矩陣n次方的幾種求法的歸納

PAGEPAGE1由矩陣加法運算法則：=5．利用相似矩陣求解（利用對角矩陣來求）定義：設矩陣，為數(shù)域上兩個級矩陣，如果可以找到數(shù)域上的級可逆陣，使得矩陣，就說與相。如果矩陣或有一個可以化成對角矩陣則計算比較簡便。而判斷矩陣可對角化的條件：1)矩陣可對角化的必要條件是矩陣有個不同的特征值2)矩陣可對角化的充要條件是矩陣有個線性無關的特征向量3)在復數(shù)域上矩陣沒有重根而求矩陣的特征值和特征向量的方法：1)求矩陣特征多項式在數(shù)域中的全部根，這些根是矩陣的全部特征值。把這些所求的特征值逐個的代入方程組中，對于每一個特征值，解方程組，求出一組基礎解系，那么這個基礎解系就是屬于這個特征值的特征向量。再利用判別法判斷矩陣是否可對角化。例5：已知矩陣,求解：易知矩陣的特征多項式=由行列式計算方法知：=所以矩陣的特征值為。當特征值為時，解方程，由齊次線性方程組的計算方法知：的基礎解系為=；所以矩陣A屬于特征值1的全部特征向量為,其中0。當特征值為時，解方程，由齊次線性方程組的計算方法知：的基礎解系為=；所以矩陣屬于特征值的全部特征向量為，其中。當特征值為時，解方程，由齊次線性方程組的計算方法知：的基礎解系為=，所以矩陣屬于特征值3的全部特征向量為，其中。則由矩陣可對角化的條件知：矩陣可對角化且對角陣為令=，由求逆矩陣的方法知：因為線性變換在不同基下所對應的矩陣是相似的知：所以，則由,由矩陣的乘法運算法則知：2)對方陣，設，對做初等變換，化成其中為上三角陣，則矩陣主對角線上元素乘積的的多項式的根即為的特征根。對矩陣的任一特征根，代入中，若中非零向量構成一滿秩矩陣，則行向量所對應的中的行向量即為的特征向量；否則，繼續(xù)施行初等行變換，使得中非零向量構成一滿秩矩陣，則中零向量所對應的中的行向量即為的特征向。這類問題所涉及的定理是：對任意方陣的特征矩陣經過行變換，可化為上三角矩陣，且主對角線上元素乘積的多項式的根即為矩陣A的特征值。例6：已知矩陣，求解：，作初等行變換由上述定理知：矩陣的特征值為1（二重），4。當時，，由2)中判別法知：矩陣的特征向量為：，。當時，，由2)中判別法知：矩陣A的特征向量為：。則由相似矩陣的條件知：矩陣與對角矩陣相似且對角矩陣為則存在可逆陣使得由求可逆陣的方法知：；由知：=6．利用若當形矩陣求解這類方法主要是運用任何一個級復矩陣都相似一個若當形矩陣和利用相似矩陣的相關定理及化若當形矩陣的方。例7：已知矩陣，求解：，由求初等因子的方法知：的初等因子為，；所以矩陣的若當標準形為：則存在可逆陣，使得，則。設，其中，，為列向量將矩陣代入得，，由齊次線性方程組：，即，則，是齊次線性方程組的解且，是線性無關的，則，是由齊次線性方程組：的基礎解系。由：有解且，，線性無關。由數(shù)學歸納法知：由求可逆陣的方法知：由知：則=7.利用多項式求解主要運用帶余除法即：對于數(shù)域中任意兩個多項式和，其中0，一定有中的多項式，存在使得成立，其中或=0，并且這樣的和是唯一。7.1特征多項式無重根例8：已知矩陣，求解：設為矩陣A的特征多項式，則由計算行列式的方法知：由帶余除法及輾轉相除法則：設，其中；由，所以設。將特征多項式的根代入中得：解得，，；所以由哈密頓—凱萊定：A是數(shù)域P上的一個nn級矩陣，是矩陣A的特征多項式則。將A代入中得：由矩陣乘法的定義知：，所以由矩陣的加法運算法則知：7.2特征多項式有重根例9：已知矩陣，求解：設為矩陣的特征多項式，則由行列式計算方法知：由帶余除法及輾轉相除法知：，其中；由，所以設。將特征多項式的根代入中得：因為1是的2重根。由定理：如果不可約多項式是的重因式（），則它的微商是k-1重因式.則1是的。則由導數(shù)定義及性質：對等號兩邊同時求導得：則將1代入中得：；則由解得：，，。由哈密頓—凱萊定理知：。則將矩陣A代入中得：由矩陣乘法運算法則知：由矩陣的加法運算法則知：8.總結上述七種方法求解矩陣次方的乘積適用于求低階矩陣的次方的乘積適用于求低階矩陣次方的計算，而對于高階矩陣的求解則比較困難。利用方塊、拆項、數(shù)學歸納法和相似矩陣的方法求解適用于比較特殊的一些矩陣的求解；利用定義、若爾當形矩陣和多項式的方法對于普通的矩陣都適用，但利用定義的方法對于求矩陣次方的計算比較復雜；而利用多項式和若爾當形矩陣的方法有利于對所學知識的及時鞏固、能加深對所知識的理解，而這兩種方法提供了解這類問題行之有效的方法且容易掌握。參考文獻[1]同濟大學應用數(shù)學系，高等代學，高等教育出版社，2008.[2]錢吉林.高等代數(shù)解題精粹.北京:中央民族大學出版社,2002.[3]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第二版）.高等教育出版社.[4]劉嘉.\o"矩陣相似及其應用"矩陣相似及其應用.中國西部科技,2010,(26)[5]袁進.\o"特征值與特征向量"特征值與特征向量.高等數(shù)學研究,2004,(02)[6]張斌斌.\o"矩陣的特征值與特征向量的研究"矩陣的特征值與特征向量的研究.才智,2010,(08)[7]施勁松,劉劍平.\o"矩陣特征值、特征向量的確定"矩陣特征值、特征向量的確定.大學數(shù)學,2003,(06).第19卷第6期[8]汪慶麗.\o"用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量"用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量.岳陽師范學院學報(自然科學版),2001,(03)[9]劉學鵬,王文省.關于實對稱矩陣的對角化問題[J]聊城師院學報(自然科學版),2003,(03)[10]李佩貞.\o"矩陣的對角化與相似變換矩陣"矩陣的對角化與相似變換矩陣.中山大學學報論叢,2000,(04)[11]朱靖紅,朱永生.矩陣對角化的相關問題[J]遼寧師范大學學報(自然科學版),HYPERLINK"50:8080/kns50/Navi/Bridge.aspx?DBCode=cjfd&LinkType=BaseLink&Field=BaseID&TableName=cjfdyearinfo&Value=LNSZ*2005*03&NaviLink=%e8%be%bd%e5%ae%81%e5%b8%88%e8%8c%83%e5%a4%a7%e5%ad%a6%e5%ad%a6%e6%8a%a5(%e8%87%aa%e7%8