能被2整除的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件9．“△ABC中，若∠C=90°，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為 （）A．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B都不是銳角B．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B不都是銳角C．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B都不一定是銳角D．以上都不對10．“”的含義是 （） A．不全為0 B．全不為0C．至少有一個為0D．不為0且為0，或不為0且為011．下列說法正確的是（）（A）x≥3是x>5的充分不必要條件（B）x≠±1是≠1的充要條件（C）若﹁p﹁q，則p是q的充分條件（D）一個四邊形是矩形的充分條件是它是平行四邊形12．如果命題“P或Q”是真命題，命題“P且Q”是假命題，那么（）(A)命題P和命題Q都是假命題(B)命題P和命題Q都是真命題（C）命題P和命題“非Q”真值不同(D)命題Q和命題“非P”真值相同13.下列有關(guān)命題的說法正確的是 ()A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．B．“”是“”的必要不充分條件．C．命題“使得”的否定是：“均有”．D．命題“若，則”的逆否命題為真命題．14若是兩個簡單命題，且“或”的否定是真命題，則必有（ ）A．真真 B．假假 C．真假 D．假真15已知A與B是兩個命題，如果A是B的充分不必要條件，那么是的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件16已知全集U且，則集合A的真子集共有（ ）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個17二次函數(shù)中，若，則其圖象與軸交點個數(shù)是（ ）A．1個 B．2個 C．沒有交點 D．無法確定18設(shè)集合A，，那么下列關(guān)系正確的是（ ）A． B． C． D．19.如果命題“p或q”與命題“非p”都是真命題，那么（）（A）命題p不一定是假命題（B）不一定是真命題（C）命題q一定是真命題（D）命題p與命題q真值相同20.x2+2x-8=0”是“x-2=”的 （ ）(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件21.命題“P或Q”是真命題，命題“P且Q”是假命題，那么（）(A)命題P和命題Q都是假命題(B)命題P和命題Q都是真命題（C）命題P和命題“非Q”真值不同(D)命題Q和命題“非P”真值相同22設(shè)是首項大于零的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（A）充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件23.在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數(shù)根，則“非p”形式的命題是A.存在實數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0無實根B.不存在實數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根C.對任意的實數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根D.至多有一個實數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根24.若函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則”的逆否命題是A.若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B.若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C.若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D.若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)25.如果命題“”為假命題，則 A.p，q均為真命題 B.p，q均為假命題C.p，q中至少有一個為真命題 D.p，q中至多有一個為真命題26.已知命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是A. B. C. D.27.“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件28.“成立”是“成立”的 ()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 29．“x>1”是“”成立的 （） A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分又不必要條件30.命題：“若，則”的逆否命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則31.若集合，，則“”是“”的 （） A充分不必要條件 B必要不充分條件C.充要條件 D既不充分也不必要條件32.集合，，那么“”是“”的()A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件33.“”是“”的 （） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件34.已知,則下列判斷中，錯誤的是（）(A)p或q為真，非q為假(B)p或q為真，非p為假(C)p且q為假，非p為真(D)p且q為假，p或q為真二、填空題1．命題“若△ABC是等腰三角形，則它的任何兩個內(nèi)角不相等”的逆否命題是