新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列5數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案北師大版選擇性必修第二冊

*§5數(shù)學(xué)歸納法最新課程標準學(xué)科核心素養(yǎng)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題．1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理．(數(shù)學(xué)抽象)2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)[教材要點]要點數(shù)學(xué)歸納法(1)概念：用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法．(2)步驟：①證明：當(dāng)n取第一個值n0(n0是一個確定的正整數(shù)，如n0＝1或2等)時，命題成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．根據(jù)①②可以斷定命題對一切從n0開始的正整數(shù)n都成立．[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)推證n＝k＋1時可以不用n＝k時的假設(shè)．()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明．()(3)不管是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．()(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.()2．已知f(n)＝1n+1n+1+1n+2＋A．f(n)共有n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝1B．f(n)共有n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝1C．f(n)共有n2－n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝1D．f(n)共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的過程中，第二步n＝k時等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時應(yīng)得到()A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－14．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1＋12+13＋…＋12n>n+22(n∈N＋，且題型一證明恒等式用數(shù)學(xué)歸納法證明1－12+13-14＋…＋12n-1-12n方法歸納用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結(jié)構(gòu)，即：(1)n＝n0時，等式的結(jié)構(gòu)．(2)n＝k到n＝k＋1時，兩個式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時的代數(shù)式比n＝k時的代數(shù)式增加(或減少)的項．這時一定要弄清三點：①代數(shù)式從哪一項(哪一個數(shù))開始，即第一項．②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律．③代數(shù)式中最后一項(最后一個數(shù))與n的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明：12×4+14×6+16×題型二證明不等式例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：122+132+142＋…＋1n2<1－方法歸納用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵(1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0＝k＋1.(2)證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導(dǎo)過程中，一定要用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因為缺少歸納假設(shè)．(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小．對第二類形式往往要先對n取前k個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個k值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明．(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時成立，得n＝k＋1時成立，主要方法有比較法、放縮法等．跟蹤訓(xùn)練2求證：12+13+14＋…＋12n-1＞n題型三證明猜想例3在各項為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn＝12(1)求a1，a2，a3.(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．方法歸納1．“歸納—猜想—證明”的解題步驟2．“歸納—猜想—證明”解決的主要問題(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項公式或前n項和．(2)由一些恒等式，不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在．(3)給出一些簡單命題(n＝1，2，3……)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題．提醒：①計算特例時，不僅僅是簡單的算數(shù)過程，有時要通過計算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律；②猜想必須準確，絕對不能猜錯，否則將徒勞無功．③如果猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān)，一般用數(shù)學(xué)歸納法證明．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列{2n·an}的前n項和Sn.易錯辨析不理解數(shù)學(xué)歸納法證明問題的實質(zhì)致誤例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+122+123＋…＋12n證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝12，右邊＝1－12＝(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥1)時，等式成立，即12+122+123那么當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝12+122+123＋…＋1這就是說，當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任意n∈N*都成立．【易錯警示】出錯原因糾錯心得出錯的地方在第二步，有的同學(xué)直接利用了等比數(shù)列的求和公式求出了當(dāng)n＝k＋1時，式子12+122+123數(shù)學(xué)歸納法能對正整數(shù)相關(guān)的命題予以證明，正是因為它的兩個步驟；第一步是命題成立的基礎(chǔ)，第二步，由n＝k命題成立，推證到n＝k＋1時命題也成立，意思是n為一個正整數(shù)成立，那么它為下一個正整數(shù)也一定成立，這樣才能保證命題對從第一個起始值n0開始的任何正整數(shù)都成立，所以，第二步在推證n＝k＋1時命題成立，一定要用到n＝k時命題成立這個作為推證的基礎(chǔ)，否則這個“多米諾骨牌”就無法全部倒下去，即對后面無窮盡的正整數(shù)命題無法成立．[課堂十分鐘]1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n+3n+42(n∈N*)，驗證n＝1時，左邊應(yīng)取的項是(A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋42．在數(shù)列{an}中，an＝1－12+13-14＋…＋12n-A．a(chǎn)k＋12k+1B．a(chǎn)k＋C．a(chǎn)k＋12k+2D．a(chǎn)k＋3．證明1＋12+13+14＋…＋12n-1>n2(n∈N*)，假設(shè)nA．1B．k－1C．kD．2k4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且Sn＝2n－an(n∈N*)，若已經(jīng)算出a1＝1，a2＝32，則猜想an等于(A．2n-1nC．2n-125．已知f(n)＝1＋12+13＋…＋1n(n∈N*)．用數(shù)學(xué)歸納法證明f(1)當(dāng)n＝1時，f(21)＝1＋12>1(2)假設(shè)n＝k時命題成立，即f(2k)>k2則當(dāng)n＝k＋1時，f(2k＋1)＝f(2k)＋____________________________，即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立．由(1)(2)可知，對任意n∈N*，都有f(2n)>n2*§5數(shù)學(xué)歸納法新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：結(jié)合f(n)中各項的特征可知，分子均為1，分母為n，n＋1，…，n2的連續(xù)自然數(shù)共有n2－n＋1個，且f(2)＝12+1答案：D3．解析：因為將式子：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1中n用k＋1替換得：當(dāng)n＝k＋1時，有1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.故選D.答案：D4．解析：因為n≥2，所以第一步要證的是當(dāng)n＝2時結(jié)論成立，即1＋12+1答案：1＋12+題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1－12＝12，右邊＝(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，命題成立，即1－12+13-14＋…＋1那么當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝1－12+13＝1k+1+1k+2＝1k+2+1k+3＋上式表明當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)均成立．跟蹤訓(xùn)練1證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝12×1右邊＝14×1+1所以等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥1)時等式成立，即有12×4+14×則當(dāng)n＝k＋1時，12×4+＝k＝kk+2+1＝k+14k+2＝所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立，由(1)(2)可知，對于一切n∈N*等式都成立．題型二例2證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝122＝右邊＝1－12＝1明顯14<1(2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式成立，即122+132+1則當(dāng)n＝k＋1時，122+132+＝1－k+1＝1－k2+k+1kk+12<1－k所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立．綜上所述，對任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立．跟蹤訓(xùn)練2證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝12＞0∴不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式成立．即12+13＋…＋那么當(dāng)n＝k＋1時，12+13＋…＋1＞k-22+12k-1+1＝k-22∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立．由(1)(2)可知，不等式對一切n∈N*且n≥2時成立．題型三例3解析：(1)S1＝a1＝12a12＝1.因為an>0，所以a1＝由S2＝a1＋a2＝12得a22＋2a2－1＝0，所以a2＝2又由S3＝a1＋a2＋a3＝12得a3(2)猜想an＝n-n-1(n證明：①當(dāng)n＝1時，a1＝1＝1-②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時猜想成立即ak＝k-則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12即ak＋1＝12＝12所以a由①②知an＝n-跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)由題知，a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.證明如下：①當(dāng)n＝1時，顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)，ak＝2k＋1(k∈N＋)成立，則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時也成立，由①②知an＝2n＋1，猜想成立．(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①從而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1.所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.[課堂十分鐘]1．解析：當(dāng)n＝1時，左邊＝1＋2＋3＋4.故選D.答案：D2．解析：a1＝1－12，a2＝1－12+an＝1－12+13-ak＝1－12+13-所以ak＋1＝ak＋12k+1-1答案：D3．解析：當(dāng)n＝k時，不等式左端為1＋12+13+14＋…＋12k-1；當(dāng)n＝k＋1時，不等式